x^-1や1/xを微分するとき、符号や指数を間違えやすいと感じる方は少なくありません。
一見すると分数の計算に見えますが、べき乗の形へ直してから公式を使うと、考え方はとても整理しやすくなります。
この記事ではx^-1の微分結果をはじめ、べき乗の微分公式、1/x以外への応用、よくあるミスまで順番に解説します。
負の指数を含む式を確実に微分できる力を身につければ、数学の問題だけでなく、変化率を扱うさまざまな計算にも対応しやすくなるでしょう。
x^-1の微分結果と基本の考え方
それではまずx^-1の微分結果と、公式へ当てはめる考え方について解説していきます。
x^-1を微分した答え
x^-1をxで微分した結果は、-x^-2です。
分数の形に戻せば、-1/x²と表せます。
x^-1の微分
d/dx x^-1 ＝ -x^-2
つまり、d/dx 1/x ＝ -1/x²
ここで大切なのは、指数の-1に見えている符号だけを写すことではありません。
指数を前へ掛け、その指数を1だけ減らすというべき乗の微分公式の手順に従った結果として、負の符号と-2乗が現れます。
たとえばxが2から少し大きくなる場面を考えると、1/xの値は小さくなります。
そのため導関数が負になることも、グラフの変化と結び付けて理解できます。
べき乗の微分公式への代入
べき乗の微分では、xのn乗を微分するとn掛けるxのn-1乗になります。
nは正の整数に限らず、負の整数、分数、小数などにも広げて考えられます。
x^nを微分する公式
d/dx x^n ＝ n x^(n-1)
n ＝ -1を代入すると、-1 x^(-1-1) ＝ -x^-2
指数が負の場合でも、やること自体は正の指数の場合と変わりません。
指数を係数として前へ出すことと、元の指数から1を引くことを、必ず一組の操作として覚えるとよいでしょう。
x^-1では、-1から1を引くため、指数は-2になります。
この部分を-1のままにしてしまうと、誤った答えになってしまいます。
1/xとして考える場合
x^-1は1/xと同じ意味です。
したがって、問題に1/xと書かれていても、最初にx^-1へ書き換える方法が便利です。
分数をそのまま扱うより、指数の式に直した方が、べき乗の公式を一貫して使えるからです。
1/xを見たら、まずx^-1に置き換える習慣を付けましょう。
微分後は-x^-2となり、必要なら-1/x²へ戻します。
式の見た目が変わっても、値としては同じです。
ただしx＝0では1/xもx^-1も定義されません。
導関数-1/x²についても、x＝0を代入することはできないため、定義域から0を除く点は意識しておきましょう。
べき乗の微分公式と負の指数
続いてはべき乗の微分公式と、負の指数を扱う際の見方を確認していきます。
指数を一つ減らす理由
xのn乗を微分すると、n x^(n-1)になる公式は、単なる暗記項目ではありません。
xの値がわずかに変化したとき、式の値がどの程度変わるかを取り出した結果が導関数です。
整数の指数であれば、xを複数回掛けた式を展開して考えることで、係数nが現れる理由を確かめられます。
負の指数の場合は分数が含まれるため展開しにくく感じられますが、公式の対象から外れるわけではありません。
負の指数もべき乗の一種として扱うことが、理解をシンプルにする鍵です。
たとえばx^-3なら、係数に-3を出し、指数-3から1を引いて-4にします。
結果は-3x^-4であり、分数なら-3/x⁴です。
負の指数を分数へ戻す規則
負の指数には、x^-n ＝ 1/x^nという規則があります。
nが正の数なら、負の指数を持つ項は分母へ移すことで正の指数に書き換えられます。
| 指数の式 | 分数の式 | 微分後の式 |
|---|---|---|
| x^-1 | 1/x | -x^-2 ＝ -1/x² |
| x^-2 | 1/x² | -2x^-3 ＝ -2/x³ |
| x^-3 | 1/x³ | -3x^-4 ＝ -3/x⁴ |
