三角関数の微分積分において、cosxの計算はsinxと並んで非常に重要です。
物理学における振動や波動の解析、工学における信号処理など、幅広い分野で応用される基本的な数学技術でしょう。これらの公式を正確に理解し、使いこなせるようになることが求められます。
この記事では、cosxの微分公式と積分公式について、その導出過程から証明、実際の計算方法まで詳しく解説していきます。定積分と不定積分の違いや、極限を用いた厳密な証明方法も理解を深めていきましょう。
cosxの微分公式はd/dx(cosx)=-sinx
それではまず、cosxの微分公式について解説していきます。
基本的な微分公式
cosxの微分公式はd/dx(cosx) = -sinx
です。sinxの微分公式と対になる重要な公式でしょう。
この公式の特徴は、マイナス符号がつくことです。cosxを微分するとsinxになりますが、符号が負になるという点に注意が必要なのです。
【cosxの微分公式】
d/dx(cosx) = -sinx
または
(cosx)’ = -sinx
sinxの微分がcosxであるのに対し、cosxの微分は-sinxとなります。この符号の違いは、三角関数のグラフの形状と関連しているでしょう。
微分の定義による導出
微分の定義から、cosxの微分公式を導出してみましょう。
微分の定義limₕ→₀ [f(x+h) – f(x)]/hをcosxに適用します。
【微分の定義による導出】
d/dx(cosx) = limₕ→₀ [cos(x+h) – cosx]/h
加法定理cos(x+h) = cosx·cosh – sinx·sinhを用いて、分子を展開します。
cos(x+h) – cosx = cosx·cosh – sinx·sinh – cosx = cosx(cosh – 1) – sinx·sinh
これを代入すると、limₕ→₀ [cosx(cosh – 1) – sinx·sinh]/hとなるのです。
極限を用いた証明
極限の計算を進めていきましょう。
limₕ→₀ [cosx(cosh – 1) – sinx·sinh]/h = cosx·limₕ→₀ (cosh – 1)/h – sinx·limₕ→₀ sinh/h
ここで重要な極限公式を使います。limₕ→₀ sinh/h = 1と、limₕ→₀ (cosh – 1)/h = 0です。
【重要な極限公式の適用】
cosx × 0 – sinx × 1 = -sinx
したがって、d/dx(cosx) = -sinxが証明されました。この証明過程は、sinxの微分の証明と非常によく似た構造を持っているでしょう。
| ステップ | 式 |
|---|---|
| 1. 微分の定義 | limₕ→₀ [cos(x+h) – cosx]/h |
| 2. 加法定理の適用 | limₕ→₀ [cosx(cosh-1) – sinx·sinh]/h |
| 3. 極限の分離 | cosx·limₕ→₀(cosh-1)/h – sinx·limₕ→₀sinh/h |
| 4. 極限値の代入 | cosx × 0 – sinx × 1 |
| 5. 結果 | -sinx |
cosxの積分公式は∫cosx dx = sinx + C
続いては、cosxの積分公式について確認していきます。
不定積分の基本公式
cosxの不定積分は∫cosx dx = sinx + C
です。Cは積分定数でしょう。
この公式は、微分公式の逆演算として理解できます。sinxを微分するとcosxになることから、この積分公式が導かれるのです。
【cosxの不定積分公式】
∫cosx dx = sinx + C
（Cは積分定数）
sinxの積分では-cosxとマイナス符号がつきましたが、cosxの積分ではsinxとプラスの符号になります。検算してみると、d/dx(sinx) = cosxとなり、確かに元の関数に戻るでしょう。
積分公式の導出と確認
積分公式を微分の逆演算として導出してみましょう。
d/dx(sinx) = cosxという微分公式から、両辺を積分すると∫d/dx(sinx)dx = ∫cosx dxとなります。
左辺は積分と微分が打ち消し合ってsinx + C₁になり、右辺を整理すると、∫cosx dx = sinx + Cが得られるのです。
sinxとcosxの積分公式の関係
sinxとcosxの積分公式を比較してみましょう。
∫sinx dx = -cosx + Cに対して、∫cosx dx = sinx + Cです。これらは互いに関連し合っており、三角関数の性質を反映しています。
cosxの積分ではマイナス符号がつかないことに注意しましょう。sinxの積分では-cosxとなりますが、cosxの積分では単純にsinxとなります。この違いは、それぞれの微分公式に由来しています。
| 関数 | 微分 | 不定積分 |
|---|---|---|
| sinx | cosx | -cosx + C |
| cosx | -sinx | sinx + C |
| -cosx | sinx | -sinx + C |
| -sinx | -cosx | cosx + C |
cosxの定積分の計算方法
続いては、cosxの定積分の計算方法について確認していきます。
定積分の基本的な計算
cosxの定積分は、∫ₐᵇcosx dx = [sinx]ₐᵇ = sinb – sinaという形で計算されます。
定積分では、まず不定積分を求め、その後に積分区間の上端と下端での値の差を計算します。cosxの場合は符号の処理がシンプルで、計算しやすいでしょう。
【定積分の計算手順】
1. 不定積分を求める：∫cosx dx = sinx
2. 上端での値を計算：sinb
