三角関数のグラフを学習する中で、「sin2xのグラフ」がどのような形をしているのか、sinxとどう違うのか疑問に思うことがあるでしょう。係数2がつくことで、グラフの性質が大きく変わります。
この記事では、sin2xのグラフの特徴と性質について、周期や振幅、最大値・最小値、sinxとの比較まで詳しく解説していきます。グラフの描き方や重要なポイントをしっかりお伝えしますので、ぜひ最後までご覧ください。
sin2xのグラフの基本的な特徴
それではまず、y = sin2xのグラフがどのような特徴を持つのか、基本から解説していきます。
グラフの概形
y = sin2xのグラフは、次のような特徴を持ちます。
【y = sin2xの主な特徴】
・周期：π（sinxの半分）
・振幅：1（sinxと同じ）
・最大値：1
・最小値：-1
・定義域：すべての実数
・値域：-1 ≤ y ≤ 1
最も大きな違いは、周期が半分になることです。
sinxとの比較
y = sinxとy = sin2xを比較してみましょう。
| 項目 | y = sin x | y = sin 2x |
|---|---|---|
| 周期 | 2π | π |
| 振幅 | 1 | 1 |
| 最大値 | 1 | 1 |
| 最小値 | -1 | -1 |
| x = π/2での値 | 1 | 0 |
| 0～2πでの周期の数 | 1回 | 2回 |
同じ範囲で、sin2xは2倍の速さで振動することが分かります。
重要な点の座標
いくつかの重要な点での値を確認しましょう。
【x = 0】y = sin(2×0) = sin0 = 0
【x = π/4】y = sin(2×π/4) = sin(π/2) = 1（最大値）
【x = π/2】y = sin(2×π/2) = sinπ = 0
【x = 3π/4】y = sin(2×3π/4) = sin(3π/2) = -1（最小値）
【x = π】y = sin(2×π) = sin2π = 0
これらの点をプロットすることで、グラフの骨格が見えてきます。
周期と振幅の詳細
続いては、sin2xの周期と振幅について詳しく確認していきます。
周期の求め方
一般的に、y = sin(ax)の周期は次のように求まります。
y = sin(ax)の周期 = 2π/|a|
y = sin2xの場合：a = 2
周期 = 2π/2 = π
この公式を使えば、どんな係数でも周期が計算できます。
周期の意味
周期πとはどういうことか、具体的に見てみましょう。
sin2x = sin2(x + π)
確認：
sin2(x + π) = sin(2x + 2π)
= sin2x（2πは1周期分）
つまり、xがπ増えると関数値が元に戻る
0からπまでの範囲で、1回の完全な振動が行われます。
振幅とは
振幅は、グラフの振れ幅の半分を表します。
振幅 = (最大値 – 最小値) / 2
y = sin2xの場合：
振幅 = (1 – (-1)) / 2 = 2/2 = 1
sinxと同じく、振幅は1のままです。係数がxにかかっている場合、振幅は変わりません。
一般形の周期と振幅
より一般的な形も確認しておきましょう。
| 関数 | 周期 | 振幅 |
|---|---|---|
| y = sin x | 2π | 1 |
| y = sin 2x | π | 1 |
| y = 2sin x | 2π | 2 |
| y = 2sin 2x | π | 2 |
| y = A sin(ωx) | 2π/ω | |A| |
xの前の係数が周期に、sin全体の係数が振幅に影響するのです。
最大値・最小値と極値
続いては、sin2xの最大値・最小値と、それらをとる位置を確認していきます。
最大値をとる点
y = sin2xが最大値1をとるxの値を求めましょう。
sin2x = 1となるのは
2x = π/2 + 2nπ（nは整数）
x = π/4 + nπ
具体的には：
x = π/4, 5π/4, 9π/4, …（n = 0, 1, 2, …）
x = -3π/4, -7π/4, …（n = -1, -2, …）
周期πごとに最大値が現れることが分かります。
最小値をとる点
同様に、最小値-1をとる点も求めましょう。
sin2x = -1となるのは
2x = 3π/2 + 2nπ（nは整数）
x = 3π/4 + nπ
具体的には：
x = 3π/4, 7π/4, 11π/4, …
x = -π/4, -5π/4, …
0になる点（x切片）
グラフがx軸と交わる点も重要です。
