三角関数の微分を学習する中で、「sin2xの微分」という問題に出会うことがあるでしょう。sinxの微分とは異なり、2xという部分があるため、どのように計算すればよいか迷うかもしれません。
この記事では、sin2xの微分の公式と計算方法について、合成関数の微分法を使った導出から具体的な計算例まで詳しく解説していきます。なぜ2cos2xになるのか、その理論的背景と応用例をしっかりお伝えしますので、ぜひ最後までご覧ください。
sin2xの微分の基本公式
それではまず、sin2xの微分の結論と基本公式について解説していきます。
微分の結果
sin2xの微分は、次のように表されます。
d/dx[sin2x] = 2cos2x
または
(sin2x)’ = 2cos2x
この結果を見ると、係数2が現れることが特徴的です。単純なsinxの微分がcosxであることと比べて、2倍の係数がついています。
sinxの微分との比較
まず、基本的なsinxの微分を復習しましょう。
| 関数 | 微分 | 特徴 |
|---|---|---|
| sin x | cos x | 係数なし |
| sin 2x | 2cos 2x | 係数2がつく |
| sin 3x | 3cos 3x | 係数3がつく |
| sin ax | a cos ax | 係数aがつく |
このように、xの係数がそのまま前に出てくるというパターンが見えるでしょう。
公式の確認（積分による検証）
この公式が正しいことを、積分で確認してみましょう。
∫2cos2x dx を計算すると
u = 2x とおくと、du = 2dx より dx = du/2
∫2cos2x dx = ∫2cos u × (1/2)du
= ∫cos u du
= sin u + C
= sin2x + C
確かに積分するとsin2xに戻ることが確認できました。
合成関数の微分による導出
続いては、なぜこの公式になるのか、合成関数の微分を使った導出方法を確認していきます。
合成関数の微分（チェーンルール）
まず、合成関数の微分公式を復習しましょう。
合成関数の微分：
y = f(g(x))のとき
dy/dx = f'(g(x)) × g'(x)
または
dy/dx = dy/du × du/dx （uはg(x)）
sin2xは、sin(u)とu = 2xの合成関数として捉えることができます。
sin2xの分解
sin2xを合成関数として分解してみましょう。
y = sin2x を次のように分解
外側の関数：y = sin u
内側の関数：u = 2x
つまり、y = sin(2x)は
u = 2xを、sin(u)に代入した合成関数
チェーンルールの適用
それでは、実際に微分してみましょう。
y = sin2x = sin(u)（u = 2x）
【ステップ1】外側の微分
dy/du = cos u
【ステップ2】内側の微分
du/dx = 2
【ステップ3】掛け合わせる
dy/dx = dy/du × du/dx
= cos u × 2
= 2cos u
= 2cos(2x)
= 2cos2x
このように、外側の微分と内側の微分を掛けることで、答えが得られます。
一般化：sin(ax)の微分
より一般的な形も示しておきましょう。
d/dx[sin(ax)] = a cos(ax)
同様に：
d/dx[cos(ax)] = -a sin(ax)
d/dx[tan(ax)] = a sec²(ax) = a/cos²(ax)
どの場合も、係数aが前に出てくるというパターンです。
具体的な計算例
続いては、sin2xの微分を使った具体的な計算例を確認していきます。
基本的な微分
まず、シンプルな微分から見ていきましょう。
【例1】f(x) = sin2x の導関数
f'(x) = 2cos2x
【例2】f(x) = 3sin2x の導関数
f'(x) = 3 × 2cos2x = 6cos2x
【例3】f(x) = sin2x + cos2x の導関数
f'(x) = 2cos2x + (-2sin2x)
= 2cos2x – 2sin2x
= 2(cos2x – sin2x)
定数倍や和の微分では、それぞれ個別に微分すれば良いでしょう。
特定の点での微分係数
特定のx値での微分係数を計算してみましょう。
