微分計算を学ぶ中で、「1/logxの微分」を求める問題に出会うことがあるでしょう。対数関数の逆数という形をしているため、どの微分法を使えばよいのか迷ってしまう方も多いかもしれません。
この記事では、1/logxの微分の求め方と公式について、基本から応用まで丁寧に解説していきます。商の微分法、合成関数の微分、そして実際の計算例まで、わかりやすくお伝えしますので、ぜひ最後までご覧ください。
1/logxの微分の答えと公式
それではまず、1/logxの微分の結論と基本的な公式について解説していきます。
1/logxの微分の結果
1/logxの微分は、次のように表されます。
d/dx
= -1/(x(log(x))²)
または、自然対数を用いて：
d/dx = -1/(x(ln(x))²)
この結果を見ると、分母にxと対数の2乗が現れることが分かるでしょう。負の符号がついているのもポイントです。
公式の意味
この微分公式には重要な意味があります。まず、定義域に注目してみましょう。
定義域：x > 0, x ≠ 1
理由：
・x > 0：対数関数の定義より
・x ≠ 1：log(1) = 0となり、1/log(x)が定義されないため
また、導関数が常に負であることから、1/logxは単調減少関数であることが分かります（x > 1の範囲において）。
底が異なる場合
対数の底が異なる場合の微分も確認しておきましょう。
| 関数 | 微分結果 |
|---|---|
| 1/log₁₀(x) | -1/(x ln(10)(log₁₀(x))²) |
| 1/ln(x) | -1/(x(ln(x))²) |
| 1/log₂(x) | -1/(x ln(2)(log₂(x))²) |
| 1/logₐ(x) | -1/(x ln(a)(logₐ(x))²) |
底がeの自然対数の場合が最もシンプルな形になることが分かるでしょう。
商の微分法を使った求め方
続いては、商の微分法を使って1/logxの微分を実際に計算していきます。
商の微分公式の確認
まず、商の微分公式を復習しておきましょう。
商の微分公式：
(f/g)’ = (f’g – fg’)/g²
この公式を使えば、1/logxを「1」÷「logx」という商の形として微分できます。
ステップバイステップの計算
それでは、実際に計算してみましょう。
【ステップ1】関数を分解
f(x) = 1, g(x) = log(x)
【ステップ2】それぞれを微分
f'(x) = 0
g'(x) = 1/(x ln(10))（常用対数の場合）
または g'(x) = 1/x（自然対数の場合）
【ステップ3】商の微分公式に代入
(1/log(x))’ = (0 × log(x) – 1 × 1/x)/(log(x))²
= -1/(x(log(x))²)
このように、商の微分法を使えば機械的に計算できるでしょう。分子が定数の場合、計算が比較的簡単になります。
常用対数と自然対数の違い
底が10の常用対数と底がeの自然対数では、結果が少し異なります。
【常用対数の場合】log₁₀(x)
d/dx[log₁₀(x)] = 1/(x ln(10))
よって：
d/dx = -1/(x ln(10)(log₁₀(x))²)
【自然対数の場合】ln(x)
d/dx[ln(x)] = 1/x
よって：
d/dx = -1/(x(ln(x))²)
自然対数を使った方が、ln(10)などの定数項が現れず、式がシンプルになることが分かるでしょう。
合成関数の微分による求め方
続いては、別のアプローチとして合成関数の微分を使った方法を確認していきます。
合成関数としての見方
1/logxは、次のような合成関数として捉えることができます。
y = 1/log(x) = (log(x))⁻¹
外側の関数：u⁻¹
内側の関数：u = log(x)
この見方をすれば、チェーンルール（連鎖律）を適用できるでしょう。
チェーンルールの適用
合成関数の微分法（チェーンルール）は次の通りです。
合成関数の微分：
dy/dx = dy/du × du/dx
これを使って計算してみましょう。
【ステップ1】外側の微分
y = u⁻¹に対して
dy/du = -u⁻² = -1/u²
【ステップ2】内側の微分
u = log(x)に対して
du/dx = 1/(x ln(10))（常用対数）
または du/dx = 1/x（自然対数）
【ステップ3】掛け合わせる
dy/dx = -1/u² × 1/x
= -1/(log(x))² × 1/x
= -1/(x(log(x))²)
商の微分法と同じ結果が得られました。合成関数の微分法を使う方が、累乗の形を扱うときは計算しやすいこともあるでしょう。
一般化した形
より一般的に、(log(x))ⁿの微分を考えてみましょう。
| 関数 | 微分結果 |
|---|---|
| (log(x))¹ | 1/(x ln(10)) |
| (log(x))⁻¹ | -1/(x ln(10)(log(x))²) |
