有理数とは？定義は0を含む？例で簡単に解説！

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数学を学ぶ上で、有理数という概念は非常に重要です。分数や小数を扱う際に必ず登場する言葉ですが、正確な定義を理解している人は意外と少ないかもしれません。

「有理数って具体的にどんな数？」「0は有理数に含まれるの？」「有理数の例をたくさん知りたい」といった疑問を持つ方は多いでしょう。

本記事では、有理数の正確な定義から、0を含むかどうか、具体的な例まで、有理数について分かりやすく解説していきます。有理数の本質を理解し、数学の基礎を固めたい方は、ぜひ参考にしてください。

有理数の基本的な定義

それではまず、有理数とは何かという基本的な定義から見ていきます。

有理数とは何か

有理数とは、2つの整数の比で表すことができる数のことです。

一般的にp/q（pとqは整数、q≠0）という形で表される数を有理数と呼びます。分子pと分母qがともに整数であることが条件で、分母は0ではいけません。

「有理数」という名前から「理にかなった数」と誤解されがちですが、実はそうではありません。「有理」はラテン語のratio（比）に由来し、「比率で表せる数」という意味なのです。

英語ではrational numberと言います。rationalは「理性的な」という意味もありますが、ここでは「比率の」という意味です。ratioが語源であることが分かりやすいでしょう。

有理数には様々な形があります。1/2や3/4のような分数はもちろん、実は整数も有理数に含まれます。5という整数は5/1と表せるため、有理数の定義を満たすのです。

また0.5や0.25のような小数も有理数です。0.5=1/2、0.25=1/4というように分数で表せるからです。

有理数の記号と表記方法

有理数全体の集合を表す記号はℚです。

この記号は英語のQuotient（商）の頭文字に由来しています。割り算の結果である商が、まさに分数（有理数）を表すからです。

数式でx∈ℚと書けば、「xは有理数である」という意味になります。∈は「属する」を意味する記号で、集合論で頻繁に使われるのです。

有理数を文章で表現する際は、「p/q型の数」「分数で表せる数」「比で表される数」などと説明します。

記号	意味	読み方
ℚ	有理数全体の集合	キュー
x∈ℚ	xは有理数である	エックス属するキュー
ℚ⁺	正の有理数	キュープラス
ℚ＼{0}	0を除く有理数	キュー引く0

他の数の集合記号と合わせて覚えると理解しやすいでしょう。ℕ（自然数）、ℤ（整数）、ℚ（有理数）、ℝ（実数）、ℂ（複素数）という順序で、数の体系が拡張されていくのです。

これらの記号は国際的に統一されているため、どの国の数学書を読んでも同じ意味で使われています。

有理数の数学的な定義

より厳密に有理数を定義してみましょう。

有理数の集合ℚは、次のように定義されます。

この定義には重要な条件が含まれています。

まず分子pと分母qは整数でなければなりません。1/√2や√2/3のような形は、この定義では有理数ではないのです（これらは無理数）。

次に分母q≠0という条件があります。0で割ることはできないため、分母が0の「分数」は数として定義されません。

同じ有理数でも、表し方は無限にあります。1/2=2/4=3/6=…というように、分子と分母に同じ数を掛けても値は変わりません。しかし既約分数（これ以上約分できない分数）の形が標準的な表現とされます。

有理数には加法（足し算）、減法（引き算）、乗法（掛け算）、除法（割り算、0で割る場合を除く）が定義されており、これらの演算の結果は常に有理数になります。

この性質を「演算について閉じている」と言い、有理数が数学的に扱いやすい理由の一つなのです。

有理数に0は含まれるのか

続いては、0が有理数に含まれるかという重要な問題を確認していきましょう。

0は有理数である理由

結論から言えば、0は有理数です。これは非常に重要なポイントになります。

なぜなら0は0/1という分数で表せるからです。分子が0、分母が1の分数として、有理数の定義p/q（p、qは整数、q≠0）を満たすのです。

実は0は、0/2、0/3、0/100など、分母を任意の0でない整数にした分数で表すことができます。すべて値は0で同じですが、どの表現でも有理数の定義を満たしているのです。