f(x) = sin2x とすると f'(x) = 2cos2x
【x = 0での微分係数】
f'(0) = 2cos(2×0) = 2cos0 = 2 × 1 = 2
【x = π/4での微分係数】
f'(π/4) = 2cos(2×π/4) = 2cos(π/2) = 2 × 0 = 0
【x = π/2での微分係数】
f'(π/2) = 2cos(2×π/2) = 2cosπ = 2 × (-1) = -2
x = π/4では微分係数が0になるため、この点で極値をとることが分かります。
積の微分・商の微分
sin2xを含む積や商の微分も見てみましょう。
【例4】f(x) = x sin2x の導関数
積の微分公式より：
f'(x) = 1 × sin2x + x × 2cos2x
= sin2x + 2x cos2x
【例5】f(x) = sin2x/x の導関数（x ≠ 0）
商の微分公式より：
f'(x) = (2cos2x × x – sin2x × 1)/x²
= (2x cos2x – sin2x)/x²
積や商の場合は、それぞれの公式に従って計算します。
合成関数のさらなる応用
より複雑な合成関数も計算してみましょう。
【例6】f(x) = sin²(2x) = (sin2x)² の導関数
u = sin2x とおくと、y = u²
dy/du = 2u, du/dx = 2cos2x
f'(x) = 2u × 2cos2x
= 2sin2x × 2cos2x
= 4sin2x cos2x
= 2sin4x （倍角の公式より）
合成関数を何度も適用することで、複雑な関数も微分できます。
接線の方程式と増減表
続いては、sin2xの微分を使った接線の方程式や増減表の作成を確認していきます。
接線の方程式
特定の点における接線の方程式を求めてみましょう。
【問題】y = sin2x のx = π/6における接線の方程式を求める
【ステップ1】接点の座標
x = π/6のとき
y = sin(2×π/6) = sin(π/3) = √3/2
接点：(π/6, √3/2)
【ステップ2】接線の傾き
f'(x) = 2cos2x
f'(π/6) = 2cos(π/3) = 2 × (1/2) = 1
【ステップ3】接線の方程式
y – √3/2 = 1 × (x – π/6)
y = x – π/6 + √3/2
微分係数が接線の傾きになることを利用しています。
増減表の作成
y = sin2xの増減を調べてみましょう。
f(x) = sin2x, f'(x) = 2cos2x
【極値を求める】
f'(x) = 0となるxを求める
2cos2x = 0
cos2x = 0
2x = π/2, 3π/2, 5π/2, … （一般に π/2 + nπ）
x = π/4, 3π/4, 5π/4, …
| x | 0 | … | π/4 | … | 3π/4 | … | 5π/4 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | + | 0 | – | 0 | + | 0 | – |
| f(x) | 0 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ |
周期的に極大・極小を繰り返すことが増減表から明確になります。
極値の計算
実際の極値を求めてみましょう。
【極大値】x = π/4のとき
f(π/4) = sin(2×π/4) = sin(π/2) = 1
【極小値】x = 3π/4のとき
f(3π/4) = sin(2×3π/4) = sin(3π/2) = -1
sin2xは、-1から1の間を振動する関数です。
応用例と実用
続いては、sin2xの微分が実際にどのような場面で使われるのか確認していきます。
物理学での応用
物理学では、振動や波動の記述にsin2xが現れます。
【単振動の速度】
位置：x(t) = A sin(ωt)のとき
速度：v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt)
例：ω = 2の場合
x(t) = A sin2t
v(t) = 2A cos2t
位置を時間で微分すると速度が得られるという関係です。
波動の記述
波の伝播もsin2xの微分で表現されます。
