算数や数学の授業で「八角形の立体」という言葉を耳にして、頭の中がこんがらがってしまった方は多いのではないでしょうか。
八角形はよく見かける図形ですが、それが立体になるとどんな形になるのか、意外とイメージしづらいものです。
実は八角形を使った代表的な立体には八角柱と八角錐という二つのタイプがあります。
この記事では、八角柱と八角錐の基本的な特徴から、展開図の書き方、体積や表面積の求め方まで、順を追って丁寧に解説していきます。
お子さんの宿題を手伝いたい保護者の方も、学び直しをしたい大人の方も、きっと理解が深まるはずです。
それでは早速、結論から見ていきましょう。
八角形の立体とは八角柱と八角錐のことです
それではまず、八角形の立体とは何かについて結論からお伝えしていきます。
八角形の立体と聞いて多くの人が思い浮かべるのは、底面が八角形になっている柱状の立体、つまり八角柱でしょう。
しかし、それだけではありません。
底面が八角形で頂点が一つにまとまった円錐のような形、つまり八角錐もまた立派な八角形の立体です。
八角形の立体は？八角柱と八角錐を解説！というタイトルの通り、この二つを押さえておけば、八角形に関する立体図形の問題はほとんど解決できます。
八角柱と八角錐が代表的な八角形の立体です
八角柱は、合同な二つの八角形を底面とし、その間を八つの長方形（または平行四辺形）でつないだ立体です。
一方の八角錐は、一つの八角形を底面とし、そこから一つの頂点に向かって八つの三角形が集まってできる立体になります。
どちらも「角柱」「角錐」というより大きなグループに属していて、底面の形が八角形であるという共通点を持っています。
身の回りにある鉛筆やビルの柱、テントの屋根などをイメージすると、意外と生活の中に八角形の立体が潜んでいることに気づくでしょう。
角柱と角錐の違いを先に押さえておきましょう
角柱と角錐の違いを理解しておくと、八角柱と八角錐の違いもぐっとつかみやすくなります。
角柱は底面が二つあり、それらが平行かつ合同で、側面がすべて長方形になっているのが特徴です。
対して角錐は底面が一つしかなく、側面はすべて三角形で、一点（頂点）に向かって集まる形をしています。
角柱の側面の数は底面の辺の数と同じです。
角錐の側面の数もまた底面の辺の数と同じになります。
つまり八角形が底面なら、側面の数はどちらも八つということです。
この対応関係を覚えておくだけで、面や辺、頂点の数を求める問題がぐっと解きやすくなるでしょう。
この記事で分かること
ここからの章では、八角形そのものの基礎知識に始まり、八角柱と八角錐それぞれの構造、展開図の書き方、体積や表面積の求め方まで詳しく解説していきます。
公式だけを丸暗記するのではなく、なぜその公式になるのかという理屈も併せて紹介していきます。
途中で表や強調ボックスも使いながら整理していきますので、最後まで読み進めていただければ、八角形の立体に関する疑問はすっきり解消されるはずです。
八角形そのものの基礎知識を確認しましょう
続いては、立体の話に入る前に八角形そのものの基礎知識を確認していきます。
八角形の性質を理解しておくことは、八角柱や八角錐の面積や体積を求める際の土台になります。
正八角形の内角と外角
八角形とは、その名の通り八つの辺と八つの頂点を持つ多角形のことです。
すべての辺の長さと角の大きさが等しい八角形は「正八角形」と呼ばれます。
多角形の内角の和は「180度×（頂点の数マイナス2）」という公式で求められることをご存じでしょうか。
八角形の内角の和は180度×（8－2）で計算します。
180度×6は1080度になります。
正八角形の場合、一つの内角は1080度を8で割った135度です。
外角についても、多角形の外角の和は常に360度になるという性質があります。
正八角形なら、360度を8で割って、一つの外角は45度と求められます。
八角形の辺と頂点の数
八角形には辺が八本、頂点が八つ存在します。
また、対角線の本数も気になるところではないでしょうか。
多角形の対角線の本数は「頂点の数×（頂点の数マイナス3）÷2」という公式で求められます。
八角形の対角線の本数は8×（8－3）÷2で計算します。
8×5は40になり、それを2で割ると20です。
したがって八角形には対角線が20本引けることになります。
正八角形は左右対称の軸を八本持っており、非常にバランスの取れた美しい図形といえるでしょう。
八角形と身近な建築物の関係
八角形は、実は私たちの身の回りに数多く存在しています。
代表的な例として、道路標識のストップサインは正八角形の形をしています。
お寺や神社の建築物、時計の文字盤のデザインなどにも八角形が採用されることが少なくありません。
| 身近な八角形の例 | 特徴 |
|---|---|
| ストップサイン | 正八角形で視認性が高い |
| 八角堂（寺院建築） | 立体的な八角柱の構造を持つ |
| 雪の結晶モチーフ | 六角形が多いが八角形デザインも存在 |
| ボルトのナット | 六角形が主流だが八角形の製品もある |
このように、平面の八角形だけでなく、それが立体化した八角柱や八角錐も建築デザインの中で活用されているのです。
