x^-2の微分の証明は？途中式や公式の導き方も！（商の微分・極限による定義・べき乗の微分公式など）
x^-2を微分するとどうなるのか、公式だけでなく途中式まで理解したい人は多いでしょう。
負の指数が付くと難しく見えますが、逆数として考える方法、極限の定義から考える方法、べき乗の公式として整理する方法をつなげると、計算の意味がはっきり見えてきます。
x^-2の微分結果と基本の考え方
それではまずx^-2の微分結果と、答えに至る基本の考え方について解説していきます。
x^-2を微分した答え
x^-2の微分結果は、-2x^-3です。
指数を一つ前に出し、指数を一つ減らすというべき乗の微分公式に当てはめれば、短く計算できます。
d／dx x^-2 ＝ -2x^(-2-1) ＝ -2x^-3
負の指数を含んでいても、指数が定数である限り、基本的な考え方はx^2やx^5の場合と変わりません。
ただし、x^-2はx＝0で定義されないため、微分を考える範囲もxが0ではない部分になります。
負の指数を逆数に直す見方
x^-2は、分数の形にすると1／x^2です。
この見方を使うと、負の指数は特別な記号ではなく、分母にあるべき乗を表す記号だと理解しやすくなります。
x^-2 ＝ 1／x^2です。
したがってx^-2の微分は、1／x^2を微分する問題としても扱えます。
分母にxの二乗がある関数は、xが大きくなるほど値が小さくなります。
そのため微分係数にも負の符号が現れ、xの増加に対して関数値が減少する様子が式から読み取れます。
指数が一つ減る理由
べき乗の微分では、x^nを微分するとnx^(n-1)になります。
指数のnが-2なら、前に出る係数は-2、残る指数は-3です。
ここで指数を減らすとは、数として小さくすることを意味します。
-2から一つ減らすと-1ではなく-3になる点は、符号を見落としやすい部分でしょう。
| 元の関数 | 前に出る係数 | 新しい指数 | 微分結果 |
|---|---|---|---|
| x^3 | 3 | 2 | 3x^2 |
| x | 1 | 0 | 1 |
| x^-1 | -1 | -2 | -x^-2 |
| x^-2 | -2 | -3 | -2x^-3 |
整数の正負に関係なく、同じ規則が働いていることを確認しておきましょう。
べき乗の微分公式と負の整数指数
続いてはべき乗の微分公式と、負の整数指数への当てはめを確認していきます。
べき乗の微分公式の内容
べき乗の微分公式は、x^nを微分するとnx^(n-1)になるというものです。
nには正の整数だけでなく、負の整数や分数も入れられます。
x^-2であればnを-2に置き換えるだけなので、公式の対象外ではありません。
f(x) ＝ x^n
f'(x) ＝ nx^(n-1)
n ＝ -2を代入するとf'(x) ＝ -2x^-3です。
公式を暗記する際は、指数を係数として前へ掛けることと、元の指数から1を引くことを別々に確認すると、途中式の誤りを防げます。
負の指数で起こりやすい計算ミス
よくある誤りは、x^-2を微分して-2x^-1と書くケースです。
これは指数を一つ増やしてしまっているため、正しくありません。
また、-2x^-3を2x^-3としてしまうと、増減の方向まで変わってしまいます。
負の符号は係数-2の一部として扱い、途中で消えないように注意が必要です。
| 計算内容 | 正しい結果 | 誤りの例 |
|---|---|---|
| x^-2を微分 | -2x^-3 | -2x^-1 |
| x^-1を微分 | -x^-2 | x^-2 |
| 3x^-2を微分 | -6x^-3 | -3x^-3 |
係数がある場合には、係数と指数から生まれる係数を掛け合わせます。
xの値を入れて確かめる方法
微分結果の符号や大きさに不安があるときは、xに具体的な値を入れて関数の変化を観察すると役立ちます。
たとえばxが1から少し増えると、1／x^2は1より小さくなります。
微分係数がx＝1で-2になることは、関数がその付近で下向きに変化していることと整合します。
x＝1のとき、x^-2 ＝ 1です。
微分結果-2x^-3にx＝1を入れると-2になります。
接線の傾きが負になるため、右へ進むほど関数値が下がることを表します。
公式だけを追うより、グラフの形と結び付けることで、負の指数の微分が記憶に残りやすくなるでしょう。
商の微分による途中式
続いては商の微分による途中式を確認していきます。
1／x^2への書き換え
x^-2は1／x^2と書けるため、分子を1、分母をx^2とする商として微分できます。
商の微分公式では、分子をu、分母をvとしたとき、u／vの微分はu’vからuv’を引き、それをv^2で割ります。
この方法は計算量が少し増えますが、負の指数の公式を使わずに証明の流れを追える点が利点です。
商の微分公式への代入
uを1、vをx^2とします。
u’は0であり、v’は2xです。
d／dx 1／x^2 ＝ ｛0・x^2 － 1・2x｝／(x^2)^2
＝ -2x／x^4
＝ -2／x^3
＝ -2x^-3
分子にあるxと分母のx^4を約分すると、1／x^3になります。
ここでx＝0では約分も元の関数の定義も成り立たないため、xが0でない条件を保ったまま扱います。
商の微分で理解する符号