| 物理量 | 式 | 微分 |
|---|---|---|
| 変位 | y = A sin(2πx/λ) | dy/dx = (2πA/λ)cos(2πx/λ) |
| 電場 | E = E₀ sin(kx – ωt) | ∂E/∂x = kE₀ cos(kx – ωt) |
| 音圧 | p = p₀ sin(2πft) | dp/dt = 2πfp₀ cos(2πft) |
工学での応用
電気回路の交流解析でも重要です。
【交流電圧と電流】
電圧：V(t) = V₀ sin(2πft)
コンデンサの電流：
I = C × dV/dt
= C × V₀ × 2πf × cos(2πft)
= 2πfCV₀ cos(2πft)
電圧を微分することで電流が求まるのです。
最適化問題
極値を求める最適化問題にも使われます。
【問題】f(x) = x + sin2x （0 ≤ x ≤ π）の最大値を求める
f'(x) = 1 + 2cos2x = 0
cos2x = -1/2
2x = 2π/3, 4π/3
x = π/3, 2π/3
各点での値：
f(0) = 0
f(π/3) = π/3 + sin(2π/3) = π/3 + √3/2 ≈ 1.91
f(2π/3) = 2π/3 + sin(4π/3) = 2π/3 – √3/2 ≈ 1.23
f(π) = π ≈ 3.14
最大値：f(π) = π
微分を使って極値候補を見つけ、端点と比較します。
まとめ
この記事では、sin2xの微分について詳しく解説してきました。
sin2xの微分はd/dx[sin2x] = 2cos2xという公式で表されます。この公式は合成関数の微分（チェーンルール）を使って導出され、外側のsinの微分cosと、内側の2xの微分2を掛け合わせることで得られるでしょう。一般に、sin(ax)の微分はa cos(ax)となり、係数がそのまま前に出てくるパターンです。
接線の方程式では微分係数が傾きとなり、増減表では導関数の符号から関数の増減が分かります。sin2xは周期π/4ごとに極値を持ち、最大値1、最小値-1の間を振動します。
物理学の振動や波動、電気回路の交流解析、最適化問題など、様々な分野でsin2xの微分が活用されています。合成関数の微分の基本をしっかりマスターすることで、より複雑な三角関数の微分にも対応できることでしょう。
sin2xの積分は？公式と解き方を解説！（∫sin2x dx・-1/2 cos2x・なぜ1/2・置換積分など）
三角関数の積分を学習する中で、「sin2xの積分」という問題に出会うことがあるでしょう。sinxの積分とは異なり、2xという部分があるため、計算方法に注意が必要です。
この記事では、sin2xの積分の公式と解き方について、置換積分を使った導出から具体的な計算例まで詳しく解説していきます。なぜ-1/2 cos2xになるのか、1/2という係数が現れる理由も含めて、しっかりお伝えしますので、ぜひ最後までご覧ください。
sin2xの積分の基本公式
それではまず、sin2xの積分の結論と基本公式について解説していきます。
積分の結果
sin2xの不定積分は、次のように表されます。
∫sin2x dx = -1/2 cos2x + C
ここで、Cは積分定数
この結果を見ると、係数-1/2が現れることが特徴的です。単純なsinxの積分が-cosxであることと比べて、1/2という係数がついています。
sinxの積分との比較
まず、基本的なsinxの積分を復習しましょう。
| 関数 | 積分 | 特徴 |
|---|---|---|
| sin x | -cos x + C | 係数なし |
| sin 2x | -1/2 cos 2x + C | 係数-1/2 |
| sin 3x | -1/3 cos 3x + C | 係数-1/3 |
| sin ax | -1/a cos ax + C | 係数-1/a |
このように、xの係数の逆数が前に出るというパターンが見えるでしょう。
公式の確認（微分による検証）
この公式が正しいことを、微分で確認してみましょう。
f(x) = -1/2 cos2x + C とすると
f'(x) = -1/2 × d/dx[cos2x]
= -1/2 × (-2sin2x)
= sin2x ✓