八角柱の特徴と構造を解説していきます
続いては、八角柱の特徴と構造について確認していきます。
八角柱は角柱の仲間の中でも面の数が多く、やや複雑に見えるかもしれませんが、基本ルールは他の角柱とまったく同じです。
八角柱の面・辺・頂点の数
八角柱は、上下二つの底面と、八つの側面から成り立っています。
底面が二つで側面が八つですから、面の総数は10になります。
頂点の数は、上の底面に八つ、下の底面に八つで、合計16個です。
辺の数は、上の底面の辺が八本、下の底面の辺が八本、そして縦につながる辺が八本で、合計24本になります。
八角柱の面の数は10、辺の数は24、頂点の数は16です。
この数字はオイラーの多面体定理（頂点の数マイナス辺の数プラス面の数イコール2）でも確認できます。
16－24＋10を計算すると、きちんと2になることが分かるでしょう。
このように、面・辺・頂点の関係を数式で検算できる点も、立体図形を学ぶ面白さの一つといえます。
八角柱の種類（正八角柱・斜め八角柱）
八角柱にはいくつかの種類が存在します。
底面が正八角形で、側面がすべて底面に垂直な長方形になっているものは「正八角柱」と呼ばれます。
一方、側面が底面に対して斜めに傾いているものは「斜め八角柱」と呼ばれ、側面は平行四辺形になります。
学校のテストで出題されるのはほとんどが正八角柱ですが、まれに斜めのパターンも登場することがあるので注意が必要でしょう。
正八角柱かどうかを見分けるポイントは、底面と側面の辺が垂直に交わっているかどうかです。
八角柱が使われる身近な例
八角柱の形は、実生活の中でどのように活用されているのでしょうか。
鉛筆や一部の建築物の柱、装飾用のキャンドル、ランプシェードなどに八角柱の形が使われることがあります。
また、お城の天守閣や展望塔の一部にも、八角形の断面を持つ柱状の構造が採用されるケースがあります。
八角柱は円柱に近い安定感を持ちながら、平面的なデザイン性も兼ね備えているため、装飾建築との相性がよいのです。
八角錐の特徴と構造を解説していきます
続いては、八角錐の特徴と構造について確認していきます。
八角錐は八角柱とは異なり、底面が一つしかない点が最大の特徴です。
八角錐の面・辺・頂点の数
八角錐は、一つの底面と、八つの側面（三角形）から成り立っています。
面の総数は、底面一つと側面八つを合わせて9になります。
頂点の数は、底面の八つの頂点に加えて、先端の頂点（錐の先っぽ）が一つあるため、合計9個です。
辺の数は、底面の辺が八本、側面の斜辺（頂点から底面の各頂点へ伸びる辺）が八本で、合計16本になります。
八角錐の面の数は9、辺の数は16、頂点の数は9です。
オイラーの多面体定理で検算すると、9－16＋9はきちんと2になります。
八角柱と数字が入れ替わったように見えるのも面白いポイントでしょう。
この面白い対称性は、角柱と角錐の構造の違いを理解する上でとても分かりやすい手がかりになります。
正八角錐と斜め八角錐の違い
八角錐にも、正八角錐と斜め八角錐という区別があります。
正八角錐とは、底面が正八角形で、頂点が底面の中心の真上に位置している立体のことです。
頂点が中心の真上からずれている場合は、斜め八角錐と呼ばれ、側面の三角形の形が不揃いになります。
テストや教科書でよく登場するのは正八角錐で、こちらは側面の三角形がすべて合同な二等辺三角形になるのが特徴です。
八角錐が使われる身近な例
八角錐の形は、どのような場面で目にすることができるでしょうか。
テントの屋根、東屋（あずまや）の屋根、一部の照明器具のシェード、装飾用のオブジェなどに八角錐の形が用いられます。
寺院建築の屋根の頂上部分にも、八角錐に近い構造が採用されることがあり、日本の伝統建築とも深い関わりを持っています。
安定感のある底面と、視線を上に集める先細りの形状が、屋根やシェードのデザインに適しているのでしょう。
八角柱と八角錐の展開図の書き方をご紹介します
続いては、八角柱と八角錐の展開図の書き方を確認していきます。
展開図は立体を平面に開いた図のことで、テストでもよく出題される単元です。
八角柱の展開図の書き方
八角柱の展開図を書くときは、まず八つの長方形を横一列に並べて描きます。
これは、側面をぐるりと切り開いた部分にあたります。
そして、その上下どちらかの辺に、正八角形の底面を二つくっつければ完成です。
底面の八角形をつなげる位置は、側面の長方形のどこか一つの辺に接するように配置するのがポイントになります。
側面の長方形の横の長さは、底面の八角形の一辺の長さと一致させる必要があります。
この長さがずれてしまうと、組み立てたときに立体がきれいに閉じなくなってしまいます。
実際に紙で組み立ててみると、面のつながり方が視覚的に理解できるので、練習としてとてもおすすめです。
八角錐の展開図の書き方
八角錐の展開図は、まず中心に正八角形の底面を描くところから始めます。
そして、その八角形の各辺に、頂点で一点に集まる八つの二等辺三角形をくっつけていきます。
この形は、まるで花びらが八角形を取り囲んでいるような見た目になるでしょう。