0を有理数に含めないと、多くの数学的な性質が成り立たなくなります。例えば「有理数同士の引き算の結果は有理数」という性質も、0を除外すると成立しません。

3/4 – 3/4 = 0という計算結果が有理数でなくなってしまうからです。

したがって0は有理数の重要なメンバーであり、決して除外されるものではないのです。

0の特別な性質

0は有理数の中でも特別な性質を持っています。

まず0は加法の単位元です。任意の有理数aに対して、a+0=0+a=aが成り立ちます。0を足しても値が変わらないという性質です。

性質	式	例
加法の単位元	a+0=a	5+0=5
乗法の零元	a×0=0	5×0=0
符号の境界	正と負の境目	-1<0<1

また0は乗法の零元でもあります。任意の有理数aに対して、a×0=0×a=0が成り立つのです。何に0を掛けても結果は0になります。

さらに0は正でも負でもない唯一の有理数です。正の有理数と負の有理数の境界に位置する特別な数なのです。

0は整数でもあります。整数は…、-2、-1、0、1、2、…と定義され、0が含まれるからです。

ただし自然数には通常含まれません。自然数は1、2、3、…と定義されることが多く、0から始めない流儀が一般的です（分野によっては0を含める場合もあります）。

0を有理数として認識することは、数の体系を正しく理解する上で非常に重要なのです。

0を含む有理数の計算

0を含む有理数の計算例を見てみましょう。

注意すべきは、0で割ることはできないという点です。

5÷0や0÷0は定義されません。分母が0の分数は数学的に意味を持たないのです。

0を分子にするのは問題ありませんが、分母にすることはできません。これは有理数の定義p/q（q≠0）からも明らかです。

0を含む分数の約分にも注意が必要でしょう。

0/5は約分できません。0÷5=0なので、結果は0ですが、これ以上簡単にする形はないのです。

一方で0×5/5×3は、分子の0×5=0となり、0/3=0と計算できます。

0は有理数の中で特別な位置を占めており、計算の際には常に注意を払う必要があるのです。

有理数の具体例

それでは、有理数にはどのような数が含まれるのか、豊富な例を見ていきましょう。

整数はすべて有理数

すべての整数は有理数です。これは非常に重要なポイントになります。

整数nは、n/1という分数で表せます。したがって有理数の定義を満たすのです。

つまり整数⊂有理数という包含関係が成り立ちます。すべての整数は有理数の一部なのです。

整数	有理数表示	有理数か
1	1/1	○
-2	-2/1	○
0	0/1	○
42	42/1	○

自然数（1、2、3、…）も整数の一部なので、当然すべて有理数です。

自然数⊂整数⊂有理数という包含関係があり、内側ほど限定的で、外側ほど広い概念になります。

整数が有理数であることを理解すれば、有理数がいかに広い概念かが分かるでしょう。分数だけでなく、普通の整数もすべて有理数に含まれるのです。

日常生活で使う「3個」「5人」といった数も、すべて有理数なのです。

分数の例

有理数の代表格である分数の例を豊富に見てみましょう。

分子が分母より大きい分数も有理数です。これらは帯分数や整数を含む形で表現できます。

約分できる分数も有理数です。ただし通常は既約分数（これ以上約分できない形）で表現します。

元の分数	約分後	小数
2/4	1/2	0.5
6/8	3/4	0.75
10/15	2/3	0.666…
12/18	2/3	0.666…

複雑な分数も有理数です。分子と分母が整数であれば、どんなに大きな数でも有理数の定義を満たします。

これらすべてが有理数であり、数直線上に位置を持つ実数なのです。

小数表示の有理数

有理数は小数で表すこともできます。重要なのは、有限小数または循環小数になるという点です。

有限小数は、小数点以下が有限で終わる小数です。これらはすべて分数で表せるため、有理数になります。

循環小数も有理数です。循環小数とは、特定の数字の並びが無限に繰り返される小数のことです。

1/3を小数で表すと0.333…となり、3が無限に続きます。しかしこれは循環する規則性があるため、有理数なのです。

分数	小数表示	種類