確かに微分するとsin2xに戻ることが確認できました。
置換積分による導出
続いては、なぜこの公式になるのか、置換積分を使った導出方法を確認していきます。
置換積分の基本
まず、置換積分の公式を復習しておきましょう。
置換積分：
u = g(x)とおくとき
∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du
sin2xの積分では、u = 2xと置換することで計算がスムーズになります。
置換の実行
それでは、実際に計算してみましょう。
∫sin2x dx を計算
【ステップ1】置換
u = 2x とおくと
du = 2dx
dx = du/2
【ステップ2】積分の変換
∫sin2x dx = ∫sin u × (1/2)du
= (1/2)∫sin u du
【ステップ3】積分の実行
= (1/2) × (-cos u) + C
= -1/2 cos u + C
【ステップ4】元の変数に戻す
= -1/2 cos(2x) + C
du = 2dxより、dx = du/2という関係が1/2という係数の由来なのです。
なぜ1/2が現れるのか
係数1/2が現れる理由を詳しく見てみましょう。
【理由】
u = 2x のとき、du/dx = 2
つまり、du = 2dx
dxをduで表すと：
dx = du/2 = (1/2)du
この1/2が積分の前に出てくる
微分すると2倍になるものを積分すると、逆に1/2倍になるという関係です。
一般化：sin(ax)の積分
より一般的な形も示しておきましょう。
∫sin(ax)dx = -1/a cos(ax) + C
同様に：
∫cos(ax)dx = 1/a sin(ax) + C
∫tan(ax)dx = -1/a ln|cos(ax)| + C
どの場合も、係数aの逆数1/aが前に出るというパターンです。
具体的な計算例
続いては、sin2xの積分を使った具体的な計算例を確認していきます。
不定積分の基本例
まず、シンプルな不定積分から見ていきましょう。
【例1】∫sin2x dx
= -1/2 cos2x + C
【例2】∫3sin2x dx
= 3∫sin2x dx
= 3 × (-1/2 cos2x) + C
= -3/2 cos2x + C
【例3】∫(sin2x + cos2x)dx
= ∫sin2x dx + ∫cos2x dx
= -1/2 cos2x + 1/2 sin2x + C
= 1/2(sin2x – cos2x) + C
定数倍や和の積分では、それぞれ個別に積分すれば良いでしょう。
定積分の計算
次に、定積分の具体例を見てみましょう。
【例4】∫[0→π/4] sin2x dx を計算
= [-1/2 cos2x]₀^(π/4)
= -1/2 cos(2×π/4) – (-1/2 cos(2×0))
= -1/2 cos(π/2) + 1/2 cos0
= -1/2 × 0 + 1/2 × 1
= 0 + 1/2
= 1/2
cos(π/2) = 0、cos0 = 1という三角関数の値を使うことで、計算がスムーズになります。
【例5】∫[0→π/2] sin2x dx を計算
= [-1/2 cos2x]₀^(π/2)
= -1/2 cos(2×π/2) – (-1/2 cos0)
= -1/2 cosπ + 1/2 × 1
= -1/2 × (-1) + 1/2
= 1/2 + 1/2
= 1
係数を含む場合
より複雑な形の積分も見てみましょう。
【例6】∫sin(4x)dx を計算
u = 4x とおくと、du = 4dx より dx = du/4
∫sin(4x)dx = ∫sin u × (1/4)du
= (1/4)∫sin u du
= (1/4) × (-cos u) + C
= -1/4 cos(4x) + C
または、公式より直接：
∫sin(4x)dx = -1/4 cos(4x) + C
係数が4の場合、1/4が前に出ることが分かります。
応用的な積分
続いては、sin2xを含むより複雑な積分を確認していきます。
sin²2xの積分
sin²2xの積分は、半角の公式を使います。
∫sin²2x dx を計算
半角の公式より：
sin²2x = (1 – cos4x)/2
