数学で虚数を学ぶ際に、必ず登場するのが「虚数単位i」です。i² = -1 という不思議な性質を持つこの記号は、一体どのような意味を持ち、どのように使われるのでしょうか。
本記事では、虚数単位の定義から、記号iやjの違い、計算方法、書き方や読み方まで、基礎から丁寧に解説していきます。
虚数単位は一見すると難解に思えますが、その仕組みを理解すれば、複素数の計算がスムーズに行えるようになります。電気工学ではjを使う理由や、実際の計算テクニックまで、実用的な内容も含めて確認していきましょう。虚数単位をマスターすることで、数学の世界が大きく広がるはずです。
虚数単位とは？定義と基本的な性質
それではまず、虚数単位の定義と基本的な性質について解説していきます。
虚数単位iの定義と誕生の背景
虚数単位iは、2乗すると-1になる数として定義されます。
実数の世界では、どんな数を2乗しても負の数にはなりません。正の数を2乗すれば正、負の数を2乗しても正、0を2乗すれば0です。
つまり、x² = -1 という方程式は、実数の範囲では解を持たないのです。
i² = -1
または
i = √(-1)
虚数単位が誕生した背景には、16世紀イタリアの数学者たちの研究がありました。
彼らは三次方程式を解く過程で、計算の途中に負の数の平方根が現れることに気づきました。最初は「意味のない数」として扱われましたが、この「架空の数」を認めることで、多くの方程式が解けるようになったのです。
16世紀：カルダノが三次方程式の解法で負の平方根に遭遇
17世紀：デカルトが「虚数（imaginary number）」と命名
18世紀：オイラーが記号iを導入
19世紀：ガウスが複素数平面で幾何学的解釈を与える
「虚数」という名前は、デカルトが「実在しない数」という意味で付けたものでした。しかし現代では、虚数は数学や物理学、工学で不可欠な存在となっています。
虚数は決して「架空」ではなく、実用的で重要な数学的道具なのです。
i² = -1という革新的な約束事
i² = -1 という定義は、数学史上最も革新的な「約束事」の一つです。
この約束を受け入れることで、数の世界が大きく拡張されました。
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² × i = -1 × i = -i
i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1
iの累乗は、4つの値を周期的に繰り返します。
| 累乗 | 値 | 計算 |
|---|---|---|
| i⁰ | 1 | 任意の数の0乗 |
| i¹ | i | 定義から |
| i² | -1 | 定義から |
| i³ | -i | i² × i = -i |
| i⁴ | 1 | i² × i² = 1 |
| i⁵ | i | i⁴ × i = i |
この周期性から、任意の累乗を簡単に計算できます。
i^n を計算するには、nを4で割った余りを求める
余りが0 → i^n = 1
余りが1 → i^n = i
余りが2 → i^n = -1
余りが3 → i^n = -i
例：i²³ を計算
23 ÷ 4 = 5 余り 3
したがって、i²³ = i³ = -i
i² = -1 という約束は、一見すると矛盾しているように感じられるかもしれません。
しかし、これは新しいルールを追加しただけで、既存の実数の性質と矛盾するものではないのです。
虚数単位は実数を拡張し、より豊かな数の体系を作るための基礎となっています。
虚数単位が解決した数学の問題
虚数単位の導入により、多くの数学的問題が解決されました。
最も基本的な成果は、すべての二次方程式が解を持つようになったことです。
実数の範囲では解けなかった x² + 1 = 0 のような方程式も、虚数を使えば x = ±i という解を得られます。
問題：x² = -4 を解け
実数の範囲：解なし
複素数の範囲：x = ±2i
計算過程
x² = -4
x = ±√(-4) = ±√(4 × (-1))
= ±√4 × √(-1) = ±2i
さらに重要なのが、代数学の基本定理です。
n次方程式は、複素数の範囲で必ずn個の解を持つ
（重解を個数分として数える）
