何通りの計算方法・求め方を簡単に解説！組み合わせや0から9や1から9などで変化か？

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日常生活や仕事、学習の中で「何通りあるか」を計算する場面は意外と多いもの。パスワードの組み合わせ数を知りたいとき、くじ引きの当選確率を計算するとき、あるいは数学の問題を解くときなど、様々な場面で「場合の数」を求める必要が出てきます。

「何通り」の計算は、一見複雑に見えても基本的なルールを理解すれば誰でも簡単に求められるようになるでしょう。重要なのは、その状況が「順列」なのか「組み合わせ」なのか、あるいは単純な「積の法則」で解けるのかを見極めること。

本記事では、0から9までの数字、1から9までの数字など、具体的な例を交えながら何通りの計算方法を詳しく解説していきます。基本的な考え方から応用まで、実践的に使える知識をお届けしますので、ぜひ最後までご覧ください。

何通りかを求める基本的な考え方

それではまず、「何通り」を計算する際の基礎となる考え方について解説していきます。

積の法則（掛け算の原理）とは

場合の数を求める最も基本的な方法が積の法則です。これは複数の選択を組み合わせる際に使われる考え方で、非常にシンプルながら応用範囲が広い。

このように、それぞれの段階での選択肢の数を掛け算することで、全体の場合の数が求められるわけです。パスワードや暗証番号の組み合わせ数を計算する際にも、この積の法則が活躍します。

日常的な例で言えば、レストランでAセット（5種類）とBセット（3種類）から1つずつ選ぶ場合、5 × 3 = 15通りの組み合わせが可能になるでしょう。

順列と組み合わせの違い

「何通り」を計算する上で混乱しやすいのが、順列と組み合わせの違い。この2つは似ているようで全く異なる概念なのです。

順列は「並べ方」を数える方法で、A、B、Cの3つを並べる場合、ABCとBACは別のものとして扱います。一方、組み合わせは「選び方」を数える方法で、A、B、Cから2つを選ぶ場合、ABとBAは同じものとして扱うのです。

項目	順列	組み合わせ
重視するもの	順番	選択のみ
ABとBAの扱い	別のもの	同じもの
計算結果	組み合わせより大きい	順列より小さい
具体例	暗証番号、順位	チーム選び、くじ引き

競馬の3連単（順位まで当てる）は順列、3連複（順不同で当てる）は組み合わせと考えると分かりやすいかもしれません。

重複を許すか許さないか

場合の数を計算する際、もう一つ重要な観点が重複の有無になります。同じものを何度も選んでよいのか、一度選んだものは選べないのかで計算方法が大きく変わるのです。

重複を許す場合の典型例は、4桁の暗証番号。各桁で0から9まで（10通り）を自由に選べるため、1桁目に「5」を選んでも2桁目でまた「5」を選べます。この場合、10 × 10 × 10 × 10 = 10,000通りとなるでしょう。

逆に重複を許さない場合は、1から10までの数字から3つを選んで並べる状況など。1つ目で「5」を選んだら、2つ目では「5」以外の9通り、3つ目では残り8通りから選ぶことになります。このような状況では計算方法が異なってくるのです。

数字の組み合わせパターン別計算方法

続いては、具体的な数字を使った計算方法を確認していきます。

0から9までの数字を使う場合

0から9までの数字、つまり10個の数字を使った組み合わせは、暗証番号やパスワードでよく使われるパターンです。

4桁の暗証番号で重複を許す場合を考えてみましょう。

一方、重複を許さない場合はどうでしょうか。1桁目で1つ使うと、2桁目では9通り、3桁目では8通り、4桁目では7通りとなります。

計算式は10 × 9 × 8 × 7 = 5,040通り。重複ありの場合と比べて約半分になることが分かります。

ただし注意が必要なのは、「0から始まる数字を許すか」という点。電話番号のように0始まりがNGの場合、1桁目は1〜9の9通りからスタートすることになるでしょう。

1から9までの数字を使う場合

1から9までの9個の数字

を使う場合も、様々な場面で登場します。0を除外するため、計算がやや異なってくるのです。

3桁の数字を作る場合（重複あり）を見てみましょう。

重複なしの場合は、9 × 8 × 7 = 504通りとなります。

実際の問題では、「異なる3つの数字を選んで並べる」「3つの数字の組み合わせを選ぶ（順不同）」など、条件によって計算方法を使い分ける必要があるでしょう。組み合わせの場合は、9個から3個を選ぶので9C3 = 84通りになります。

特定の条件がある場合の計算

実際の問題では、単純な計算では済まない条件付きのケースも多く存在します。

例えば「偶数で終わる4桁の数字」を0から9の数字で作る場合を考えてみましょう。

「先頭が5以上」「連続する数字を含まない」など、条件が複雑になるほど、段階的に場合分けして考える必要が出てきます。こうした問題では、条件を満たすパターンを直接数えるか、全体から条件を満たさないパターンを引く「余事象」の考え方が有効です。