1/2	0.5	有限小数
1/3	0.333…	循環小数
1/4	0.25	有限小数
1/6	0.1666…	循環小数

循環小数は線や点で循環部分を示すことがあります。0.3̄や0.˙3のように表記され、3が繰り返されることを示すのです。

重要なのは、すべての有理数は有限小数または循環小数で表せるという点です。逆に言えば、循環しない無限小数は有理数ではない（無理数）のです。

小数表示を見れば、その数が有理数かどうか判定できるわけです。

有理数でないものと見分け方

続いては、有理数でない数とはどのようなものか、そしてどう見分けるかを確認していきましょう。

無理数との違い

有理数でない実数を無理数と呼びます。

無理数は、どう頑張っても2つの整数の比では表せない数です。小数で表すと、循環しない無限小数になります。

√2は、2乗すると2になる正の数です。しかしこれを分数p/qで表そうとすると、どうやっても正確には表せません。

π（円周率）は3.14と近似されますが、実際には無限に続く小数で、どこまでいっても循環しないのです。

数	有理数か	無理数か
1/2	○	×
0.333…	○	×
√2	×	○
π	×	○

実数は有理数と無理数に分けられます。実数=有理数∪無理数という関係です。

任意の実数は、有理数か無理数のどちらか一方に必ず分類されます。両方に属したり、どちらにも属さなかったりすることはないのです。

有理数と無理数を合わせることで、数直線上のすべての点が埋まり、完全な実数の体系が完成します。

有理数の判定方法

ある数が有理数かどうかを判定する方法を確認しましょう。

最も確実なのは、分数で表せるか試すことです。整数の比p/qで表現できれば有理数です。

小数で与えられている場合の判定方法は以下の通りです。

数	小数表示	判定
3/4	0.75（有限）	有理数
1/3	0.333…（循環）	有理数
√2	1.414…（非循環）	無理数

平方根の判定も重要です。

平方数（1、4、9、16、25、…）の平方根は整数になるため有理数です。一方で平方数でない正の整数の平方根は無理数になります。

有理数同士の四則演算の結果は有理数です。これを利用した判定もできます。

1/2 + 1/3 = 5/6は有理数、2 × 3/4 = 3/2は有理数というように、有理数だけで計算すれば結果も有理数なのです。

一方で√2 + 1のように無理数を含む計算結果は、通常無理数になります。

よくある間違いと注意点

有理数の判定でよくある間違いを確認しましょう。

まずπは有理数ではありません。π≈3.14159…は循環しない無限小数なので無理数です。

3.14という近似値は有理数（314/100）ですが、π本体は無理数なのです。この区別は重要でしょう。

0.999…（9が無限に続く）についても誤解があります。これは実は1と等しく、したがって有理数です。

0.999… = 1 = 1/1という関係が成り立ち、有理数なのです。

また√4は有理数です。√4=2となり、整数（有理数）になるからです。「平方根がついていれば無理数」というのは間違いなのです。

数	よくある誤解	正しい判定
π	有理数	無理数
√4	無理数	有理数（=2）
0.999…	無理数	有理数（=1）
22/7	πと同じ	πの近似（有理数）

22/7はπの近似値としてよく使われますが、これ自体は有理数です。πそのものではなく、πに近い有理数なのです。

有理数の判定では、定義に立ち返ることが大切です。「2つの整数の比で表せるか」という基本を忘れなければ、正確に判定できるでしょう。

まとめ 有理数は0を含む？例で簡単に解説！

本記事では、有理数の定義から、0を含むかどうか、豊富な具体例、そして有理数の判定方法まで詳しく解説しました。

有理数とは2つの整数の比p/q（q≠0）で表せる数で、0も0/1と表せるため有理数に含まれます。整数、分数、有限小数、循環小数はすべて有理数です。一方で√2やπのような循環しない無限小数は無理数であり、有理数ではありません。

有理数の概念を正しく理解することで、数の分類が明確になり、数学の問題を解く際の判断がスムーズになるでしょう。基礎をしっかり固めて、数学の学習を進めていってください。