三角関数を学習していると、「sin2xとcos2xの関係」について疑問を持つことがあるでしょう。これらは2倍角の公式として重要な役割を果たし、様々な変形や応用が可能です。
この記事では、sin2xとcos2xの関係と公式について、基本的な恒等式から合成、変形のテクニックまで詳しく解説していきます。sin²x+cos²x=1との違いや、実用的な計算方法をしっかりお伝えしますので、ぜひ最後までご覧ください。
sin2xとcos2xの基本公式
それではまず、sin2xとcos2xの基本的な公式について解説していきます。
2倍角の公式
sin2xとcos2xは、2倍角の公式として定義されます。
【2倍角の公式】
sin2x = 2sinx cosx
cos2x = cos²x – sin²x
これらの公式は、加法定理から導出される重要な公式です。
cos2xの3つの形
cos2xには、複数の表現方法があります。
cos2x = cos²x – sin²x （基本形）
cos2x = 2cos²x – 1 （cosだけの形）
cos2x = 1 – 2sin²x （sinだけの形）
これらは、sin²x + cos²x = 1を利用して変形できます。
【導出】
sin²x + cos²x = 1より
sin²x = 1 – cos²x
cos2x = cos²x – sin²x に代入すると
= cos²x – (1 – cos²x)
= 2cos²x – 1
同様に、cos²x = 1 – sin²x を代入すると
= (1 – sin²x) – sin²x
= 1 – 2sin²x
sin²x+cos²x=1との違い
よく混同される2つの公式を比較しましょう。
| 公式 | 内容 | 特徴 |
|---|---|---|
| sin²x + cos²x = 1 | 三角関数の基本恒等式 | すべてのxで成立 |
| sin²(2x) + cos²(2x) = 1 | 2xに対する基本恒等式 | 2xをθとおけば同じ |
| sin2x = 2sinx cosx | 2倍角の公式 | sinとcosの積 |
| cos2x = cos²x – sin²x | 2倍角の公式 | 平方の差 |
sin²x + cos²x = 1はピタゴラスの定理から導かれる基本的な恒等式で、sin2xやcos2xとは異なる性質を持ちます。
sin2xとcos2xの恒等式
続いては、sin2xとcos2xが満たす様々な恒等式を確認していきます。
基本的な恒等式
まず、最も基本的な関係を見てみましょう。
sin²(2x) + cos²(2x) = 1
これは、2xをθと置き換えれば
sin²θ + cos²θ = 1と同じ
どんな角度に対しても、正弦の二乗と余弦の二乗の和は1になります。
tan2xを使った関係
tan2xを介した関係式もあります。
tan2x = sin2x / cos2x
倍角の公式より：
tan2x = (2sinx cosx) / (cos²x – sin²x)
分子分母をcos²xで割ると：
tan2x = (2tanx) / (1 – tan²x)
これも重要な2倍角の公式の一つです。
微分・積分での関係
微分と積分においても関連があります。
| 関数 | 微分 | 積分 |
|---|---|---|
| sin2x | 2cos2x | -1/2 cos2x + C |
| cos2x | -2sin2x | 1/2 sin2x + C |
sin2xの微分がcos2xに、cos2xの微分がsin2xに関連していることが分かります。
相互変換の公式
sin2xとcos2xを相互に変換する公式もあります。
【位相をずらす】
sin2x = cos(π/2 – 2x) = cos(2(π/4 – x))
cos2x = sin(π/2 – 2x) = sin(2(π/4 – x))
【別の表現】
sin2x = -cos(2x + π/2)
cos2x = sin(2x + π/2)
sin2x + cos2xの合成
続いては、sin2xとcos2xの和を一つの三角関数で表す合成について確認していきます。
合成の公式
sin2x + cos2xを合成してみましょう。
sin2x + cos2x = √2 sin(2x + π/4)
または
sin2x + cos2x = √2 cos(2x – π/4)
このように、一つのsin（またはcos）で表現できます。
合成の導出過程
どのようにこの形が導かれるか見てみましょう。
a sinθ + b cosθ = √(a²+b²) sin(θ + α)
ただし、cosα = a/√(a²+b²), sinα = b/√(a²+b²)
sin2x + cos2xの場合：
a = 1, b = 1, θ = 2x
√(1²+1²) = √2
cosα = 1/√2, sinα = 1/√2
よって α = π/4
sin2x + cos2x = √2 sin(2x + π/4)
この合成により、最大値・最小値が求めやすくなります。
合成を使った最大値・最小値
合成した形から、最大値と最小値を求めてみましょう。
f(x) = sin2x + cos2x = √2 sin(2x + π/4)
sinの範囲は -1 ≤ sin(2x + π/4) ≤ 1
よって：
-√2 ≤ √2 sin(2x + π/4) ≤ √2
【最大値】√2（2x + π/4 = π/2のとき、つまりx = π/8）
【最小値】-√2（2x + π/4 = 3π/2のとき、つまりx = 5π/8）
係数が異なる場合
係数が異なる場合も見てみましょう。
【例】3sin2x + 4cos2xを合成
√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5
cosα = 3/5, sinα = 4/5
α = arctan(4/3) ≈ 0.927ラジアン
3sin2x + 4cos2x = 5sin(2x + α)
