微分の重要な応用の一つが、曲線上のある点における接線の方程式を求めることです。接線は曲線に接する直線であり、その傾きは微分係数によって求められます。接線の方程式を理解することで、関数の局所的な振る舞いを直線で近似できるようになるでしょう。
この記事では、微分を使った接線の方程式の求め方について、公式の導出から具体的な計算方法まで詳しく解説していきます。傾きの求め方、接点の意味、y=f'(a)(x-a)+f(a)という公式の使い方を理解していきましょう。
接線の方程式の基本公式
それではまず、接線の方程式の基本的な公式について解説していきます。
接線の方程式の公式
曲線y=f(x)上の点(a, f(a))における接線の方程式は、y=f’(a)(x-a)+f(a)で表されます。
この公式は、点(a, f(a))を通り、傾きがf'(a)である直線の方程式です。f'(a)は点x=aにおける微分係数、つまり接線の傾きを表すのです。
【接線の方程式の公式】
y = f'(a)(x – a) + f(a)
または
y – f(a) = f'(a)(x – a)
ここで、
a：接点のx座標
f(a)：接点のy座標
f'(a)：接点における傾き（微分係数）
この公式は、直線の方程式y-y₁=m(x-x₁)（点(x₁, y₁)を通り傾きmの直線）に、x₁=a、y₁=f(a)、m=f'(a)を代入したものでしょう。
公式の導出
接線の方程式の公式がどのように導かれるか見ていきましょう。
直線の方程式の一般形は、点(x₁, y₁)を通り傾きmの直線がy-y₁=m(x-x₁)です。
接線は、曲線y=f(x)上の点(a, f(a))を通り、その点での曲線の傾きf'(a)を持つ直線なのです。
したがって、x₁=a、y₁=f(a)、m=f'(a)を代入すると、y-f(a)=f'(a)(x-a)となります。これを整理すると、y=f'(a)(x-a)+f(a)が得られるでしょう。
公式の意味
この公式の各部分の意味を理解しましょう。
f'(a)(x-a)の部分は、接点からのx方向の変位(x-a)に、傾きf'(a)を掛けたものです。これはy方向の変化量を表します。
f(a)は接点のy座標であり、基準となる高さです。変化量f'(a)(x-a)をこの基準に加えることで、接線上の任意の点のy座標が得られるのです。
接線の方程式は、関数f(x)を接点の周りで1次関数（直線）で近似したものと解釈できます。これは線形近似とも呼ばれ、微分の重要な応用の一つです。
| 要素 | 記号 | 意味 |
|---|---|---|
| 接点のx座標 | a | 接線が曲線に接する点のx値 |
| 接点のy座標 | f(a) | 接線が曲線に接する点のy値 |
| 接線の傾き | f'(a) | 接点における微分係数 |
| 接線の方程式 | y=f'(a)(x-a)+f(a) | 求める直線の式 |
接線の方程式の求め方（手順）
続いては、具体的に接線の方程式を求める手順について確認していきます。
基本的な計算手順
接線の方程式を求める基本的な手順は3ステップです。
【接線の方程式を求める手順】
ステップ1：関数f(x)を微分してf'(x)を求める
ステップ2：接点x=aを代入してf(a)とf'(a)を計算する
ステップ3：公式y=f'(a)(x-a)+f(a)に代入する
この手順に従えば、どんな関数でも接線の方程式を求められます。各ステップを確実に実行することが重要でしょう。
具体例1：多項式関数の接線
y=x²のグラフ上の点(2, 4)における接線の方程式を求めてみましょう。
ステップ1：f(x)=x²を微分すると、f'(x)=2x
ステップ2：x=2を代入して、f(2)=4、f'(2)=2×2=4
ステップ3：公式に代入して、y=4(x-2)+4=4x-8+4=4x-4
したがって、接線の方程式はy=4x-4となります。
具体例2：三角関数の接線
y=sin xのグラフ上の点(π/2, 1)における接線の方程式を求めてみましょう。
ステップ1：f(x)=sin xを微分すると、f'(x)=cos x
ステップ2：x=π/2を代入して、f(π/2)=sin(π/2)=1、f'(π/2)=cos(π/2)=0
ステップ3：公式に代入して、y=0(x-π/2)+1=1
したがって、接線の方程式はy=1（水平線）となります。sin xのグラフは点(π/2, 1)で極大値を取るため、接線が水平になるのです。
| 例題 | 関数 | 接点 | f'(x) | f'(a) | 接線の方程式 |
|---|---|---|---|---|---|