sin2x = 0となるのは
2x = nπ（nは整数）
x = nπ/2
具体的には：
x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π, …
x = -π/2, -π, …
周期π/2ごとにx軸と交わることが分かります。
増減表
0 ≤ x ≤ 2πの範囲での増減表を作ってみましょう。
| x | 0 | … | π/4 | … | 3π/4 | … | 5π/4 | … | 7π/4 | … | 2π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin2x | 0 | ↗ | 1 | ↘ | -1 | ↗ | 1 | ↘ | -1 | ↗ | 0 |
0～2πの範囲で、2回の完全な振動をすることが明確です。
グラフの描き方
続いては、y = sin2xのグラフを実際に描く手順を確認していきます。
基本的な描画手順
グラフを描く際の手順を示します。
【ステップ1】周期を確認
周期 = π
0～πの範囲で1周期分を描けば良い
【ステップ2】重要な点をプロット
(0, 0), (π/4, 1), (π/2, 0), (3π/4, -1), (π, 0)
【ステップ3】滑らかな曲線で結ぶ
正弦曲線の形で点を結ぶ
【ステップ4】周期的に繰り返す
1周期分を左右に繰り返し描く
座標の取り方
より細かく点を取ると、正確なグラフが描けます。
| x | 0 | π/8 | π/4 | 3π/8 | π/2 | 5π/8 | 3π/4 | 7π/8 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x | 0 | π/4 | π/2 | 3π/4 | π | 5π/4 | 3π/2 | 7π/4 | 2π |
| sin2x | 0 | 0.707 | 1 | 0.707 | 0 | -0.707 | -1 | -0.707 | 0 |
sinxとの重ね描き
sinxとsin2xを同じグラフ上に描くと、違いが明確になります。
【0～2πの範囲で比較】
y = sin x：
・0で0から始まり、π/2で1、πで0、3π/2で-1、2πで0
・1回の波
y = sin 2x：
・0で0から始まり、π/4で1、π/2で0、3π/4で-1、πで0
・そして同じパターンをもう1回繰り返す
・2回の波
sin2xは横方向に圧縮されたグラフに見えます。
対称性
sin2xのグラフは、いくつかの対称性を持ちます。
【原点対称】
sin2(-x) = -sin2x
奇関数なので、原点に関して対称
【周期的対称】
各周期の中心（x = π/2, 3π/2など）に関して点対称
sinxとの詳しい比較
続いては、sinxとsin2xの違いをさらに詳しく確認していきます。
周波数の違い
物理学的な観点から、周波数を比較してみましょう。
周波数 = 1 / 周期
y = sin x：周期2π、周波数1/(2π)
y = sin 2x：周期π、周波数1/π = 2/(2π)
sin2xの周波数はsinxの2倍
つまり、sin2xは2倍速く振動しています。
同じ値をとる点
sinxとsin2xが同じ値をとる点を探してみましょう。
sin x = sin 2xとなるのは
sin x = 2sin x cos x
sin x – 2sin x cos x = 0
sin x(1 – 2cos x) = 0
sin x = 0 または cos x = 1/2
【0 ≤ x ≤ 2πの範囲で】
x = 0, π/3, π, 5π/3, 2π
これらの点で、2つのグラフが交わるのです。
微分・積分での比較
微分と積分の観点からも比較してみましょう。
| 関数 | 微分 | 積分 |
|---|---|---|
| sin x | cos x | -cos x + C |
| sin 2x | 2cos 2x | -1/2 cos 2x + C |
sin2xの方が、微分すると係数2が現れ、積分すると係数1/2が現れます。これは周期が半分であることの反映です。
面積の比較
1周期分の面積を比較してみましょう。
【y = sin xの1周期（0～2π）の面積】
正の部分：∫[0→π] sin x dx = [-cos x]₀^π = 2
負の部分：∫[π→2π] sin x dx = [-cos x]_π^(2π) = -2
絶対値の合計：2 + 2 = 4
【y = sin 2xの1周期（0～π）の面積】
