八角形と聞くと、多角形の中でも少し複雑な図形というイメージを持つ方も多いのではないでしょうか。
実は角度の求め方にはシンプルな公式があり、手順さえ覚えてしまえば誰でも簡単に計算できます。
この記事では八角形の角度は？1つの内角の求め方も！というテーマについて、内角の和や1つあたりの角度の計算方法をわかりやすく解説していきます。
正八角形の内角が135度になる理由や、1080を8で割るという計算の意味についても丁寧に確認していきます。
外角との関係や、計算でつまずきやすいポイントもあわせて紹介しますので、ぜひ最後までご覧ください。
お子さんの宿題を見てあげたい方や、図形の基礎を復習したい方にも役立つ内容になっています。
八角形の内角の和は1080度、正八角形の1つの内角は135度です
それではまず、八角形の角度に関する結論について解説していきます。
八角形の内角の和は1080度です。
そして正八角形であれば、1つの内角の大きさは135度になります。
この2つの数字さえ覚えておけば、八角形に関する角度の問題の多くに対応できるでしょう。
八角形の角度に関する結論
内角の和は1080度
正八角形の1つの内角は135度
正八角形の1つの外角は45度
内角の和の公式は（n－2）×180度
多角形の内角の和を求める公式は、頂点の数をnとすると（n－2）×180度と表されます。
この公式はどんな多角形にも共通して使える便利なものです。
三角形であればn＝3なので、（3－2）×180で180度となり、これは誰もが知っている三角形の内角の和と一致します。
四角形ならn＝4ですから、（4－2）×180で360度になるでしょう。
このように、多角形の頂点の数がわかれば内角の和は機械的に計算できるのです。
八角形に当てはめると1080度になる理由
八角形は頂点が8つある図形なので、公式のnに8を代入します。
すると（8－2）×180という式になり、これを計算すると6×180で1080度と求められます。
なぜ（n－2）という部分が登場するのか、疑問に思う方もいるかもしれません。
これは多角形を三角形に分割して考えたときの三角形の個数を表しているのです。
八角形の場合は1つの頂点から対角線を引くと、6個の三角形に分割できます。
三角形1つの内角の和は180度ですから、6個分で1080度になるという仕組みです。
正八角形なら1つの内角は135度
正八角形とは、8つの辺の長さと8つの角度がすべて等しい八角形のことです。
内角の和である1080度を、8つの角に均等に振り分けると考えてみましょう。
1080÷8を計算すると135となり、正八角形の1つの内角は135度と求められます。
身近にある八角形の標識などは、正八角形に近い形で作られていることが多いです。
そのため、135度という角度は意外と実用的な数字といえるでしょう。
八角形とはどんな図形か基本を確認
続いては、八角形そのものの基本的な定義について確認していきます。
角度の計算に入る前に、図形そのものの特徴を押さえておくと理解がぐっと深まります。
八角形の定義と頂点、辺の数
八角形とは、8本の直線で囲まれた平面図形のことを指します。
頂点の数も8つ、辺の数も8本というのが基本の特徴です。
対角線の数についても気になる方がいるかもしれません。
対角線の本数はn（n－3）÷2という公式で求められ、八角形の場合は8×5÷2で20本になります。
頂点、辺、対角線という3つの要素を意識すると、図形の全体像がイメージしやすくなるでしょう。
正八角形と不等辺八角形の違い
八角形には、すべての辺と角が等しい正八角形と、そうではない不等辺八角形が存在します。
正八角形は見た目にも整った美しい形をしており、対称性が非常に高いのが特徴です。
一方で不等辺八角形は、辺の長さや角の大きさがバラバラな図形を指します。
不等辺八角形であっても、内角の和が1080度であることに変わりはありません。
ただし1つ1つの角の大きさは異なるため、個別に計算する必要が出てくるでしょう。
身近にある八角形の例
八角形は意外と私たちの生活の中に存在しています。
