図形の問題を解いていると、必ずと言っていいほど登場するのが多角形の内角の和です。
特に八角形のように辺の数が多い図形になると、内角の和がいくつになるのか、パッと答えられない方も多いのではないでしょうか。
三角形や四角形なら感覚的にわかっても、辺が八本ある八角形の内角の和となると、計算方法が思い浮かばないという声もよく聞きます。
この記事では、八角形の内角の和がいくつになるのかという結論から、その求め方、公式の使い方、そして証明までをじっくり解説していきます。
学校の宿題やテスト対策はもちろん、資格試験や仕事で図形の知識が必要になった方にも役立つ内容です。
途中には表や計算例も交えながら、できるだけわかりやすく整理しました。
それでは早速、八角形の内角の和について見ていきましょう。
八角形の内角の和は1080度です
それではまず八角形の内角の和について解説していきます。
結論からお伝えすると、八角形の内角の和は1080度です。
三角形の内角の和が180度、四角形の内角の和が360度であることを考えると、八角形はかなり大きな数値になります。
八角形の内角の和は1080度です。
この数値は多角形の内角の和を求める公式に、八角形の辺の数である8を当てはめることで導き出されます。
暗記しておくと図形問題を解くスピードが格段に上がるでしょう。
八角形の内角の和の答え
八角形とは、辺の数が8本、頂点の数も8個ある多角形のことです。
身近な例で言えば、ストップサインの標識や一部の時計の文字盤などが八角形の形をしています。
この八角形の内角をすべて足し合わせると、合計で1080度になります。
数字だけ見ると大きく感じますが、後ほど紹介する公式に当てはめればすぐに導けるので安心してください。
なぜ1080度になるのか
1080度という数字は、偶然出てきたものではありません。
多角形は、内部に対角線を引くことでいくつかの三角形に分割できます。
八角形の場合、1つの頂点から対角線を引くと6個の三角形に分けることが可能です。
三角形1個の内角の和は180度ですから、180度を6回足すと1080度になる、という仕組みです。
つまり180×6という計算が、そのまま八角形の内角の和の根拠になっているのです。
内角の和の公式に当てはめると
多角形の内角の和は、n角形のnに辺の数を入れることで求められます。
八角形はn=8ですから、この数値を公式に代入するだけで答えが出てきます。
公式の詳しい形については、次の見出し以降でしっかり解説していきます。
結論を覚えておくだけでも十分役立ちますが、仕組みを理解しておくと応用問題にも対応しやすくなるでしょう。
八角形の内角の和の求め方
続いては八角形の内角の和の求め方を確認していきます。
求め方にはいくつかのパターンがあり、どれも最終的には同じ1080度という答えにたどり着きます。
三角形に分割して求める方法
もっとも直感的なのが、多角形を三角形に分割して求める方法です。
八角形の1つの頂点を選び、そこから他の頂点に向かって対角線を引いてみましょう。
すると図形全体が、隙間なく6個の三角形に分かれます。
三角形の数は、辺の数から2を引いた数と一致します。
八角形の場合は8引く2で6個です。
三角形1個あたりの内角の和は180度なので、180度かける6個で1080度と求められます。
この方法は、公式を覚えていなくてもその場で答えを導ける点が大きなメリットです。
図をノートに書きながら確認すると、より理解が深まるでしょう。
公式を使って求める方法
次に紹介するのは、公式を直接使う求め方です。
多角形の内角の和を求める公式は、後ほど詳しく解説しますが、辺の数さえわかれば一瞬で答えが出ます。
計算に慣れてしまえば、こちらの方が圧倒的に速く結果を出せる方法です。
テストなど時間が限られている場面では、公式を使った求め方をおすすめします。
対角線を使った求め方
三角形分割と似ていますが、対角線の本数に注目する求め方もあります。
八角形は1つの頂点から対角線を5本引くことができ、これによって図形が6つの三角形に分割されます。