正の部分：∫[0→π/2] sin 2x dx = [-1/2 cos 2x]₀^(π/2) = 1
負の部分：∫[π/2→π] sin 2x dx = [-1/2 cos 2x]_(π/2)^π = -1
絶対値の合計：1 + 1 = 2
周期が半分なので、面積も半分になります。
応用例と実用
続いては、sin2xのグラフが実際にどのような場面で使われるのか確認していきます。
物理学での波動
sin2xは、周波数が2倍の波を表します。
【基本波と倍音】
基本波：y = sin x
第2倍音：y = sin 2x（周波数2倍）
第3倍音：y = sin 3x（周波数3倍）
楽器の音色は、これらの重ね合わせで決まる
音楽や音響学では、倍音構造を理解する上で重要です。
交流電気
電気回路では、異なる周波数の信号が現れます。
【周波数変換】
入力信号：V₁ = sin(ωt)
2倍周波数成分：V₂ = sin(2ωt)
周波数逓倍回路などで使われる
振動の合成
2つの振動を合成する例を見てみましょう。
【例】y = sin x + sin 2x
x = 0：y = 0 + 0 = 0
x = π/2：y = 1 + 0 = 1
x = π：y = 0 + 0 = 0
x = 3π/2：y = -1 + 0 = -1
複雑な波形が得られる
このような合成波は、フーリエ級数の基礎となります。
斜方投射の最適角度
物理の斜方投射では、sin2θが重要です。
【飛距離の公式】
R = (v₀² sin2θ) / g
sin2θが最大（= 1）となるのはθ = 45°
このとき飛距離が最大になる
sin2θのグラフから、最適角度が視覚的に分かります。
リサージュ図形
2つの直交する振動の合成で現れる図形です。
【パラメータ表示】
x = sin t
y = sin 2t
tを0から2πまで変化させると、
8の字型の軌跡を描く
まとめ
この記事では、sin2xのグラフについて詳しく解説してきました。
y = sin2xのグラフは、周期がπ、振幅が1という特徴を持ち、最大値1、最小値-1の間を振動します。sinxと比べて、周期が半分（2πからπへ）になるため、同じ範囲で2倍の速さで振動することが最大の違いでしょう。
グラフは、(0,0)、(π/4,1)、(π/2,0)、(3π/4,-1)、(π,0)という重要な点を通り、原点対称の性質を持ちます。一般に、y = sin(ax)の周期は2π/|a|で求まり、aが大きいほど周期は短くなります。
物理学では倍音や周波数変換、斜方投射の最適角度など、様々な場面でsin2xのグラフが活用されています。周期と振幅の概念をしっかり理解し、sinxとの違いを把握することで、より複雑な三角関数のグラフにも対応できることでしょう。
sin2xの変形は？公式と導出を解説！（2sinxcosx・倍角の公式・半角の公式・積和の公式など）
三角関数の計算を進める中で、「sin2xの変形」が必要になる場面は数多くあります。sin2xをどのような形に変形できるのか、それぞれの公式をどう使い分けるのか、理解が重要です。
この記事では、sin2xの変形方法と公式について、2sinx cosxへの変形から半角の公式、積和の公式まで詳しく解説していきます。各公式の導出過程と使い分けのコツをしっかりお伝えしますので、ぜひ最後までご覧ください。
sin2xの基本変形：2sinx cosx
それではまず、sin2xの最も基本的な変形について解説していきます。
倍角の公式
sin2xの最も重要な変形が、倍角の公式です。
sin2x = 2sinx cosx
これは三角関数の倍角の公式として、必ず覚えるべき式
この公式により、2倍角を単角の積で表せます。
加法定理からの導出
なぜこの公式が成り立つのか、加法定理から導出してみましょう。
【加法定理】
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
α = β = x とおくと
sin(x + x) = sinx cosx + cosx sinx
sin2x = 2sinx cosx
加法定理でα = βとすることで、倍角の公式が得られます。
具体的な値での確認
x = 30°の場合で公式を確認してみましょう。
【左辺】sin2x = sin60° = √3/2
【右辺】2sinx cosx
= 2sin30° cos30°
= 2 × (1/2) × (√3/2)
= 2 × √3/4
= √3/2 ✓
確かに両辺が一致することが確認できました。
