因数分解の問題で「x³+8」という式を見かけることがあります。2次式の因数分解とは異なり、3次式の因数分解には特別な公式が必要です。この問題は立方和と呼ばれるタイプの因数分解で、専用の公式を使えば簡単に解くことができるでしょう。
x³+8は x³+2³ と表現できることがポイントです。立方和の公式 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) を適用すれば、きれいに因数分解できます。この公式は高校数学で必須の知識であり、大学入試でも頻出のパターンとなっています。
本記事では、x³+8の因数分解について、公式の使い方から検算方法、類似問題まで詳しく解説していきます。立方和の因数分解をマスターして、様々な問題に対応できる力を身につけましょう。
x³+8の因数分解の答え（結論）
それではまず、x³+8の因数分解の答えについて解説していきます。
立方和の公式を使った解き方
x³+8を因数分解するには、まず8を2³と表現することが重要です。
x³ + 8 = x³ + 2³
これはa³+b³の形をした立方和であることが分かります。a=x、b=2として、立方和の公式を適用しましょう。
【立方和の公式】
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
この公式にa=x、b=2を代入します。
x³ + 2³ = (x + 2)(x² – x・2 + 2²)
= (x + 2)(x² – 2x + 4)
これが答えです。たすき掛けなどの複雑な計算は不要で、公式さえ知っていればすぐに因数分解できるでしょう。
因数分解の結果
x³+8の因数分解の最終的な答えは以下の通りです。
x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4)
この式は、1次式と2次式の積の形になっています。第一因数 (x+2) は1次式、第二因数 (x²-2x+4) は2次式です。
注意すべき点として、第二因数の x²-2x+4 はこれ以上因数分解できません。判別式を計算すると、
D = (-2)² – 4・1・4 = 4 – 16 = -12
判別式が負なので、実数の範囲ではこれ以上分解できないのです。したがって、(x+2)(x²-2x+4) が最終的な答えとなります。
| 元の式 | 因数分解後 | 第一因数 | 第二因数 |
|---|---|---|---|
| x³+8 | (x+2)(x²-2x+4) | x+2（1次式） | x²-2x+4（2次式） |
検算による確認
因数分解が正しいかどうか、展開して確認してみましょう。
(x+2)(x²-2x+4) を展開します。
(x + 2)(x² – 2x + 4)
= x(x² – 2x + 4) + 2(x² – 2x + 4)
= x³ – 2x² + 4x + 2x² – 4x + 8
同類項をまとめると、
= x³ + (-2x² + 2x²) + (4x – 4x) + 8
= x³ + 8
見事に元の式に戻りました。展開すると x³+8 になるので、因数分解が正しいことが確認できます。因数分解をしたら必ず検算する習慣をつけることが大切でしょう。
立方和の公式とは
続いては、立方和の公式について確認していきます。
a³+b³の基本公式
立方和の公式は、3次式の因数分解における最も重要な公式の一つです。
【立方和の公式】
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
この公式は、「和」と「平方の差のような形」の積に因数分解されます。第一因数は (a+b) というシンプルな和の形ですが、第二因数は少し複雑な形をしているでしょう。
第二因数 (a²-ab+b²) の各項を確認してみましょう。
・a²：aの2乗
・-ab：aとbの積（マイナス）
・b²：bの2乗
この形を覚えておくことで、どんな立方和も因数分解できるようになります。
公式の覚え方
立方和の公式を確実に覚えるためのポイントをいくつか紹介します。
第一因数は簡単です。(a+b) とそのまま和の形になります。
第二因数は、次のように覚えると良いでしょう。
「2乗、引く掛ける、2乗」
a² – ab + b²
語呂合わせとして「和（わ）と、2乗引く掛ける2乗」と覚える方法もあります。第一因数が「和」、第二因数が「2乗-掛ける+2乗」という構造です。
また、展開公式から逆に導く方法も有効でしょう。
(a + b)(a² – ab + b²) を展開すると a³ + b³
この関係を理解しておけば、公式を忘れても展開から確認できます。
| 覚え方 | 内容 | ポイント |
|---|---|---|
| 語呂合わせ | 和と2乗引く掛ける2乗 | 構造を言葉で表現 |
| 展開との対応 | 展開すると元に戻る | 検算で確認可能 |
| パターン認識 | (和)(2乗-積+2乗) | 形を視覚的に記憶 |
立方差の公式との違い
立方和と対になる公式として、立方差の公式も存在します。2つの公式を比較しておきましょう。
【立方和の公式】
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
【立方差の公式】
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
符号のパターンに注目することが重要です。
立方和（プラス）の場合：
・第一因数：(a+b) プラス
・第二因数：a²-ab+b² 真ん中がマイナス
立方差（マイナス）の場合：
・第一因数：(a-b) マイナス
・第二因数：a²+ab+b² 真ん中がプラス
【比較例】
x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4) ←立方和
x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4) ←立方差
符号が逆転する規則性を理解しておけば、混同することなく使い分けられるでしょう。
x³+8の詳しい解き方と計算手順
続いては、x³+8の詳しい解き方と計算手順を確認していきます。
ステップバイステップの解法
x³+8を因数分解する手順を、段階的に見ていきましょう。
【ステップ1】立方和の形を認識する
x³ + 8
= x³ + 2³ （8を2³と表現）