| (log(x))² | 2log(x)/(x ln(10)) |
| (log(x))⁻² | -2/(x ln(10)(log(x))³) |
このように、累乗の指数によって微分の形が系統的に変わることが分かります。
具体的な計算例と応用
続いては、1/logxの微分を使った具体的な計算例を確認していきます。
特定の点での微分係数
x = eでの微分係数を計算してみましょう。
f(x) = 1/ln(x)とすると
f'(x) = -1/(x(ln(x))²)
x = eのとき：
f'(e) = -1/(e(ln(e))²)
= -1/(e × 1²)
= -1/e
≈ -0.368
x = 10での微分係数も計算してみましょう。
x = 10のとき：
f'(10) = -1/(10(ln(10))²)
= -1/(10 × 2.303²)
≈ -1/53.03
≈ -0.0189
xが大きくなるほど、微分係数の絶対値は小さくなることが分かるでしょう。これは関数の変化が緩やかになることを意味します。
接線の方程式
x = eにおける接線の方程式を求めてみましょう。
点(e, 1/ln(e)) = (e, 1)における接線
傾き：m = f'(e) = -1/e
接線の方程式：
y – 1 = -1/e(x – e)
y = -x/e + 1 + 1
y = -x/e + 2
この接線は、負の傾きを持つ直線となります。
極値の判定
1/logxは極値を持つでしょうか。極値を調べるには、f'(x) = 0となる点を探します。
f'(x) = -1/(x(log(x))²) = 0
この方程式を解くと：
-1/(x(log(x))²) = 0
→ -1 = 0（矛盾）
導関数が0になる点は存在しません。また、x > 1の範囲でf'(x) 1/logxは常に単調減少であり、極値を持たないことが分かります。
まとめ
この記事では、1/logxの微分について詳しく解説してきました。
1/logxの微分は-1/(x(log(x))²)という形になり、商の微分法と合成関数の微分法のどちらでも導出できます。商の微分法では分数の形として扱い、合成関数の微分法では累乗の形として扱うことで、同じ結果が得られるでしょう。
この関数は常に負の微分係数を持つため単調減少であり、極値を持ちません。また、底が自然対数eの場合、計算が最もシンプルになることも重要なポイントです。
実際の計算では、どちらの微分法を使っても構いませんが、問題の形に応じて使い分けることで、より効率的に解答できることでしょう。
1/logxのグラフとは？特徴と書き方を解説！（y=1/logxのグラフ・漸近線・定義域・値域・増減・極限など）
関数のグラフを理解することは、数学的な性質を視覚的に把握する上で非常に重要です。特に「1/logxのグラフ」は、対数関数の逆数という特殊な形をしているため、独特の性質を持っています。
この記事では、1/logxのグラフの特徴と書き方について、定義域や値域、漸近線、増減などを詳しく解説していきます。グラフの概形を理解することで、この関数の性質が明確になりますので、ぜひ最後までご覧ください。
1/logxのグラフの基本的な特徴
それではまず、y = 1/logxのグラフがどのような形をしているのか、基本的な特徴を解説していきます。
定義域と値域
まず最も重要な定義域と値域を確認しましょう。
【定義域】x > 0, x ≠ 1
【値域】y ≠ 0のすべての実数
定義域がx ≠ 1となる理由は、log(1) = 0となり、分母が0になってしまうためです。また、x > 0という制限は対数関数自体の定義から来ています。
定義域の詳細：
・0
・x = 1：定義されない（不連続点）
・x > 1の範囲：log(x) > 0より、y = 1/log(x) > 0
グラフの概形
1/logxのグラフは、x = 1を境に2つの部分に分かれます。
| 範囲 | 符号 | 挙動 |
|---|---|---|
| 0 | y | x→0でy→0⁻、x→1⁻でy→-∞ |
| x = 1 | 未定義 | 不連続点（漸近線） |
| x > 1 | y > 0 | x→1⁺でy→+∞、x→∞でy→0⁺ |
この表から、グラフがx = 1で分断され、両側で異なる挙動を示すことが分かるでしょう。
主な特徴点
いくつかの重要な点での関数値を計算してみましょう。
x = 0.1のとき：y = 1/log(0.1) = 1/(-1) = -1
x = eのとき：y = 1/ln(e) = 1/1 = 1
x = 10のとき：y = 1/log(10) = 1/1 = 1（常用対数）
x = 100のとき：y = 1/log(100) = 1/2 = 0.5
これらの点をプロットすることで、グラフの大まかな形が見えてくるでしょう。
漸近線の求め方
続いては、1/logxのグラフが持つ漸近線について確認していきます。
垂直漸近線
最も重要な漸近線は、x = 1における垂直漸近線です。
垂直漸近線：x = 1