代表的な例としては、道路標識の一時停止マークが挙げられるでしょう。
海外の一部の国では、あの赤い標識がまさに正八角形の形をしています。
そのほかにも、建築物の窓枠や装飾デザインなどにも八角形が使われることがあります。
普段何気なく目にしているものの中に、実は角度の知識が隠れていると考えると面白いのではないでしょうか。
内角の和の求め方を計算式で解説
続いては、内角の和の求め方について、計算式を交えながら詳しく確認していきます。
多角形の内角の和の公式のおさらい
先ほども触れましたが、多角形の内角の和は（n－2）×180度という公式で求められます。
この公式さえ覚えておけば、三角形から百角形まで、どんな多角形にも対応可能です。
公式を丸暗記するだけでなく、なぜこの式になるのかを理解しておくと応用が利きやすくなります。
多角形の内角の和の公式
内角の和＝（n－2）×180度
nは多角形の頂点の数を表す
三角形に分割して考える方法
公式の意味を理解するには、図形を三角形に分割するイメージを持つとわかりやすいです。
八角形の1つの頂点を選び、そこから他の頂点へ向かって対角線を引いてみましょう。
すると八角形の内部は、6つの三角形に分かれます。
三角形1つの内角の和は必ず180度になるという性質を利用するのです。
6つの三角形分の角度を合計すれば、それがそのまま八角形全体の内角の和になります。
実際に1080÷8を計算する手順
ここで、内角の和1080度を使った具体的な計算の手順を見ていきましょう。
まず八角形の頂点の数である8を、公式の（n－2）×180度に当てはめます。
（8－2）は6になるので、6×180度を計算していきます。
計算例
（8－2）×180＝6×180＝1080度
正八角形の場合は1080÷8＝135度
この1080という数字は、あくまで八角形の内角の合計であるという点を忘れないようにしましょう。
正八角形のように角がすべて等しい場合に限り、1080を8で割って1つあたりの角度を求められるのです。
正八角形の1つの内角の求め方
続いては、正八角形における1つの内角の求め方について確認していきます。
1080度を8等分する計算
正八角形はすべての角が等しいという特徴を持っています。
そのため、内角の和1080度を単純に8で割るだけで、1つの角の大きさが求められるのです。
1080÷8を実際に計算すると、答えは135になります。
つまり正八角形の1つの内角は135度ということです。
電卓を使わなくても、暗算で求められる方も多いのではないでしょうか。
外角から内角を求める方法
実は、外角の性質を利用して内角を求める方法もあります。
多角形の外角の和は、頂点の数に関係なくつねに360度になるという性質があるのです。
正八角形の場合、外角も8つすべて等しいので、360÷8で1つの外角は45度と求められます。
内角と外角は足すと必ず180度になる関係にあるため、180から45を引けば135度という内角が導けるでしょう。
2つの求め方があることを知っておくと、計算のチェックにも役立ちます。
対角線と中心角との関係
正八角形の中心から各頂点に向かって線を引くと、8つの二等辺三角形に分割できます。
このとき中心にできる角を中心角と呼び、360度を8で割った45度になるのです。
中心角と、正八角形の1つの外角がどちらも45度になるのは偶然ではなく、正多角形に共通する性質でしょう。
この関係性を理解しておくと、円に内接する正多角形の問題にも応用が利きやすくなります。
| 図形 | 頂点の数 | 内角の和 | 1つの内角（正多角形の場合） |
|---|---|---|---|
| 三角形 | 3 | 180度 | 60度 |
| 四角形 | 4 | 360度 | 90度 |
| 五角形 | 5 | 540度 | 108度 |
| 六角形 | 6 | 720度 | 120度 |
| 七角形 | 7 | 900度 | 約128.6度 |
| 八角形 | 8 | 1080度 | 135度 |
八角形の外角の和と外角の求め方
続いては、内角とセットで理解しておきたい外角について確認していきます。