この定理により、どんな多項式方程式でも完全に解けることが保証されます。
三次方程式の解の公式（カルダノの公式）も、虚数を認めることで初めて実用的になりました。
| 方程式の次数 | 実数のみ | 複素数を含む |
|---|---|---|
| 1次方程式 | 必ず1個の解 | 必ず1個の解 |
| 2次方程式 | 0個、1個、2個の解 | 必ず2個の解 |
| 3次方程式 | 1個または3個の解 | 必ず3個の解 |
| n次方程式 | 不定 | 必ずn個の解 |
虚数単位は、数学の「完全性」を実現する鍵だったのです。
記号iとjの違いと使い分け・読み方
続いては、虚数単位の記号と読み方について確認していきます。
数学ではi、工学ではjを使う理由
虚数単位の記号には、i（アイ）とj（ジェイ）の2種類があります。
どちらも同じ意味ですが、使われる分野によって使い分けられています。
i（アイ）：数学、物理学、一般科学
j（ジェイ）：電気工学、制御工学、信号処理
なぜ電気工学ではjを使うのでしょうか。
理由は、電気工学ではi が既に電流（current）を表す記号として使われているからです。
i：電流（instantaneous current）
I：電流の実効値（rms current）
j：虚数単位
例：電圧と電流の関係
V = ZI
ここでインピーダンス Z = R + jX
R：抵抗、X：リアクタンス
工学の教科書や論文では、j² = -1 と書かれることになります。
数学の文脈ではiを使い、電気回路の問題ではjを使うという使い分けが一般的です。
| 分野 | 虚数単位の記号 | 理由 |
|---|---|---|
| 数学 | i | imaginaryの頭文字 |
| 物理学 | i | 数学と統一 |
| 電気工学 | j | iは電流で使用 |
| 制御工学 | j（または s） | 電気工学の慣習 |
どちらの記号を使っても意味は同じですが、文脈に応じて適切な記号を選ぶことが重要です。
論文や教科書を読む際は、その分野の慣習に注意しましょう。
虚数単位の正しい読み方と発音
虚数単位の読み方は、記号によって異なります。
i：「アイ」
j：「ジェイ」
i²：「アイの2乗」または「アイ二乗」
3i：「さんアイ」または「3アイ」
複素数の読み方も確認しておきましょう。
2 + 3i：「に プラス さんアイ」
-1 – 2i：「マイナスいち マイナス にアイ」
5i：「ごアイ」または「5アイ」
-i：「マイナスアイ」
i/2：「アイ ぶんの に」または「に分のアイ」
英語での読み方も参考までに紹介します。
| 記号 | 日本語 | 英語 |
|---|---|---|
| i | アイ | i (アイ) |
| 3 + 2i | さん プラス にアイ | three plus two i |
| -4i | マイナス よんアイ | minus four i / negative four i |
| i² | アイの二乗 | i squared |
学術的な場面では、明瞭に発音することが大切です。
「さんアイ」と「さん掛けるアイ」は同じ意味ですが、「さんアイ」の方が簡潔で一般的です。
書き方のルールと注意点
虚数単位を書く際には、いくつかのルールと注意点があります。
1. iは斜体（イタリック）で書く
2. 数字とiの間に × は書かない
3. iは通常、数字の後に書く
4. 係数が1の場合、1は省略してiと書く
具体的な例を見てみましょう。
正しい：3i
間違い：3 × i、3・i、i3
正しい：-2i
間違い：-2 × i、i(-2)
正しい：i（係数1の場合）
間違い：1i
正しい：(2 + 3i) / 5
間違い：2 + 3i / 5（優先順位が不明確）
分数の形で書く場合の注意点もあります。
複素数が分母にある場合、分母の有理化（実数化）を行うのが一般的です。
問題：1 / (2 + i) を実数化せよ
分子と分母に共役複素数を掛ける
1 / (2 + i) × (2 – i) / (2 – i)
= (2 – i) / ((2 + i)(2 – i))
= (2 – i) / (4 – i²)
= (2 – i) / (4 + 1)
= (2 – i) / 5
= 2/5 – i/5
手書きの場合、iとjの区別が明確になるように書くことも重要です。