逆変形も重要
2sinx cosxをsin2xに変形することも重要です。
2sinx cosx = sin2x
【応用例】積分
∫2sinx cosx dx = ∫sin2x dx
= -1/2 cos2x + C
積や積分を簡単にするために使えます。
半角の公式との関係
続いては、sin2xから半角の公式を導く方法を確認していきます。
半角の公式の導出
cos2xの公式を変形して、半角の公式を導きます。
cos2x = 1 – 2sin²x
これを変形すると：
2sin²x = 1 – cos2x
sin²x = (1 – cos2x)/2
同様に、cos2x = 2cos²x – 1より
cos²x = (1 + cos2x)/2
これらが半角の公式です。
2xをθと置き換える
2x = θとおくと、半角の公式の標準形になります。
2x = θ、つまりx = θ/2とすると
sin²(θ/2) = (1 – cosθ)/2
cos²(θ/2) = (1 + cosθ)/2
半分の角度の三角関数を、元の角度のcosで表現できます。
半角の公式の応用
半角の公式を使った計算例を見てみましょう。
【例1】sin²xの積分
∫sin²x dx = ∫(1 – cos2x)/2 dx
= 1/2 ∫(1 – cos2x)dx
= 1/2(x – 1/2 sin2x) + C
= x/2 – 1/4 sin2x + C
【例2】sin15°の値
sin15° = sin(30°/2)
sin²15° = (1 – cos30°)/2 = (1 – √3/2)/2
sin15° = √((2 – √3)/4) = (√6 – √2)/4
sin2xとの変換
sin2xを使ってsin²xを表すこともできます。
sin²x = (1 – cos2x)/2
また、sin2x = 2sinx cosxより
sinx cosx = sin2x/2
これらを組み合わせると：
sin²x cos²x = (sin2x/2)²
= sin²2x / 4
= (1 – cos4x) / 8
積和の公式での変形
続いては、積和の公式を使ったsin2xの変形を確認していきます。
積和の公式
sinとcosの積を和で表す公式があります。
sinα cosβ = 1/2{sin(α+β) + sin(α-β)}
α = β = xの場合：
sinx cosx = 1/2{sin2x + sin0}
= 1/2 sin2x
よって、sin2x = 2sinx cosx ✓
積和の公式からも、倍角の公式が導けるのです。
和積の公式
逆に、和を積で表す和積の公式もあります。
sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
A = 2x, B = 0とすると：
sin2x + sin0 = 2sin(x)cos(x)
sin2x = 2sinx cosx
三倍角への応用
sin2xを使って、sin3xを表すこともできます。
sin3x = sin(2x + x)
= sin2x cosx + cos2x sinx
= 2sinx cosx × cosx + (1 – 2sin²x) × sinx
= 2sinx cos²x + sinx – 2sin³x
= 2sinx(1 – sin²x) + sinx – 2sin³x
= 2sinx – 2sin³x + sinx – 2sin³x
= 3sinx – 4sin³x
このように、高次の倍角も導出できます。
様々な恒等式での変形
続いては、sin2xを含む様々な恒等式を確認していきます。
(sinx + cosx)²との関係
sinxとcosxの和の2乗を展開してみましょう。
(sinx + cosx)²
= sin²x + 2sinx cosx + cos²x
= (sin²x + cos²x) + 2sinx cosx
= 1 + 2sinx cosx
= 1 + sin2x
逆に、sin2xを使って平方の形を表せます。
(sinx – cosx)²との関係
差の2乗も計算してみましょう。
(sinx – cosx)²
= sin²x – 2sinx cosx + cos²x
= 1 – 2sinx cosx
= 1 – sin2x
sinx cosxの最大値
sinx cosxの最大値を求めてみましょう。
sinx cosx = sin2x / 2
-1 ≤ sin2x ≤ 1より
-1/2 ≤ sin2x/2 ≤ 1/2
最大値：1/2（sin2x = 1のとき、つまりx = π/4 + nπ/2）
