ルートxの微分の公式はや計算方法（平方根・べき乗・1/2乗・求め方など）

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ルート（平方根）を含む関数の微分は、初めて学ぶときに戸惑うことが多い内容です。しかし、ルートをべき乗の形に書き換えることで、基本的なべき関数の微分公式を適用できます。この考え方を理解すれば、ルートを含む複雑な関数の微分も計算できるようになるでしょう。

この記事では、ルート（√x）の微分公式から始まり、平方根を含む関数の微分法、べき乗表記への変換方法、具体的な計算例まで詳しく解説していきます。√の微分をマスターして、微分計算の幅を広げていきましょう。

√xの微分公式は1/(2√x)

それではまず、√xの基本的な微分公式について解説していきます。

√xの微分の基本公式

√xの微分公式はd/dx(√x) = 1/(2√x)

です。この公式は、ルートを含む関数の微分の基礎となります。

一見複雑に見えますが、√xをべき乗の形x^(1/2)と書き換えることで、べき関数の微分公式を適用できるのです。

この公式は、グラフの接線の傾きを求める際や、変化率を計算する際に使用されます。√xのグラフは原点から始まり、xが大きくなるにつれて傾きが緩やかになっていく曲線でしょう。

べき乗表記を使った導出

√xの微分を、べき関数の微分公式を使って導出してみましょう。

√x = x^(1/2)と表記できます。べき関数x^nの微分公式d/dx(x^n) = nx^(n-1)を適用すると、n = 1/2として計算できるのです。

指数が負になったx^(-1/2)は、1/x^(1/2) = 1/√xと書き換えられます。この変換により、最終的な形1/(2√x)が得られるでしょう。

微分の定義からの導出

微分の定義を使っても、同じ結果が得られます。

d/dx(√x) = lim[h→0] [√(x+h) – √x]/hという極限を計算します。

分子を有理化するために、分子と分母に√(x+h) + √xを掛けます。

[√(x+h) – √x]/h × [√(x+h) + √x]/[√(x+h) + √x] = [(x+h) – x]/[h(√(x+h) + √x)] = h/[h(√(x+h) + √x)] = 1/(√(x+h) + √x)

h→0の極限を取ると、1/(√x + √x) = 1/(2√x)となります。

表記	微分
√x	1/(2√x)
x^(1/2)	(1/2)x^(-1/2)
x^(1/2)	1/(2x^(1/2))

ルートを含む関数の微分計算

続いては、より複雑なルートを含む関数の微分について確認していきます。

定数倍と和・差の微分

ルートに定数が掛かっている場合や、和・差の形の関数を微分してみましょう。

定数倍の微分：d/dx(a√x) = a·d/dx(√x) = a/(2√x)

例：d/dx(3√x) = 3/(2√x)

和や差の微分では、各項を個別に微分して足し合わせるだけです。ルートの項とそうでない項が混在していても、同じ規則が適用できるでしょう。

合成関数の微分（連鎖律）

√の中に別の関数が入っている場合は、連鎖律を使います。

一般に、d/dx(√f(x)) = f'(x)/(2√f(x))という公式が成り立ちます。

連鎖律を使う際は、外側のルートを微分してから、内側の関数を微分するという手順になります。

積や商を含む場合の微分

ルートと他の関数の積や商を微分する場合は、積の微分法や商の微分法を使います。

積の微分：d/dx(x·√x) = 1·√x + x·1/(2√x) = √x + x/(2√x) = √x + √x/2 = (3/2)√x

商の微分：d/dx(x/√x) = (1·√x – x·1/(2√x))/(√x)² = (√x – x/(2√x))/x = (√x/2)/x = 1/(2√x)

または、x/√x = x·x^(-1/2) = x^(1/2) = √xと簡略化してから微分する方が簡単でしょう。

関数	微分	使用する公式
3√x	3/(2√x)	定数倍
√x + x²	1/(2√x) + 2x	和の微分
√(x² + 1)	x/√(x² + 1)	連鎖律
x·√x	(3/2)√x	積の微分

様々なルート関数の微分公式

続いては、3乗根やn乗根など、様々なルート関数の微分について確認していきます。

3乗根の微分

3乗根∛xの微分も、べき乗表記を使って計算できます。

∛x = x^(1/3)と表記すると、べき関数の微分公式が適用できます。

3乗根の微分は1/(3∛(x²))

となります。一般的なパターンが見えてくるでしょう。

n乗根の微分公式

一般のn乗根についても、同様の方法で微分公式を導けます。

ⁿ√x = x^(1/n)と表記すると、微分は次のようになります。

特に、n = 2のときが√x、n = 3のときが∛xの公式に対応します。

分数のべき乗の微分

より一般的に、x^(p/q)の形（pとqは整数）の微分を考えてみましょう。

d/dx(x^(p/q)) = (p/q)x^(p/q – 1) = (p/q)x^((p-q)/q)

例：d/dx(x^(2/3)) = (2/3)x^(-1/3) = 2/(3x^(1/3)) = 2/(3∛x)

例：d/dx(x^(3/2)) = (3/2)x^(1/2) = (3/2)√x

これらはすべて、べき関数の微分公式の一般化として理解できるでしょう。

関数	べき乗表記	微分
√x	x^(1/2)	1/(2√x)
∛x	x^(1/3)	1/(3∛(x²))
ⁿ√x	x^(1/n)	1/(n·ⁿ√(x^(n-1)))
x√x	x^(3/2)	(3/2)√x

ルートの微分の計算テクニックと注意点

続いては、ルートの微分を効率的に計算するテクニックと注意点について確認していきます。

べき乗表記への変換のすすめ

複雑なルート関数を微分する際は、最初にべき乗表記に変換することをおすすめします。

√の記号のまま計算するよりも、x^(1/2)の形にした方が、べき関数の微分公式を直接適用できて間違いが少なくなるのです。

よくある間違いと対策

ルートの微分でよくある間違いを見ていきましょう。

間違い1：d/dx(√x) = 1/√xとしてしまう（係数1/2を忘れる）

間違い2：d/dx(√(2x)) = 1/(2√x)とする（連鎖律で内側の微分を忘れる）

間違い3：符号を間違える（負のべき乗の扱い）

簡略化のテクニック

微分した後の式を簡略化する方法も知っておくと便利です。

例：d/dx(x√x) = √x + x/(2√x)を簡略化

= √x + √x/2 = (2√x + √x)/2 = (3√x)/2 = (3/2)√x

または、最初にx√x = x·x^(1/2) = x^(3/2)と変形してから微分する方が簡単でしょう。

よくある間違い	正しい計算
d/dx(√x) = 1/√x	d/dx(√x) = 1/(2√x)
d/dx(√(2x)) = 1/(2√x)	d/dx(√(2x)) = 1/√(2x)
d/dx(1/√x) = 1/(2x)	d/dx(1/√x) = -1/(2x√x)

まとめ

ルート（√x）の微分公式と計算方法について詳しく解説してきました。

√xの微分の基本公式はd/dx(√x) = 1/(2√x)です。これは、√xをべき乗表記x^(1/2)に変換し、べき関数の微分公式を適用することで導出できます。

合成関数の場合は連鎖律を使い、d/dx(√f(x)) = f'(x)/(2√f(x))という公式を適用します。積や商を含む場合は、それぞれの微分法を組み合わせて計算するでしょう。

3乗根やn乗根についても、同様にべき乗表記に変換することで微分できます。複雑なルート関数を微分する際は、最初にべき乗の形に変換してから計算することで、ミスを減らすことができるはずです。