多角形の外角の和は必ず360度
多角形の外角の和は、頂点の数がいくつであっても360度で一定です。
三角形でも八角形でも、さらには百角形であっても、外角の和はつねに360度になります。
これは図形の外側をぐるっと1周する角度の合計を表しているためでしょう。
この性質は、内角の和の公式よりもさらにシンプルで覚えやすいのではないでしょうか。
正八角形の1つの外角は45度
正八角形の場合、8つの外角がすべて等しくなります。
そこで外角の和である360度を8で割ると、1つの外角の大きさが求められるのです。
360÷8を計算すると45となり、正八角形の1つの外角は45度になります。
先ほど紹介した内角135度と外角45度を足すと、ちょうど180度になることも確認しておきましょう。
内角と外角の関係を式で確認
内角と外角は、1つの頂点において常に合計180度になるという関係があります。
これは内角と外角が一直線上に並ぶ、いわゆる隣り合う角であるためです。
内角と外角の関係式
内角＋外角＝180度
正八角形の場合は135度＋45度＝180度
この関係を利用すれば、内角だけでなく外角からも角度を逆算できるようになります。
問題によっては外角の方が計算しやすいケースもあるため、両方の求め方を覚えておくと安心でしょう。
八角形の角度に関するよくある疑問と注意点
続いては、八角形の角度に関してつまずきやすいポイントや疑問点について確認していきます。
不等辺八角形でも内角の和は変わらない理由
辺の長さや角度がバラバラな不等辺八角形であっても、内角の和は1080度のまま変わりません。
なぜなら、内角の和の公式は図形の形状ではなく、頂点の数だけで決まるものだからです。
正八角形かどうかに関わらず、頂点が8つあれば必ず1080度になると覚えておきましょう。
ただし、不等辺八角形の場合は1080度を単純に8で割ることはできません。
それぞれの角の大きさが異なるため、個別の情報がなければ1つずつの角度は特定できないのです。
凹んだ八角形（凹多角形）の場合の注意点
八角形の中には、一部の角が内側にへこんでいる凹多角形と呼ばれる形も存在します。
この場合、内角の和の公式（n－2）×180度は成り立つのでしょうか。
実は凹多角形であっても、内角の和は変わらず1080度になります。
ただし、へこんでいる部分の角は180度を超える大きさになる点に注意が必要です。
このような角を優角と呼び、通常の凸多角形とは少し異なる考え方が求められるでしょう。
角度の計算でミスしやすいポイント
八角形の角度計算でよくあるミスは、内角の和と1つの内角を混同してしまうことです。
1080度はあくまで8つの角をすべて足した合計であり、1つの角の大きさではありません。
正八角形以外の場合に、安易に1080を8で割ってしまうのもよくある間違いといえるでしょう。
また、公式の（n－2）の部分を（n－1）と間違えて覚えてしまうケースも見受けられます。
計算後には、三角形に分割した図をイメージしながら答えが妥当かどうか見直す習慣をつけると安心です。
計算ミスを防ぐチェックポイント
内角の和と1つの内角を混同していないか確認する
正八角形以外は単純に8で割れないことを意識する
公式は（n－2）×180度であることを再確認する
まとめ
今回は、八角形の角度は？1つの内角の求め方も！というテーマで、内角の和や1つの角度の計算方法を解説してきました。
八角形の内角の和は1080度であり、正八角形であれば1つの内角は135度になります。
この結論は（n－2）×180度という多角形の公式に、八角形の頂点の数である8を当てはめることで導かれるものでした。
また外角の和はつねに360度になり、正八角形の1つの外角は45度になるという関係も確認しました。
不等辺八角形や凹多角形であっても、内角の和が1080度になる点は共通しています。
公式の意味を理解し、三角形への分割をイメージしながら計算することで、応用問題にも対応しやすくなるでしょう。
ぜひ今回の内容を参考に、八角形をはじめとした多角形の角度計算に自信を持って取り組んでみてください。