最大値：5、最小値：-5
係数が大きいほど、振幅も大きくなります。
半角の公式との関係
続いては、cos2xから半角の公式を導く方法を確認していきます。
半角の公式の導出
cos2xの公式を変形して、半角の公式を導きます。
cos2x = 2cos²x – 1より
2cos²x = 1 + cos2x
cos²x = (1 + cos2x)/2
同様に、cos2x = 1 – 2sin²xより
2sin²x = 1 – cos2x
sin²x = (1 – cos2x)/2
これらが半角の公式です。
半角の公式の応用
半角の公式を使って積分を簡単にできます。
【例】∫sin²x dx を計算
sin²x = (1 – cos2x)/2 より
∫sin²x dx = ∫(1 – cos2x)/2 dx
= 1/2 ∫(1 – cos2x)dx
= 1/2(x – 1/2 sin2x) + C
= x/2 – 1/4 sin2x + C
直接積分するより、半角の公式を使った方が簡単です。
角度を半分にする
2xをθと置き換えて考えることもできます。
2x = θとおくと、x = θ/2
sin²(θ/2) = (1 – cosθ)/2
cos²(θ/2) = (1 + cosθ)/2
tan²(θ/2) = (1 – cosθ)/(1 + cosθ)
これにより、半分の角度の三角関数が求まります。
具体的な計算例と応用
続いては、sin2xとcos2xを使った具体的な計算例を確認していきます。
方程式を解く
sin2xとcos2xを含む方程式を解いてみましょう。
【例1】sin2x = cos2xを解く（0 ≤ x
両辺をcos2xで割ると（cos2x ≠ 0のとき）
tan2x = 1
2x = π/4, 5π/4, 9π/4, 13π/4
x = π/8, 5π/8, 9π/8, 13π/8
【例2】sin2x + cos2x = 1を解く（0 ≤ x
合成すると：
√2 sin(2x + π/4) = 1
sin(2x + π/4) = 1/√2 = √2/2
2x + π/4 = π/4, 3π/4
2x = 0, π/2
x = 0, π/4
合成を使うことで、方程式が解きやすくなります。
恒等式の証明
恒等式を証明してみましょう。
【証明】(sinx + cosx)² = 1 + sin2x
【左辺】
(sinx + cosx)²
= sin²x + 2sinx cosx + cos²x
= (sin²x + cos²x) + 2sinx cosx
= 1 + 2sinx cosx
= 1 + sin2x 【右辺】
2倍角の公式sin2x = 2sinx cosxを使って証明できました。
三角不等式
不等式を解く問題も見てみましょう。
【問題】sin2x + cos2x > 0 を解く（0 ≤ x
√2 sin(2x + π/4) > 0
sin(2x + π/4) > 0
0
-π/4
-π/8
0 ≤ x
0 ≤ x
つまり、0 ≤ x
最大値・最小値問題
実用的な最適化問題を解いてみましょう。
【問題】f(x) = 3sin2x – 4cos2x の最大値と最小値を求める
√(3²+(-4)²) = √(9+16) = 5
cosα = 3/5, sinα = -4/5
α = arctan(-4/3)
f(x) = 5sin(2x + α)
最大値：5（sin = 1のとき）
最小値：-5（sin = -1のとき）
物理学・工学での応用
続いては、sin2xとcos2xが実際にどのような場面で使われるのか確認していきます。
波の干渉
2つの波が重なるときの現象を記述します。
【波の合成】
波1：y₁ = A sin(ωt)
波2：y₂ = A cos(ωt)
合成波：y = y₁ + y₂ = A(sinωt + cosωt)
= √2 A sin(ωt + π/4)
振幅が√2倍になる
これは建設的干渉の例です。
力学での応用
振動や回転運動でsin2xとcos2xが現れます。
| 現象 | 式 | 意味 |
|---|---|---|
| 単振動 | x = A sin(ωt + φ) | 位置の時間変化 |
| 等速円運動 | v² = v₀²(sin²θ + cos²θ) | 速度の保存 |
| 斜方投射 | R = v₀²sin2θ/g | 飛距離の最大化 |
特に斜方投射では、sin2θが最大になるθ = 45°で飛距離が最大になります。
電気回路
交流回路でも重要な役割を果たします。
【電力の計算】
電圧：V = V₀ sinωt
電流：I = I₀ sinωt
瞬時電力：P = VI = V₀I₀ sin²ωt
= V₀I₀ × (1 – cos2ωt)/2
平均電力：P̄ = V₀I₀/2
半角の公式を使って、平均電力を計算できます。
信号処理
デジタル信号処理でも応用されています。
【周波数の2倍化】
sin²(ωt) = (1 – cos2ωt)/2
元の信号sinωtを2乗すると、
周波数が2倍のcos2ωt成分が現れる
まとめ
この記事では、sin2xとcos2xの関係について詳しく解説してきました。
sin2xとcos2xは2倍角の公式として、sin2x = 2sinx cosx、cos2x = cos²x – sin²xで定義されます。cos2xには、2cos²x – 1や1 – 2sin²xという別の形もあり、これらはsin²x + cos²x = 1を使って相互変換できるでしょう。
sin2x + cos2xは、√2 sin(2x + π/4)という形に合成でき、最大値√2、最小値-√2を持ちます。また、cos2xの公式から半角の公式が導かれ、積分計算などで有用です。
方程式や不等式を解く際、合成を使うことで計算が簡単になります。物理学では波の干渉、力学の斜方投射、電気回路の電力計算など、様々な場面でsin2xとcos2xが活用されています。これらの公式と関係をしっかり理解することで、三角関数の応用力が大きく向上することでしょう。