この直線に近づくと、y値は±∞に発散します。
極限を使って表すと、次のようになります。
lim[x→1⁺] 1/log(x) = +∞
lim[x→1⁻] 1/log(x) = -∞
x = 1の右側から近づくと正の無限大、左側から近づくと負の無限大になるため、x = 1で不連続であることが分かります。
水平漸近線
次に、x → ∞およびx → 0での挙動を調べましょう。
【x → ∞の場合】
lim[x→∞] 1/log(x) = 1/∞ = 0
よって、水平漸近線：y = 0（x → ∞）
【x → 0⁺の場合】
lim[x→0⁺] 1/log(x) = 1/(-∞) = 0
よって、水平漸近線：y = 0（x → 0⁺）
両端でy = 0が水平漸近線となることが分かるでしょう。ただし、y = 0には決して到達しません。
漸近線のまとめ
1/logxのグラフが持つすべての漸近線を整理します。
| 漸近線の種類 | 方程式 | 詳細 |
|---|---|---|
| 垂直漸近線 | x = 1 | 両側から±∞に発散 |
| 水平漸近線（右） | y = 0 | x → ∞で上から接近 |
| 水平漸近線（左） | y = 0 | x → 0⁺で下から接近 |
この3本の漸近線が、グラフの骨格を決定する重要な要素となります。
増減と極限の性質
続いては、1/logxの増減表と極限の性質を詳しく確認していきます。
導関数と増減
増減を調べるには、導関数の符号を見ます。
f(x) = 1/log(x)に対して
f'(x) = -1/(x(log(x))²)
この導関数の符号を判定してみましょう。
x > 0, x ≠ 1のすべての範囲で：
・x > 0より、分母のxは正
・(log(x))²は常に正（0でない限り）
・分子は-1（負）
よって、f'(x)
これにより、1/logxは定義域全体で単調減少であることが分かります。
増減表
増減表を作成すると、次のようになるでしょう。
| x | 0⁺ | … | 1⁻ | 1 | 1⁺ | … | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | – | – | × | – | – | ||
| f(x) | 0⁻ | ↘ | -∞ | × | +∞ | ↘ | 0⁺ |
0 1の各範囲で、それぞれ単調減少していることが明確に分かります。
極限値の詳細
重要な極限値をすべて整理しておきましょう。
lim[x→0⁺] 1/log(x) = 0⁻
lim[x→1⁻] 1/log(x) = -∞
lim[x→1⁺] 1/log(x) = +∞
lim[x→∞] 1/log(x) = 0⁺
これらの極限から、グラフはx = 1を境に大きく飛躍することが分かるでしょう。符号が負から正へと変わる点でもあります。
グラフの書き方と応用
続いては、実際に1/logxのグラフを描く手順と、その応用について確認していきます。
グラフを描く手順
1/logxのグラフを正確に描くための手順を示します。
【ステップ1】漸近線を描く
・垂直線 x = 1を点線で描く
・水平線 y = 0を点線で描く
【ステップ2】重要な点をプロット
・(0.1, -1)
・(e, 1)または(10, 1)
・(100, 0.5)
【ステップ3】曲線を滑らかに結ぶ
・0
・x > 1の範囲：+∞から下降してy = 0へ
これらの手順に従えば、特徴を捉えたグラフが描けるでしょう。
常用対数と自然対数の違い
底によってグラフの形が若干異なります。
| 対数の種類 | 基準点 | 特徴 |
|---|---|---|
| 常用対数（底10） | x = 10でy = 1 | 整数値で考えやすい |
| 自然対数（底e） | x = eでy = 1 | 微分が簡潔 |
| 2を底 | x = 2でy = 1 | コンピュータ関連 |
どの底を使っても、基本的な形状は同じです。漸近線もx = 1、y = 0で変わりません。
他の関数との比較
1/logxと似た形の関数と比較してみましょう。
【1/xのグラフとの違い】
・1/x：双曲線、漸近線はx = 0とy = 0
・1/log(x)：漸近線はx = 1とy = 0
【log(x)のグラフとの関係】
・log(x)が大きい→1/log(x)は小さい
・log(x)が0に近い→1/log(x)は±∞に発散
これらの比較により、1/logxの独自性がより明確になるでしょう。
まとめ
この記事では、1/logxのグラフについて詳しく解説してきました。
y = 1/logxのグラフはx = 1で垂直漸近線を持ち、y = 0が水平漸近線となる特徴的な形をしています。定義域はx > 0かつx ≠ 1、値域はy ≠ 0のすべての実数です。
このグラフは定義域全体で単調減少し、x = 1を境に負の領域と正の領域に分かれます。0 1では正の値をとるという性質を持つでしょう。
漸近線や増減を正しく理解することで、関数の全体像が把握でき、グラフを正確に描くことができることでしょう。