3. 下端での値を計算：sina
4. 差を求める：sinb – sina
具体的な計算例を見てみましょう。
具体的な計算例
いくつかの重要な定積分を計算してみましょう。
例1：∫₀^(π/2) cosx dx = [sinx]₀^(π/2) = sin(π/2) – sin0 = 1 – 0 = 1
例2：∫₀^π cosx dx = [sinx]₀^π = sinπ – sin0 = 0 – 0 = 0
例3：∫₀^(2π) cosx dx = [sinx]₀^(2π) = sin(2π) – sin0 = 0 – 0 = 0
例2と例3では、積分値がゼロになることがわかります。これはcosxが正の部分と負の部分を持ち、それらが打ち消し合うためでしょう。
重要な定積分の値
よく使われる定積分の値をまとめてみましょう。
∫₀^(π/2) cosx dx = 1は、0からπ/2までのcosxのグラフとx軸で囲まれた面積が1であることを意味します。
∫_(π/2)^π cosx dx = [sinx]_(π/2)^π = sinπ – sin(π/2) = 0 – 1 = -1となり、この区間では負の面積になるのです。
【重要な定積分の値】
∫₀^(π/2) cosx dx = 1
∫₀^π cosx dx = 0
∫₀^(2π) cosx dx = 0
∫_(π/2)^(3π/2) cosx dx = -2
| 積分区間 | 定積分の値 | 意味 |
|---|---|---|
| ∫₀^(π/2) cosx dx | 1 | 第1象限の面積 |
| ∫₀^π cosx dx | 0 | 半周期で正負が打ち消し |
| ∫₀^(2π) cosx dx | 0 | 1周期で正負が打ち消し |
| ∫_(π/2)^π cosx dx | -1 | 第2象限の負の面積 |
cosxの微分積分の応用と計算テクニック
続いては、cosxの微分積分を用いた応用計算について確認していきます。
合成関数の微分
cosxを含む合成関数の微分では、連鎖律を使用します。
一般に、d/dx[cos(f(x))] = -sin(f(x))·f'(x)という公式が成り立ちます。外側の関数cosを微分して-sinにし、内側の関数f(x)の微分を掛けるのです。
【合成関数の微分例】
d/dx(cos2x) = -sin2x · 2 = -2sin2x
d/dx(cos(x²)) = -sin(x²) · 2x = -2x·sin(x²)
d/dx(cos³x) = 3cos²x · (-sinx) = -3cos²x·sinx
マイナス符号の処理に注意が必要でしょう。cosxを微分すると-sinxになるため、合成関数でも必ずマイナス符号がつきます。
置換積分の技法
cosxの積分では、置換積分が有効な場合があります。
例えば、∫cos(3x)dxを計算する場合、u = 3xと置換すると、du = 3dxなので、dx = du/3となります。
∫cos(3x)dx = ∫cosu · (du/3) = (1/3)∫cosu du = (1/3)sinu + C = (1/3)sin(3x) + C
一般に、∫cos(ax)dx = (1/a)sin(ax) + Cという公式が得られるでしょう。
部分積分との組み合わせ
cosxと他の関数の積を積分する際には、部分積分を使用します。
【部分積分の例】
∫x·cosx dx
f(x) = x, g'(x) = cosxとすると
f'(x) = 1, g(x) = sinx
= x·sinx – ∫1·sinx dx
= x·sinx – (-cosx) + C
= x·sinx + cosx + C
この方法は、多項式と三角関数の積を積分する際に非常に有効です。
三角関数の積の積分
sinxとcosxの積を積分する場合は、置換積分が便利です。
∫sinx·cosx dxを計算する場合、u = sinxと置換すると、du = cosx dxとなります。
∫sinx·cosx dx = ∫u du = (1/2)u² + C = (1/2)sin²x + C
または、u = cosxと置換すると、∫sinx·cosx dx = -(1/2)cos²x + Cとも表せます。これらは定数項の違いだけで、本質的には同じ関数でしょう。
| 計算技法 | 使用場面 | 例 |
|---|---|---|
| 連鎖律 | 合成関数の微分 | d/dx(cos2x) = -2sin2x |
| 置換積分 | 合成関数の積分 | ∫cos(3x)dx = (1/3)sin(3x)+C |
| 部分積分 | 積の積分 | ∫x·cosx dx = x·sinx + cosx + C |
| 三角関数の積 | sinとcosの積 | ∫sinx·cosx dx = (1/2)sin²x + C |
まとめ
cosxの微分と積分について、公式の導出から計算方法まで詳しく解説してきました。
cosxの微分公式はd/dx(cosx) = -sinxであり、マイナス符号がつくことが重要なポイントです。一方、積分公式は∫cosx dx = sinx + Cであり、こちらはマイナス符号がつかないことに注意が必要でしょう。
定積分では、∫ₐᵇcosx dx = [sinx]ₐᵇ = sinb – sinaという形で計算します。特に0からπ/2までの積分値が1になることなど、重要な値は覚えておくと便利です。
合成関数の微分では連鎖律を、積分では置換積分や部分積分を活用することで、より複雑な問題にも対応できます。sinxとcosxの微分積分公式は表裏一体の関係にあるため、両方を関連づけて理解することが、三角関数の微分積分をマスターする近道となるはずです。