| 例1 | y=x² | (2, 4) | 2x | 4 | y=4x-4 |
| 例2 | y=sin x | (π/2, 1) | cos x | 0 | y=1 |
様々なパターンの接線の方程式
続いては、いくつかの特殊なパターンの接線の方程式について確認していきます。
曲線外の点から引いた接線
曲線上にない点から曲線に接線を引く場合は、接点の座標が未知数になります。
例えば、y=x²のグラフに点(0, -1)から引いた接線を求める場合、接点を(t, t²)とおきます。
接線の方程式は、y=2t(x-t)+t²=2tx-t²となります。この直線が点(0, -1)を通るという条件から、-1=-t²、つまりt²=1、t=±1が得られるのです。
したがって、接線は2本あり、y=2x-1とy=-2x-1となるでしょう。
x座標が与えられた場合
「x=aにおける接線」と指定された場合は、接点のy座標f(a)を計算する必要があります。
例：y=x³のグラフ上のx=1における接線
f(1)=1³=1なので、接点は(1, 1)
f'(x)=3x²より、f'(1)=3
接線の方程式：y=3(x-1)+1=3x-2
y座標が与えられた場合
「y=bにおける接線」と指定された場合は、まずf(x)=bを解いてx座標を求めます。
例：y=x²のグラフ上のy=4における接線
x²=4より、x=±2
接点は(2, 4)と(-2, 4)の2つあり、それぞれで接線を求めるのです。
【様々な指定方法】
点(a, f(a))における接線：直接公式を適用
x=aにおける接線：f(a)を計算してから公式を適用
y=bにおける接線：f(x)=bを解いてxを求めてから計算
曲線外の点から：接点を未知数として方程式を立てる
| パターン | 与えられる情報 | 求める手順 |
|---|---|---|
| 標準 | 接点(a, f(a)) | 直接公式に代入 |
| x座標指定 | x=a | f(a)を計算後、公式に代入 |
| y座標指定 | y=b | f(x)=bを解いてxを求める |
| 曲線外の点 | 通過点(p, q) | 接点を未知数として方程式 |
接線の傾きと微分係数の関係
続いては、接線の傾きと微分係数の関係について確認していきます。
微分係数が接線の傾きである理由
なぜ微分係数f’(a)が接線の傾きになるのか、その理由を理解しましょう。
微分係数は、f'(a)=lim[h→0] [f(a+h)-f(a)]/hと定義されます。これは、点x=aの近くで関数がどれだけ急激に変化するかを表す値です。
2点(a, f(a))と(a+h, f(a+h))を結ぶ直線（割線）の傾きは、[f(a+h)-f(a)]/hです。h→0の極限を取ると、この割線は接線に近づき、その傾きがf'(a)になるのです。
傾きの符号と関数の増減
接線の傾きf’(a)の符号は、関数の増減を表します。
f'(a)>0のとき、接線は右上がりで、関数はx=aで増加しています。
f'(a)
f'(a)=0のとき、接線は水平で、関数はx=aで極値（極大または極小）を取る可能性があるでしょう。
接線による関数の近似
接線を使って、接点の近くで関数を近似できます。
x=aの近くでは、f(x)≈f'(a)(x-a)+f(a)という近似が成り立ちます。これを線形近似または1次近似と呼ぶのです。
例えば、√xをx=4の近くで近似すると、f(x)=√x、f(4)=2、f'(x)=1/(2√x)、f'(4)=1/4より、√x≈(1/4)(x-4)+2=(1/4)x+1となります。
この近似式を使えば、例えば√4.1≈(1/4)×4.1+1=2.025と簡単に計算できるでしょう（実際の値は約2.0248）。
| f'(a)の符号 | 接線の向き | 関数の状態 |
|---|---|---|
| f'(a)>0 | 右上がり | 増加 |
| f'(a)=0 | 水平 | 極値の可能性 |
| f'(a) | 右下がり | 減少 |
まとめ
微分を使った接線の方程式について、公式と求め方を詳しく解説してきました。
接線の方程式の基本公式はy=f'(a)(x-a)+f(a)です。これは点(a, f(a))を通り、傾きf'(a)を持つ直線の方程式として導かれます。
求め方の手順は、①関数を微分、②接点での値を計算、③公式に代入という3ステップでしょう。この手順に従えば、どんな関数でも接線の方程式を求められます。
微分係数f'(a)は接線の傾きであり、関数の局所的な変化率を表します。接線を使った線形近似は、複雑な関数を簡単な直線で近似する強力な手法です。接線の方程式を理解することで、微分の幾何学的な意味がより明確になるはずです。