まず8が2の3乗であることに気づくことが重要です。この時点で a³+b³ の形だと判断できます。
【ステップ2】a と b を特定する
a = x
b = 2
何と何の3乗の和なのかを明確にします。
【ステップ3】公式を適用する
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
立方和の公式を書き出します。
【ステップ4】a と b を代入する
(x + 2)(x² – x・2 + 2²)
= (x + 2)(x² – 2x + 4)
各部分に具体的な値を代入して計算します。
【ステップ5】整理して完成
x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4)
これが最終的な答えです。この5つのステップを踏めば、確実に因数分解できるでしょう。
展開による検証
得られた答えが正しいか、展開して確認する方法を詳しく見ていきます。
(x+2)(x²-2x+4) を分配法則で展開します。
(x + 2)(x² – 2x + 4)
まず x を各項に掛けます。
x × (x² – 2x + 4) = x³ – 2x² + 4x
次に 2 を各項に掛けます。
2 × (x² – 2x + 4) = 2x² – 4x + 8
2つを足し合わせます。
(x³ – 2x² + 4x) + (2x² – 4x + 8)
= x³ + (-2x² + 2x²) + (4x – 4x) + 8
= x³ + 0 + 0 + 8
= x³ + 8
-2x²と2x²が打ち消し合い、4xと-4xも打ち消し合うことがポイントです。最終的に x³+8 だけが残るという美しい構造になっています。
グラフでの確認
y=x³+8 と y=(x+2)(x²-2x+4) のグラフは完全に一致します。
因数分解により、x=-2 のとき y=0 になることが分かります。つまり、グラフは点(-2, 0)を通るのです。
x = -2 のとき
y = (-2)³ + 8 = -8 + 8 = 0
また、y=(x+2)(x²-2x+4) という形から、x=-2 が解（零点）であることも明らかでしょう。
| xの値 | yの値（x³+8） | 特徴 |
|---|---|---|
| -3 | -19 | 負の値 |
| -2 | 0 | x切片 |
| -1 | 7 | 正の値 |
| 0 | 8 | y切片 |
| 1 | 9 | 増加 |
グラフは x=-2 を境に符号が変わり、3次関数特有の曲線を描きます。因数分解することで、グラフの性質もより深く理解できるでしょう。
類似問題と応用例
続いては、類似問題と応用例を確認していきます。
他の数値での立方和
x³+8と同じ方法で解ける類似問題を見ていきましょう。
【例題1】x³ + 1 を因数分解せよ。
これは x³+1³ という立方和です。
x³ + 1 = x³ + 1³
= (x + 1)(x² – x・1 + 1²)
= (x + 1)(x² – x + 1)
【例題2】a³ + 125 を因数分解せよ。
125 = 5³ なので、
a³ + 125 = a³ + 5³
= (a + 5)(a² – 5a + 25)
【例題3】8y³ + 27 を因数分解せよ。
8y³ = (2y)³、27 = 3³ なので、
8y³ + 27 = (2y)³ + 3³
= (2y + 3)((2y)² – 2y・3 + 3²)
= (2y + 3)(4y² – 6y + 9)
このように、どんな数でも立方数として表現できれば同じ公式が使えるのです。
x³+27、x³+64などの例
よく出題される数値のパターンをまとめておきましょう。
| 元の式 | 立方の形 | 因数分解後 |
|---|---|---|
| x³+1 | x³+1³ | (x+1)(x²-x+1) |
| x³+8 | x³+2³ | (x+2)(x²-2x+4) |
| x³+27 | x³+3³ | (x+3)(x²-3x+9) |
| x³+64 | x³+4³ | (x+4)(x²-4x+16) |
| x³+125 | x³+5³ | (x+5)(x²-5x+25) |
これらのパターンを覚えておくと、試験で素早く解答できるでしょう。特に 1³=1、2³=8、3³=27、4³=64、5³=125 という立方数は頻出です。
応用問題と入試での出題
入試レベルの応用問題も見ていきましょう。
【応用問題1】x³+8=0 の実数解を求めよ。
まず因数分解します。
x³ + 8 = 0
(x + 2)(x² – 2x + 4) = 0
第一因数から、x=-2
第二因数 x²-2x+4=0 は判別式が負なので実数解なし。
したがって、実数解は x=-2 のみです。
【応用問題2】(x+2)³-x³ を簡単にせよ。
これは展開してもできますが、立方の差として扱うこともできます。
(x+2)³ – x³ = ((x+2) – x)((x+2)² + (x+2)x + x²)
ただし、この問題では展開する方が簡単でしょう。
(x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
(x+2)³ – x³ = 6x² + 12x + 8
因数分解の公式は、状況に応じて使い分けることが重要です。常に最も効率的な方法を選択しましょう。
まとめ
x³+8の因数分解は、立方和の公式 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) を使って解くことができます。x³+8 を x³+2³ と表現し、a=x、b=2 として公式に代入すれば、(x+2)(x²-2x+4) という答えが得られます。
立方和の公式は、第一因数が (a+b) という和の形、第二因数が (a²-ab+b²) という「2乗引く掛ける2乗」の形になることを覚えておきましょう。立方差の公式と符号のパターンが異なる点にも注意が必要です。
因数分解後は必ず展開して検算することが大切でしょう。x³+27、x³+64 など他の数値でも同じ公式が使えるため、立方数（1³、2³、3³など）を覚えておくと便利です。入試問題では方程式や複雑な式の簡略化にも応用されるため、公式を確実に使いこなせるよう練習を重ねることが重要です。たすき掛けなどの複雑な方法は不要で、公式を知っていれば瞬時に因数分解できます。