| 5x^-4 | 5/x⁴ | -20x^-5 ＝ -20/x⁵ |
表を見ると、微分するたびに分母のxの指数が1ずつ大きくなることが分かります。
一方で係数には元の指数が掛かるため、符号も必ず確認する必要があります。
分数の分母を大きくする感覚だけで処理すると、係数を落とすことがあるため注意が必要です。
係数を含む式の処理
定数倍されたx^-1も、基本公式をそのまま利用できます。
たとえば7x^-1を微分する場合、7は定数なので前に残し、x^-1だけを微分します。
7x^-1の微分
d/dx 7x^-1 ＝ 7掛ける(-x^-2)
答えは-7x^-2 ＝ -7/x²
-4x^-2であれば、-4と-2を掛けるため、微分後の係数は8です。
負の係数と負の指数が重なると混乱しやすいところですが、係数と指数の符号を別々に確認すると落ち着いて計算できます。
途中式を一行省略しただけで符号ミスが増えることもあります。
特に学習の初期は、係数を掛ける段階を明確に書くことがおすすめです。
1/xの微分を分数のまま求める方法
続いては1/xの微分を分数の形で考える方法を確認していきます。
商の微分法による計算
1/xは、1をxで割った式と見ることができます。
分子をf、分母をgとしたときの商の微分法では、f/gの微分は、g fの微分からf gの微分を引き、その全体をg²で割る形になります。
1/xでは分子の1を微分すると0、分母のxを微分すると1です。
商の微分法で1/xを計算すると、分子はx掛ける0から1掛ける1を引いた値です。
したがって分子は-1、分母はx²となります。
答えは-1/x²です。
この方法でも、べき乗の公式で得た答えと一致します。
複数の方法で同じ結果になることを確認すると、公式への理解も深まるでしょう。
ただし1/xのような単純な式では、x^-1へ直して微分する方が手順は短くなります。
逆数のグラフとの関係
y＝1/xのグラフは、x＝0を境に二つの枝へ分かれる形です。
xが正の範囲では、右へ進むほどyの値が下がります。
xが負の範囲でも、右へ進むほど値は下がるため、導関数はどちらの範囲でも負です。
-1/x²ではx²が常に正となり、その前に負の符号が付いています。
このことから、xが0以外なら導関数は常に負になると判断できます。
計算結果の符号をグラフの増減と照らし合わせると、答えの見直しにも役立ちます。
もし1/xの微分結果を1/x²のように正と書いてしまうと、グラフが増加するという意味になり、実際の形と合いません。
定義されない点への注意
1/xはx＝0で定義されない関数です。
0で割ることができないため、元の関数のグラフにはx＝0で切れ目があります。
微分は関数が定義されている点を対象に考えるため、x＝0における微分係数を求めることもできません。
これは計算上の例外というより、関数そのものの性質です。
問題文でxの範囲が指定されている場合は、その範囲に0が含まれるかを確認しましょう。
とくに分母に文字式がある関数では、分母が0になる値を先に除外する姿勢が重要です。
たとえば1/(x-2)なら、x＝2が定義されない点になります。
導関数の公式と関連する計算例
続いては導関数の公式と、x^-1から広げられる計算例を確認していきます。
定数と和差の微分
微分では、定数だけでできた項の微分は0になります。
また、足し算や引き算でつながれた式は、それぞれの項を分けて微分できます。
たとえばx²＋x^-1＋3という式なら、x²、x^-1、3を順に微分します。
y ＝ x²＋x^-1＋3
y’ ＝ 2x－x^-2＋0
分数で書くと、y’ ＝ 2x－1/x²
定数項をそのまま残してしまう誤りはよく見られます。
一方でxを含む項は、指数が負であっても0にはなりません。
文字を含むかどうかを最初に見分ければ、定数の扱いで迷いにくくなります。
合成関数への広がり
分母がxではなく、xの式になっている場合には、合成関数の考え方が必要です。