印刷物では斜体のi、手書きでは縦棒に点を打つなど、視認性に配慮しましょう。
虚数単位の計算方法と演算規則
次に、虚数単位を使った計算方法を見ていきましょう。
iの累乗計算とパターンの規則性
iの累乗計算は、4で割った余りを利用すると簡単です。
i⁴ⁿ = 1
i⁴ⁿ⁺¹ = i
i⁴ⁿ⁺² = -1
i⁴ⁿ⁺³ = -i
（nは整数）
この規則性を使った計算例を見てみましょう。
例1：i⁵⁰ を計算
50 ÷ 4 = 12 余り 2
i⁵⁰ = i⁴×¹²⁺² = i² = -1
例2：i⁹⁹ を計算
99 ÷ 4 = 24 余り 3
i⁹⁹ = i⁴ײ⁴⁺³ = i³ = -i
例3：i¹⁰⁰⁰ を計算
1000 ÷ 4 = 250 余り 0
i¹⁰⁰⁰ = i⁴ײ⁵⁰ = i⁰ = 1
負の累乗も同様に計算できます。
i⁻¹ = 1/i = 1/i × i/i = i/i² = i/(-1) = -i
i⁻² = 1/i² = 1/(-1) = -1
i⁻³ = 1/i³ = 1/(-i) = -1/i = -1/i × i/i = -i/(-1) = i
i⁻⁴ = 1/i⁴ = 1/1 = 1
負の累乗も4つの周期
で繰り返すことが分かります。
四則演算における虚数単位の扱い方
虚数単位を含む四則演算の方法を確認しましょう。
実部同士、虚部同士をそれぞれ計算
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
(3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i
(5 – 3i) – (2 – i) = 3 – 2i
(4 + i) + (-4 + 3i) = 0 + 4i = 4i
乗法では、i² = -1 を使って整理します。
展開してi²を-1に置き換える
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²
= ac + (ad + bc)i + bd(-1)
= (ac – bd) + (ad + bc)i
(2 + 3i)(1 + 4i)
= 2 + 8i + 3i + 12i²
= 2 + 11i + 12(-1)
= 2 + 11i – 12
= -10 + 11i
(3 – 2i)(3 + 2i)
= 9 + 6i – 6i – 4i²
= 9 – 4(-1)
= 9 + 4 = 13
除法は分母の実数化を行います。
(3 + 4i) / (1 + 2i)
= (3 + 4i) / (1 + 2i) × (1 – 2i) / (1 – 2i)
= ((3 + 4i)(1 – 2i)) / ((1 + 2i)(1 – 2i))
= (3 – 6i + 4i – 8i²) / (1 – 4i²)
= (3 – 2i + 8) / (1 + 4)
= (11 – 2i) / 5
= 11/5 – 2i/5
分母を実数にする
ことが除法の基本テクニックです。
複素数の計算における実践テクニック
複素数の計算を効率化するテクニックをいくつか紹介します。
1. 共役複素数の積は実数になる
2. iの累乗は周期性を利用
3. 分母の実数化は共役複素数を掛ける
4. 絶対値の計算は z · z̄ を使う
(a + bi)(a – bi) = a² – (bi)² = a² – b²i² = a² + b²
例：(3 + 4i)(3 – 4i) = 9 + 16 = 25
この性質は分母の実数化で活用される
|a + bi| = √(a² + b²)
または
|z|² = z · z̄
例：|3 + 4i|² = (3 + 4i)(3 – 4i) = 25
よって |3 + 4i| = 5
| 計算の種類 | ポイント | 例 |
|---|---|---|
| 加減算 | 実部と虚部を別々に | (2+3i)+(1-i)=3+2i |
| 乗算 | i²=-1で置換 | i·2i=2i²=-2 |
| 除算 | 分母を実数化 | 1/i=-i |
| 累乗 | 4の剰余を利用 | i⁵=i |
計算ミスを防ぐコツ
は、各ステップを丁寧に書き出すことです。
特にi²が現れたら、すぐに-1に置き換える習慣をつけましょう。
虚数単位の応用と実社会での活用