対角線の本数プラス1が、できあがる三角形の数になるという関係を覚えておくと便利でしょう。
どの求め方を選んでも、最終的な答えは変わらず1080度になります。
多角形の内角の和を求める公式
続いては多角形の内角の和を求める公式について確認していきます。
この公式さえ覚えてしまえば、八角形だけでなく他のどんな多角形にも対応できるようになるでしょう。
多角形の内角の和を求める公式は次の通りです。
n角形の内角の和イコール180×（n−2）度です。
nの部分に辺の数を入れることで、その多角形の内角の和が求められます。
n角形の内角の和の公式
この公式のnには、多角形の辺の数がそのまま入ります。
三角形ならn=3、四角形ならn=4というように置き換えるだけです。
公式の中の（n−2）という部分は、その多角形を分割できる三角形の数を表しています。
この考え方さえ理解しておけば、公式を丸暗記するだけでなく意味も納得できるはずです。
公式のnに8を当てはめる
それでは実際に、八角形の数値を公式へ当てはめてみましょう。
180×（8−2）を計算します。
8引く2は6ですから、式は180×6になります。
180×6を計算すると1080になります。
よって八角形の内角の和は1080度です。
数字を当てはめるだけのシンプルな作業なので、計算ミスにさえ気をつければ誰でも簡単に答えを出せるでしょう。
三角形の数との関係
公式の（n−2）は、先ほど紹介した三角形分割の考え方と直結しています。
多角形の1つの頂点から対角線を引くと、辺の数より2つ少ない数の三角形ができるという性質があるのです。
このため、三角形の数を数えて180度をかけても、公式を使って計算しても、答えは一致します。
仕組みと公式の両方を知っておくと、応用力がぐっと高まるでしょう。
| 多角形の名前 | 辺の数（n） | 三角形の数（n−2） | 内角の和 |
|---|---|---|---|
| 三角形 | 3 | 1 | 180度 |
| 四角形 | 4 | 2 | 360度 |
| 五角形 | 5 | 3 | 540度 |
| 六角形 | 6 | 4 | 720度 |
| 七角形 | 7 | 5 | 900度 |
| 八角形 | 8 | 6 | 1080度 |
八角形の内角の和が1080度になる証明
続いては八角形の内角の和が1080度になることの証明を確認していきます。
公式を丸暗記するだけでなく、なぜその式が成り立つのかを知っておくと、忘れにくくなるだけでなく応用問題にも強くなれるでしょう。
対角線による三角形分割の証明
まずは、対角線を使った証明方法から見ていきます。
八角形の頂点の1つを基準にして、そこから他の頂点へ向けて対角線をすべて引いてみましょう。
隣り合う頂点と、基準にした頂点自身には対角線を引けないため、8つの頂点から3つを除いた5本の対角線が引けます。
この対角線によって、八角形の内部はちょうど6個の三角形に分割されます。
三角形1個の内角の和は必ず180度になるという性質を使えば、180度かける6個で1080度という結論が導けるのです。
1つの頂点から対角線を引く証明
この証明のポイントは、なぜ三角形の数が6個になるのかという点にあります。
n角形の1つの頂点からは、自分自身と両隣の頂点を除いた（n−3）本の対角線を引くことができます。
対角線の本数に1を足すと、できあがる三角形の数と一致するという関係があるのです。
八角形の場合は8引く3で5本の対角線が引けます。
5本プラス1で、三角形の数は6個になります。
この6個に180度をかけることで1080度という答えが証明されるのです。
外角の和から求める証明方法
実は、外角の和を利用しても内角の和を証明することができます。
どんな多角形であっても、外角の和は必ず360度になるという性質があるのをご存じでしょうか。
1つの頂点における内角と外角を足すと、必ず180度になります。
八角形には頂点が8個あるため、180度を8回足すと1440度です。
この1440度から、外角の和である360度を引くと1080度になり、内角の和と一致します。
