微分計算を学ぶ中で、「1/logxの微分」を求める問題に出会うことがあるでしょう。対数関数の逆数という形をしているため、どの微分法を使えばよいのか迷ってしまう方も多いかもしれません。
この記事では、1/logxの微分の求め方と公式について、基本から応用まで丁寧に解説していきます。
商の微分法、合成関数の微分、そして実際の計算例まで、わかりやすくお伝えしますので、ぜひ最後までご覧ください。
1/logxの微分の答えと公式
それではまず、1/logxの微分の結論と基本的な公式について解説していきます。
1/logxの微分の結果
1/logxの微分は、次のように表されます。
d/dx
= -1/(x(log(x))²)
または、自然対数を用いて：
d/dx = -1/(x(ln(x))²)
この結果を見ると、分母にxと対数の2乗が現れることが分かるでしょう。負の符号がついているのもポイントです。
公式の意味
この微分公式には重要な意味があります。まず、定義域に注目してみましょう。
定義域：x > 0, x ≠ 1
理由：
・x > 0：対数関数の定義より
・x ≠ 1：log(1) = 0となり、1/log(x)が定義されないため
また、導関数が常に負であることから、1/logxは単調減少関数であることが分かります（x > 1の範囲において）。
底が異なる場合
対数の底が異なる場合の微分も確認しておきましょう。
| 関数 | 微分結果 |
|---|---|
| 1/log₁₀(x) | -1/(x ln(10)(log₁₀(x))²) |
| 1/ln(x) | -1/(x(ln(x))²) |
| 1/log₂(x) | -1/(x ln(2)(log₂(x))²) |
| 1/logₐ(x) | -1/(x ln(a)(logₐ(x))²) |
底がeの自然対数の場合が最もシンプルな形になることが分かるでしょう。
商の微分法を使った求め方
続いては、商の微分法を使って1/logxの微分を実際に計算していきます。
商の微分公式の確認
まず、商の微分公式を復習しておきましょう。
商の微分公式：
(f/g)’ = (f’g – fg’)/g²
この公式を使えば、1/logxを「1」÷「logx」という商の形として微分できます。
ステップバイステップの計算
それでは、実際に計算してみましょう。
【ステップ1】関数を分解
f(x) = 1, g(x) = log(x)
【ステップ2】それぞれを微分
f'(x) = 0
g'(x) = 1/(x ln(10))（常用対数の場合）
または g'(x) = 1/x（自然対数の場合）
【ステップ3】商の微分公式に代入
(1/log(x))’ = (0 × log(x) – 1 × 1/x)/(log(x))²
= -1/(x(log(x))²)
このように、商の微分法を使えば機械的に計算できるでしょう。分子が定数の場合、計算が比較的簡単になります。
常用対数と自然対数の違い
底が10の常用対数と底がeの自然対数では、結果が少し異なります。
【常用対数の場合】log₁₀(x)
d/dx[log₁₀(x)] = 1/(x ln(10))
よって：
d/dx = -1/(x ln(10)(log₁₀(x))²)
【自然対数の場合】ln(x)
d/dx[ln(x)] = 1/x
よって：
d/dx = -1/(x(ln(x))²)
自然対数を使った方が、ln(10)などの定数項が現れず、式がシンプルになることが分かるでしょう。
合成関数の微分による求め方
続いては、別のアプローチとして合成関数の微分を使った方法を確認していきます。
合成関数としての見方
1/logxは、次のような合成関数として捉えることができます。
y = 1/log(x) = (log(x))⁻¹
外側の関数：u⁻¹
内側の関数：u = log(x)
この見方をすれば、チェーンルール（連鎖律）を適用できるでしょう。
チェーンルールの適用
合成関数の微分法（チェーンルール）は次の通りです。
合成関数の微分：
dy/dx = dy/du × du/dx
これを使って計算してみましょう。
【ステップ1】外側の微分
y = u⁻¹に対して
dy/du = -u⁻² = -1/u²
【ステップ2】内側の微分
u = log(x)に対して
du/dx = 1/(x ln(10))（常用対数）
または du/dx = 1/x（自然対数）
【ステップ3】掛け合わせる
dy/dx = -1/u² × 1/x
= -1/(log(x))² × 1/x
= -1/(x(log(x))²)
商の微分法と同じ結果が得られました。合成関数の微分法を使う方が、累乗の形を扱うときは計算しやすいこともあるでしょう。
一般化した形
より一般的に、(log(x))ⁿの微分を考えてみましょう。
| 関数 | 微分結果 |
|---|---|
| (log(x))¹ | 1/(x ln(10)) |
| (log(x))⁻¹ | -1/(x ln(10)(log(x))²) |
| (log(x))² | 2log(x)/(x ln(10)) |
| (log(x))⁻² | -2/(x ln(10)(log(x))³) |
このように、累乗の指数によって微分の形が系統的に変わることが分かります。
具体的な計算例と応用
続いては、1/logxの微分を使った具体的な計算例を確認していきます。
特定の点での微分係数
x = eでの微分係数を計算してみましょう。
f(x) = 1/ln(x)とすると
f'(x) = -1/(x(ln(x))²)
x = eのとき：
f'(e) = -1/(e(ln(e))²)
= -1/(e × 1²)
= -1/e
≈ -0.368
x = 10での微分係数も計算してみましょう。
x = 10のとき：
f'(10) = -1/(10(ln(10))²)
= -1/(10 × 2.303²)
≈ -1/53.03
≈ -0.0189
xが大きくなるほど、微分係数の絶対値は小さくなることが分かるでしょう。これは関数の変化が緩やかになることを意味します。
接線の方程式
x = eにおける接線の方程式を求めてみましょう。
点(e, 1/ln(e)) = (e, 1)における接線
傾き：m = f'(e) = -1/e
接線の方程式：
y – 1 = -1/e(x – e)
y = -x/e + 1 + 1
y = -x/e + 2
この接線は、負の傾きを持つ直線となります。
極値の判定
1/logxは極値を持つでしょうか。極値を調べるには、f'(x) = 0となる点を探します。
f'(x) = -1/(x(log(x))²) = 0
この方程式を解くと：
-1/(x(log(x))²) = 0
→ -1 = 0（矛盾）
導関数が0になる点は存在しません。また、x > 1の範囲でf'(x) < 0なので、1/logxは常に単調減少であり、極値を持たないことが分かります。
まとめ
この記事では、1/logxの微分について詳しく解説してきました。
1/logxの微分は-1/(x(log(x))²)という形になり、商の微分法と合成関数の微分法のどちらでも導出できます。商の微分法では分数の形として扱い、合成関数の微分法では累乗の形として扱うことで、同じ結果が得られるでしょう。
この関数は常に負の微分係数を持つため単調減少であり、極値を持ちません。また、底が自然対数eの場合、計算が最もシンプルになることも重要なポイントです。
実際の計算では、どちらの微分法を使っても構いませんが、問題の形に応じて使い分けることで、より効率的に解答できることでしょう。