∫sin²2x dx = ∫(1 – cos4x)/2 dx
= 1/2 ∫(1 – cos4x)dx
= 1/2(x – 1/4 sin4x) + C
= x/2 – 1/8 sin4x + C
半角の公式を使って積分しやすい形に変形することがポイントです。
x sin2xの積分
xとsin2xの積の積分は、部分積分を使います。
∫x sin2x dx を計算
部分積分：u = x, dv = sin2x dx とおくと
du = dx, v = -1/2 cos2x
∫x sin2x dx = x × (-1/2 cos2x) – ∫(-1/2 cos2x)dx
= -x/2 cos2x + 1/2 ∫cos2x dx
= -x/2 cos2x + 1/2 × 1/2 sin2x + C
= -x/2 cos2x + 1/4 sin2x + C
部分積分を使うことで、xの次数を下げることができます。
e^x sin2xの積分
指数関数との積も、部分積分を2回使います。
∫e^x sin2x dx を計算
【1回目の部分積分】
u = sin2x, dv = e^x dx
du = 2cos2x dx, v = e^x
∫e^x sin2x dx = e^x sin2x – 2∫e^x cos2x dx … ①
【2回目の部分積分】
∫e^x cos2x dx について
u = cos2x, dv = e^x dx
du = -2sin2x dx, v = e^x
∫e^x cos2x dx = e^x cos2x + 2∫e^x sin2x dx … ②
②を①に代入して整理すると：
∫e^x sin2x dx = (e^x/5)(sin2x – 2cos2x) + C
部分積分を2回使い、元の積分が再び現れるように工夫します。
面積・体積への応用
続いては、sin2xの積分を使った面積や体積の計算を確認していきます。
面積の計算
y = sin2xのグラフと軸で囲まれた面積を求めてみましょう。
【問題】x = 0からx = π/2までの、y = sin2xとx軸で囲まれた面積
S = ∫[0→π/2] sin2x dx
= [-1/2 cos2x]₀^(π/2)
= -1/2 cosπ – (-1/2 cos0)
= -1/2 × (-1) + 1/2 × 1
= 1/2 + 1/2
= 1（平方単位）
ちょうど1という値になる美しい結果です。
回転体の体積
y = sin2xをx軸周りに回転させた体積も計算できます。
【問題】0 ≤ x ≤ π/4の範囲で、y = sin2xをx軸周りに回転
V = π∫[0→π/4] (sin2x)² dx
= π∫[0→π/4] sin²2x dx
sin²2x = (1 – cos4x)/2より
V = π∫[0→π/4] (1 – cos4x)/2 dx
= π/2 [x – 1/4 sin4x]₀^(π/4)
= π/2 [(π/4 – 1/4 sinπ) – (0 – 0)]
= π/2 × π/4
= π²/8（立方単位）
曲線の長さ
曲線の長さの計算にも使われます。
【問題】y = cos2xの0 ≤ x ≤ π/4における曲線の長さ
L = ∫[0→π/4] √(1 + (dy/dx)²)dx
dy/dx = -2sin2x より
L = ∫[0→π/4] √(1 + 4sin²2x)dx
この積分は楕円積分となり、初等関数では表せませんが、数値計算で求められます。
まとめ
この記事では、sin2xの積分について詳しく解説してきました。
sin2xの不定積分は∫sin2x dx = -1/2 cos2x + Cという公式で表されます。この公式は置換積分u = 2xを使って導出され、du = 2dxよりdx = du/2という関係から、1/2という係数が現れるのです。一般に、sin(ax)の積分は-1/a cos(ax) + Cとなり、係数の逆数が前に出るパターンとなるでしょう。
定積分では、三角関数の値を代入して計算します。sin²2xの積分では半角の公式を使い、x sin2xやe^x sin2xでは部分積分を活用します。
面積や回転体の体積の計算など、様々な応用問題でsin2xの積分が使われています。置換積分の基本をしっかりマスターし、係数に注意することで、確実に計算できるようになることでしょう。