2つの異なる証明方法で同じ答えにたどり着くことで、1080度という結論の正しさがより実感できるでしょう。
正八角形の場合の1つの内角の大きさ
続いては正八角形における1つの内角の大きさについて確認していきます。
内角の和がわかると、正多角形であれば1つあたりの内角の大きさも簡単に求められるようになるのです。
正八角形の内角はすべて等しい
正八角形とは、8つの辺の長さと8つの角の大きさが、それぞれすべて等しい八角形のことを指します。
一般的な八角形では角の大きさがバラバラになることもありますが、正八角形なら話は別です。
すべての内角が等しいという性質のおかげで、内角の和を頂点の数で割るだけで1つの角の大きさが求められます。
1080度を8で割ると135度
実際に計算してみましょう。
正八角形の内角の和は1080度です。
頂点の数である8で1080を割ります。
1080割る8は135になります。
よって正八角形の1つの内角は135度です。
正方形の内角が90度であることと比べると、辺が増えるほど1つあたりの角度も大きくなっていくことがよくわかるでしょう。
正八角形の外角との関係
正多角形の外角の和は、辺の数に関係なく常に360度になります。
正八角形の場合、外角は8つあるため、360度を8で割ると1つの外角は45度です。
内角の135度と外角の45度を足すと、ちょうど180度になり、直線の性質とも一致します。
内角と外角はセットで考えると理解しやすいので、ぜひあわせて覚えておいてください。
八角形の内角の和と関連する多角形の内角の和一覧
続いては八角形以外の多角形についても、内角の和を一覧で確認していきます。
他の多角形と比較すると、八角形の内角の和がどのくらいの位置づけなのかがより実感しやすくなるでしょう。
五角形から七角形までの内角の和
五角形の内角の和は、公式に当てはめると180×3で540度になります。
六角形は180×4で720度、七角形は180×5で900度です。
辺が1本増えるごとに、内角の和がきっちり180度ずつ増えていくという規則性が見えてくるはずです。
九角形以降の内角の和
八角形の次にあたる九角形は、180×7の計算で1260度になります。
十角形であれば180×8で1440度です。
| 多角形の名前 | 辺の数（n） | 内角の和 | 正多角形の1つの内角 |
|---|---|---|---|
| 七角形 | 7 | 900度 | 約128.6度 |
| 八角形 | 8 | 1080度 | 135度 |
| 九角形 | 9 | 1260度 | 140度 |
| 十角形 | 10 | 1440度 | 144度 |
辺の数が増えれば増えるほど、内角の和もどんどん大きくなっていくことが表からも読み取れるでしょう。
内角の和が増える理由
なぜ辺が増えるたびに内角の和が180度ずつ増えるのでしょうか。
その理由は、辺が1本増えるごとに、分割できる三角形の数も1個ずつ増えていくからです。
三角形が1個増えれば、内角の和も180度分だけ増加します。
この規則性を理解しておけば、八角形以外の多角形の問題が出題されても、慌てずに対応できるようになるでしょう。
公式を丸暗記するだけでなく、こうした背景まで押さえておくことが応用力につながります。
まとめ
今回は八角形の内角の和について、結論から求め方、公式、証明まで詳しく解説してきました。
結論として、八角形の内角の和は1080度であり、これは180×（8−2）という多角形の内角の和の公式から導かれる数値です。
求め方としては、対角線を使って三角形に分割する方法と、公式に数値を当てはめる方法の2種類がありました。
証明についても、三角形分割による方法と、外角の和である360度を利用する方法の両方を紹介しました。
さらに、正八角形であれば1つの内角が135度になることや、他の多角形との内角の和の比較もあわせて確認できたのではないでしょうか。
公式そのものを覚えるだけでなく、なぜその公式が成り立つのかという仕組みまで理解しておくことをおすすめします。
この記事が、八角形をはじめとした多角形の内角の和を学ぶ際のお役に立てば幸いです。