八つの三角形の頂角（先端の角度）は、すべて等しくなるように描くのが正八角錐の展開図の条件です。
組み立てると、八つの三角形の先端がぴったり一点で重なり合い、円錐に近い先細りの立体が完成します。
展開図を書くときの注意点
展開図を書く際にもっとも大切なのは、辺の長さを正確にそろえることです。
底面の八角形の一辺の長さと、側面の長方形や三角形の底辺の長さが一致していないと、組み立てたときに隙間ができてしまいます。
また、正八角形は角度が均等でないと形が歪んでしまうため、内角135度を意識しながら定規と分度器を使って丁寧に描くことが重要でしょう。
展開図の作成でつまずきやすいのは、側面をいくつ並べればよいか分からなくなるケースです。
底面が八角形であれば、側面の数は必ず八つになるという原則を思い出せば、迷うことはありません。
この原則さえ覚えておけば、六角形や十角形など他の多角形の立体にも応用できるようになります。
八角柱と八角錐の体積と表面積の求め方を解説します
続いては、八角柱と八角錐の体積と表面積の求め方について確認していきます。
ここが八角形の立体を学ぶ上で、もっとも実用的で、テストにも頻出する内容になります。
正八角形の底面積の求め方
体積や表面積を求めるためには、まず底面となる正八角形の面積を求める必要があります。
正八角形は、正方形の四隅を切り落とした形と考えると理解しやすいでしょう。
一辺の長さをaとした場合、正八角形の面積を求める公式は次のようになります。
正八角形の面積は、2×（1＋ルート2）×aの2乗という式で計算できます。
例えば一辺が4センチメートルの正八角形であれば、2×（1＋1.41）×16という計算になります。
およそ2×2.41×16で、約77.1平方センチメートルという答えになります。
公式を丸暗記するのが難しい場合は、正八角形を一つの正方形と四つの直角二等辺三角形に分解して面積を足し合わせる方法もおすすめです。
八角柱の体積と表面積の公式
角柱の体積は、底面積に高さを掛けるだけで求められるというシンプルなルールがあります。
これは八角柱であっても変わりません。
| 項目 | 公式 |
|---|---|
| 体積 | 底面積×高さ |
| 表面積 | 底面積×2＋側面積 |
| 側面積 | 底面の周の長さ×高さ |
表面積を求める際は、上下二つの底面と、八つの側面すべての面積を足し合わせる必要があります。
底面積が77.1平方センチメートル、高さが10センチメートルの正八角柱を例に考えてみましょう。
体積は77.1×10で、約771立方センチメートルになります。
側面積は、底面の周の長さ（一辺4センチメートル×8で32センチメートル）に高さ10センチメートルを掛けて320平方センチメートルです。
表面積は底面積77.1×2に側面積320を足して、約474.2平方センチメートルとなります。
底面積さえ正しく求められれば、あとはかけ算と足し算だけで答えにたどり着けるでしょう。
八角錐の体積と表面積の公式
角錐の体積は、角柱の体積の3分の1になるという性質を持っています。
これは八角錐にも共通するルールです。
角錐の体積は「底面積×高さ×3分の1」という公式で求められます。
この「3分の1」を忘れてしまうミスは非常に多いので、必ず意識しておきましょう。
表面積については、底面積に八つの側面の三角形の面積の合計を足すことで求められます。
底面積が77.1平方センチメートル、高さが9センチメートルの正八角錐で考えてみます。
体積は77.1×9×3分の1で、231.3を3で割り、約77.1立方センチメートルになります。
偶然にも底面積と近い数字になりましたが、これはあくまでこの例における計算結果です。
側面の三角形の面積を求める際は、頂点から底辺までの高さ（斜高）が必要になるため、三平方の定理を使って求めるケースが多いでしょう。
斜高の計算はやや複雑になりますが、一つずつの三角形に分解して考えれば、決して難しいものではありません。
まとめ
今回は、八角形の立体は？八角柱と八角錐を解説！というテーマで、八角柱と八角錐の特徴、展開図、体積、表面積について詳しく解説してきました。
八角柱は底面が二つで側面が八つの長方形、八角錐は底面が一つで側面が八つの三角形という構造の違いをまず押さえることが大切です。
面や辺、頂点の数はオイラーの多面体定理で検算できるため、公式を覚えるだけでなく、数字の関係性を理解しておくと応用が利きやすくなります。
展開図では、側面の長方形や三角形の辺の長さを底面の八角形の一辺と一致させることが、きれいに組み立てるための最大のポイントでした。
体積や表面積の計算では、正八角形の底面積を正確に求めることがすべての土台になります。
角柱は「底面積×高さ」、角錐はそれに「3分の1」を掛けるという違いを忘れずに覚えておきましょう。
八角形の立体は、一見複雑に見えても、他の角柱・角錐と同じルールに沿って考えれば決して難しいものではありません。
ぜひこの記事を参考にしながら、実際に展開図を紙で作ってみたり、身の回りにある八角形の建築物を探してみたりして、理解をさらに深めてみてください。