順列・組み合わせの公式と実践的な使い方

続いては、順列と組み合わせの公式を使った実践的な計算方法を確認していきます。

順列の公式nPrの使い方

順列の公式nPr

は、n個のものからr個を選んで並べる場合の数を求める際に使用します。

この公式が便利なのは、大きな数字を扱う場合。100人から5人を選んで順番をつける場合、100 × 99 × 98 × 97 × 96と計算すれば済むため、階乗の計算を全て行う必要がありません。

実際の応用例としては、リレーの走順を決める、役職の順位を決める、プレゼンの発表順を決めるなど、「順番が重要」な状況で活用できるでしょう。

組み合わせの公式nCrの使い方

組み合わせの公式nCr

は、順序を考慮せずにn個からr個を選ぶ場合に使います。

組み合わせは順列をr!で割ったものと理解すると分かりやすい。なぜなら、選んだr個を並べ替える方法がr!通りあり、それらは全て同じ組み合わせとして扱うからです。

n	r	nPr（順列）	nCr（組み合わせ）
5	2	20	10
5	3	60	10
9	2	72	36
9	3	504	84

宝くじの番号選択、委員会メンバーの選出、グループ分けなど、順番が関係ない場面で使えます。

重複順列・重複組み合わせの計算

同じものを繰り返し選べる場合の計算方法も押さえておきましょう。重複を許す場合は、通常の順列・組み合わせとは異なる公式を使います。

重複順列は非常にシンプルで、n個からr個を選んで並べる（重複あり）場合、単純にn^r（nのr乗）となるのです。

重複組み合わせはやや複雑で、nHr = (n+r-1)Crという公式を使います。例えば、3種類のアイスクリームから重複を許して2個選ぶ場合、3H2 = 4C2 = 6通りとなるでしょう。

この考え方は、「同じ商品を複数個購入できる」「繰り返し抽選できる」といった実際的な状況で役立ちます。

実際の問題で使える計算テクニック

続いては、より実践的な計算テクニックとよくある間違いについて確認していきます。

余事象を使った効率的な計算

複雑な条件の問題では、余事象（全体から引く方法）が非常に有効です。「少なくとも1つは〜」といった条件の問題で特に威力を発揮するでしょう。

「全員が異なる誕生日」の逆は「少なくとも2人が同じ誕生日」、「全て偶数」の逆は「少なくとも1つは奇数」というように、補集合を考えることで計算が劇的に簡単になるケースは多い。

この手法は、条件を満たすパターンが多様で数え上げが困難な場合に特に有効です。「〜でないもの」を数える方が簡単なら、迷わず余事象を使うべきでしょう。

場合分けによる丁寧な計算

条件が複数ある場合は、場合分けをして個別に計算してから合計する方法が確実です。

例えば「0から9の数字で3桁の偶数を作る（重複なし、0始まりNG）」という問題を考えてみましょう。

場合分けのポイントは、漏れなく重複なく分類すること。互いに排反（重ならない）な場合に分けて、それぞれを足し合わせれば正確な答えが得られます。

よくある計算ミスと注意点

「何通り」の計算でよくある間違いを知っておくことは、正確な計算のために重要でしょう。

特に「0から9までの数字」という表現には要注意。これは10個の数字を意味するため、「9通り」ではなく「10通り」が正解です。また、「先頭が0にならない」という条件がある場合、最初の桁だけは別扱いにする必要があります。

さらに、階乗の計算では0! = 1という約束事も忘れてはいけません。nC0 = 1、nCn = 1といった特殊なケースでこの知識が必要になるでしょう。

計算結果が現実的かどうかを確認する習慣も大切。例えば、10個から5個選ぶ組み合わせで10万通りといった答えが出たら、明らかにおかしいと気づけるはずです。

まとめ

「何通り」の計算方法について、基本から応用まで解説してきました。

重要なポイントをおさらいすると、まず積の法則が全ての基本であり、複数の選択肢を組み合わせる際は掛け算で求められます。そして順列は「順番を考慮する並べ方」、組み合わせは「順番を考慮しない選び方」という違いを明確に理解することが不可欠でしょう。

0から9までの数字（10個）と1から9までの数字（9個）では計算結果が異なること、重複を許すか許さないかで公式が変わること、これらをしっかり見極める必要があります。

実践的なテクニックとしては、複雑な条件の問題では余事象を活用する、条件が複数ある場合は場合分けして丁寧に計算する、そして計算結果が妥当かチェックする習慣を持つことが大切です。

パスワードのセキュリティ評価、確率の計算、意思決定の選択肢評価など、応用範囲は広大。基本をしっかり押さえて、実践的な計算力を身につけていきましょう。