たとえば1/(x＋3)は、(x＋3)^-1と書けます。
外側の-1乗を微分した後、内側のx＋3の微分も掛けます。
x＋3の微分は1なので、この例の答えは-1/(x＋3)²です。
次に1/(2x－1)を考えると、内側2x－1の微分は2です。
1/(2x－1) ＝ (2x－1)^-1
外側を微分すると-(2x－1)^-2になります。
さらに内側の微分2を掛けるため、答えは-2/(2x－1)²です。
内側の微分を掛け忘れると、係数2が不足します。
分母の中にx以外の式が入る場合は、外側と内側の二段階で考えましょう。
積を含む式の計算
xと1/xが掛け合わされた式では、先に式を簡単にできるか確認するのが有効です。
たとえばx掛けるx^-1はx^0となり、xが0以外なら1です。
その微分は0になります。
積の微分法を使っても同じ答えになりますが、整理してから微分すれば計算量を減らせます。
一方でx²掛けるx^-1はxとなるため、微分結果は1です。
指数法則では、同じ底の掛け算なら指数を足します。
x²掛けるx^-1は、2と-1を足してx¹となります。
このように微分前の式変形が、計算ミスの防止につながる場面も多くあります。
計算ミスを防ぐ確認ポイント
続いてはx^-1や1/xを微分するときの、計算ミスを防ぐ確認ポイントを確認していきます。
負の符号を落とす誤り
x^-1の微分をx^-2と書いてしまう誤りは、もっとも注意したい例です。
指数-1が微分時の係数になるため、答えには必ず負の符号が付きます。
微分後の式を-1/x²へ戻してみると、符号の有無を視覚的に確認しやすくなります。
1/xは正の範囲で減少する関数です。
その事実を思い出せば、導関数が正になっている答えに違和感を持てるでしょう。
計算だけで終えず、増加か減少かという意味まで確認することが有効です。
指数を-2にしない誤り
微分後の指数を-1のままにしたり、0としてしまったりするケースもあります。
べき乗の微分では、元の指数nから1を引くことが原則です。
-1から1を引くと-2です。
| 元の指数 | 前へ出す係数 | 新しい指数 |
|---|---|---|
| 3 | 3 | 2 |
| 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | -1 |
| -1 | -1 | -2 |
| -4 | -4 | -5 |
正の指数と同じ規則が、負の指数にもそのまま続いていることが分かります。
指数の符号に惑わされず、1を引くという操作を守りましょう。
答えの表し方を統一する工夫
-x^-2と-1/x²は同じ値ですが、問題によって見やすい表し方は異なります。
べき乗の公式を使った直後なら-x^-2、分数式として整理するなら-1/x²が自然でしょう。
途中式と最終答案で表記を変えること自体は問題ありません。
ただし-x^-2を、(-x)^-2と取り違えないよう注意が必要です。
(-x)^-2は1/x²となり、負の符号が消えてしまいます。
負号がどこに掛かっているのかを明確にするため、最終的には-1/x²と書く方法も安心です。
括弧の位置ひとつで値が変わるため、丁寧な記号の扱いが求められます。
x^-1の微分のまとめ
x^-1を微分すると、答えは-x^-2です。
分数の形では、-1/x²と書けます。
基本となるのは、xのn乗を微分するとn x^(n-1)になるべき乗の微分公式です。
x^-1では指数-1を係数として前へ出し、指数から1を引くため-2乗になります。
1/xとして出題された場合も、x^-1へ書き換えれば同じ手順で計算できます。
分母が2x－1やx＋3のような式になる場合は、内側の式も微分して掛けることを忘れないようにしましょう。
また、x＝0では1/xが定義されない点、負の符号を落としやすい点、指数を正しく1減らす点も重要です。
公式、符号、指数、定義域の四つを確認する習慣を付けることで、x^-1を含む微分計算を安定して解けるようになるでしょう。