最後に、虚数単位の応用と実際の使われ方を確認していきます。
電気工学における虚数単位jの役割
電気工学では、虚数単位j（ジェイ）が交流回路の解析に不可欠です。
交流電圧や電流は時間とともに変化するため、その位相関係を表現するのに複素数が使われます。
電圧：V = V₀e^(jωt) = V₀(cos ωt + j sin ωt)
インピーダンス：Z = R + jX
R：抵抗（レジスタンス）
X：リアクタンス
抵抗R：Z = R（実数）
コイルL：Z = jωL（純虚数）
コンデンサC：Z = 1/(jωC) = -j/(ωC)（純虚数）
ここでω = 2πf（角周波数）
虚数単位を使うことで、位相のずれを自然に表現できます。
例えば、コイルでは電流が電圧より90度遅れますが、これはインピーダンスが純虚数であることに対応しています。
| 素子 | インピーダンス | 位相 |
|---|---|---|
| 抵抗 | R | 0度（同相） |
| コイル | jωL | +90度（電流が遅れ） |
| コンデンサ | -j/(ωC) | -90度（電流が進み） |
複雑な回路でも、複素数を使えばオームの法則が適用できます。
量子力学と波動関数での活用
量子力学では、虚数単位iが本質的な役割を果たします。
量子力学の基本方程式であるシュレーディンガー方程式には、虚数単位が含まれています。
iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ
ここで
i：虚数単位
ℏ：プランク定数を2πで割った値
ψ：波動関数（複素数値）
Ĥ：ハミルトニアン演算子
波動関数ψは複素数値を取り、粒子の状態を記述します。
粒子がある位置に存在する確率は、|ψ|² = ψ · ψ̄ で計算されるため、虚数部分も物理的に意味を持ちます。
ψ = Ae^(i(kx – ωt))
= A(cos(kx – ωt) + i sin(kx – ωt))
k：波数
ω：角周波数
この表現により、波の伝播が簡潔に記述される
虚数なしでは現代量子力学は成り立たない
と言っても過言ではありません。
電子の振る舞い、原子の構造、化学結合など、ミクロな世界の理解には虚数単位が不可欠なのです。
信号処理とフーリエ変換での重要性
信号処理の分野では、フーリエ変換に虚数単位が使われます。
F(ω) = ∫ f(t)e^(-iωt) dt
時間領域の信号を周波数領域に変換
e^(-iωt) = cos(ωt) – i sin(ωt)
フーリエ変換により、音声や画像などの信号を周波数成分に分解できます。
この技術は、以下のような場面で活用されています。
| 応用分野 | 用途 | 虚数単位の役割 |
|---|---|---|
| 音声処理 | ノイズ除去、音質改善 | 周波数成分の分離 |
| 画像処理 | 圧縮、フィルタリング | 2次元フーリエ変換 |
| 通信技術 | 変調、復調 | 位相情報の保持 |
| 医療画像 | MRI、CT | 空間周波数解析 |
音楽ファイルのMP3圧縮では
1. フーリエ変換で周波数成分に分解
2. 人間に聞こえにくい周波数を削除
3. 逆フーリエ変換で音声に戻す
このプロセス全体で複素数計算が使われる
スマートフォンで音楽を聴いたり、画像を編集したりする際、裏側では虚数単位を使った複雑な計算が行われているのです。
GPS、無線通信、レーダー技術なども、複素数と虚数単位の理論に基づいています。
虚数単位は、現代のデジタル技術を支える基盤の一つと言えるでしょう。
まとめ
虚数単位iは、i² = -1 という性質を持つ特殊な数として定義されます。数学ではi、電気工学ではjという記号が使われ、どちらも「アイ」「ジェイ」と読みます。
iの累乗は4つの値を周期的に繰り返し、この規則性を利用することで複雑な計算も簡単に行えます。四則演算では、i²を-1に置き換えることが基本となり、分母の実数化には共役複素数を活用します。
虚数単位は電気工学の交流回路解析、量子力学の波動関数、信号処理のフーリエ変換など、現代科学技術の多くの分野で不可欠な役割を果たしています。一見すると抽象的な概念ですが、私たちの日常生活を支える実用的な数学的道具なのです。
虚数単位を理解することで、数学と科学技術の深いつながりを実感できるでしょう。