最小値：-1/2（sin2x = -1のとき）
sin2xに変形することで、最大値が簡単に求まるのです。
tanxでの表現
sin2xをtanxで表すこともできます。
sin2x = 2sinx cosx
分子分母をcos²xで割ると：
sin2x = 2(sinx/cosx) × (cosx/cosx) / (1/cos²x)
= 2tanx / sec²x
= 2tanx / (1 + tan²x)
sin2x = 2tanx / (1 + tan²x)
実用的な変形テクニック
続いては、実際の問題で使える変形テクニックを確認していきます。
方程式での変形
sin2xを含む方程式を解く際の変形です。
【問題】sin2x = sinxを解く（0 ≤ x < 2π）
2sinx cosx = sinx
2sinx cosx – sinx = 0
sinx(2cosx – 1) = 0
sinx = 0 または cosx = 1/2
x = 0, π, 2π または x = π/3, 5π/3
sin2xを2sinx cosxに展開することで、因数分解できます。
不等式での変形
不等式を解く場合も変形が有効です。
【問題】sin2x > 2sinx cosx – 1/2 を解く
sin2x > sin2x – 1/2
0 > -1/2
常に真なので、すべての実数xが解
※これは極端な例ですが、変形により問題が簡単化される
積分での変形
積分計算でも変形が重要です。
【例1】∫sinx cosx dx
= ∫(sin2x/2)dx
= 1/2 ∫sin2x dx
= 1/2 × (-1/2 cos2x) + C
= -1/4 cos2x + C
【例2】∫sin²x cos²x dx
= ∫(sinx cosx)² dx
= ∫(sin2x/2)² dx
= 1/4 ∫sin²2x dx
= 1/4 ∫(1 – cos4x)/2 dx
= 1/8(x – 1/4 sin4x) + C
sin2xへの変形により、積分が大幅に簡単になります。
微分方程式での変形
微分方程式を解く際にも使えます。
【例】dy/dx = 2sinx cosx を解く
dy/dx = sin2x
両辺を積分：
y = ∫sin2x dx
= -1/2 cos2x + C
物理学・工学での応用
続いては、sin2xの変形が実際にどのような場面で使われるのか確認していきます。
斜方投射
物理の斜方投射で重要な公式です。
【飛距離の公式】
R = (v₀² sin2θ) / g
= (v₀² × 2sinθ cosθ) / g
この形から、水平成分と鉛直成分の関係が見える
sin2θを展開することで、物理的意味が明確になります。
電力の計算
交流電力の計算でも現れます。
【瞬時電力】
P = VI = V₀sinωt × I₀sinωt
= V₀I₀ sin²ωt
= V₀I₀ × (1 – cos2ωt)/2
平均電力：P̄ = V₀I₀/2
半角の公式を使って、平均電力を導出できます。
振動の解析
2つの振動の積を解析します。
【振動の積】
x₁ = A sinωt
x₂ = B sinωt
x₁ × x₂ = AB sin²ωt
= AB × (1 – cos2ωt)/2
直流成分と2倍周波数成分に分解される
光学での応用
光の干渉でも使われます。
【2光波の干渉】
I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂)cosδ
位相差δの関数として強度が変化
sin2xの変形を使って解析
まとめ
この記事では、sin2xの変形について詳しく解説してきました。
sin2xの最も基本的な変形はsin2x = 2sinx cosxという倍角の公式です。この公式は加法定理から導出され、sinとcosの積を2倍角で表したり、逆に2倍角を積で表したりする際に使われます。
半角の公式sin²x = (1 – cos2x)/2は、sin2xやcos2xの公式から導かれ、積分計算で特に有用でしょう。また、積和の公式や和積の公式を使うことで、様々な形への変形が可能です。
(sinx + cosx)² = 1 + sin2xなどの恒等式や、tanxでの表現sin2x = 2tanx/(1 + tan²x)も重要な変形です。物理学では斜方投射の飛距離、電力計算、振動解析など、様々な場面でsin2xの変形が活用されています。状況に応じて適切な変形を選ぶことで、計算が大幅に簡単になることでしょう。