分子が定数1なら、その微分は0です。
商の公式では分子側の項が0になり、残るのは分母の微分に負の符号を付けた項になります。
この構造が、逆数の微分で負の符号が生じる理由です。
分母が増加すると、分子が一定の分数全体は小さくなります。
商の微分で現れる負の符号は、この直感とも一致します。
x^2はxが正の範囲で増える関数なので、1／x^2は減少します。
式の操作とグラフの変化を同時に確認すると、商の微分を機械的に使うだけの状態から抜け出せます。
極限による定義からの証明
続いては極限による定義からの証明を確認していきます。
微分係数の定義
微分は、xをわずかにhだけ動かしたときの平均変化率を、hが0に近づく極限として捉える考え方です。
関数f(x)の導関数は、f(x+h)からf(x)を引き、その差をhで割った式の極限で定義されます。
x^-2の場合は、差分を一つの分数にまとめる操作が証明の中心になります。
差分商の整理
f(x)を1／x^2と置くと、f(x+h)は1／(x+h)^2です。
そのため差分商は、1／hに1／(x+h)^2から1／x^2を引いた形になります。
｛1／(x+h)^2 － 1／x^2｝／h
＝ ｛x^2 － (x+h)^2｝／｛h x^2 (x+h)^2｝
＝ ｛x^2 － x^2 － 2xh － h^2｝／｛h x^2 (x+h)^2｝
＝ ｛-2xh － h^2｝／｛h x^2 (x+h)^2｝
分子にはhが共通して含まれます。
hをくくり出せる形まで展開することが、極限を求めるための大切な準備です。
hを約分した後の極限
分子の-2xh-h^2は、-h(2x+h)と因数分解できます。
hが0ではない範囲で約分した後、hを0へ近づけます。
｛-h(2x+h)｝／｛h x^2 (x+h)^2｝
＝ -(2x+h)／｛x^2 (x+h)^2｝
hが0へ近づくと、-2x／x^4 ＝ -2／x^3になります。
よって導関数は-2x^-3です。
この証明では、hをいきなり0に代入しないことが重要になります。
最初にhを0とすると0で割る形になってしまうため、約分できる形にしてから極限を取るという順序を守りましょう。
べき乗の微分公式の導き方
続いてはべき乗の微分公式の導き方を確認していきます。
正の整数指数から始める流れ
べき乗の微分公式は、まずx^nでnが正の整数の場合に二項展開を使って導けます。
(x+h)^nを展開すると、先頭はx^nであり、その次にnx^(n-1)hが続きます。
差分を取るとx^nが消え、hで割った後に残る中心項がnx^(n-1)です。
残りの項にはhが含まれるため、hを0へ近づけると0になります。
この仕組みが、指数を前に出して一つ減らすという規則の出発点です。
負の整数指数へ広げる考え方
負の整数指数は、正の指数の逆数として扱えます。
x^-nは1／x^nなので、商の微分や逆数の微分を利用すれば求められます。
正の整数nについてx^nの微分がnx^(n-1)だと分かっているなら、1／x^nを微分して-nx^(-n-1)が得られます。
ここから、べき乗の公式は負の整数にも自然につながると分かります。
| 指数の種類 | 考え方 | 微分公式 |
|---|---|---|
| 正の整数 | 二項展開と極限 | nx^(n-1) |
| 負の整数 | 逆数と商の微分 | nx^(n-1) |
| 分数 | 累乗関係と極限 | nx^(n-1) |
見た目の違う指数でも、最終的には同じ形式へまとまる点が微分公式の強みです。
公式を使う範囲と条件
x^-2ではxが0でないことが前提です。
導関数-2x^-3もx＝0では定義されません。
また、負の指数を含む式では、関数そのものの定義域を確かめる習慣が大切になります。
微分公式を正しく使えても、定義されない値を含めると答えとして不十分になることがあります。
試験問題やレポートでは、必要に応じてx≠0と添えると、式の意味がより明確になるでしょう。
応用問題と計算の確認方法
続いては応用問題と計算の確認方法を確認していきます。
係数が付く場合の微分
3x^-2のように定数の係数が付く場合は、定数倍の微分法を使います。
まずx^-2を微分して-2x^-3とし、それに3を掛ける流れです。
d／dx 3x^-2 ＝ 3・(-2x^-3) ＝ -6x^-3
係数と指数を混同せず、係数は最後まで掛けたままにすると整理しやすくなります。
特に-4x^-2のように元から負の係数がある場合は、負と負で正になる点にも注意が必要です。
和と差を含む式の微分
x^-2+5x^-1-7のような式では、各項を別々に微分します。
定数-7の微分は0なので、結果には残りません。
d／dx ｛x^-2+5x^-1-7｝
＝ -2x^-3-5x^-2
x^-1の微分は-x^-2です。
5x^-1の微分では5を掛けるため、-5x^-2になります。
項ごとに指数と係数を確認することで、複雑に見える式も安定して計算できます。
グラフと増減による答え合わせ
x^-2はx＝0を境に左右へ枝分かれするグラフになります。
xが正の範囲では右へ進むにつれて値が減り、微分係数は負です。
xが負の範囲ではx^-2の値は正ですが、導関数-2x^-3は正になります。
これは負のxが0に近づくにつれて1／x^2が大きくなるためです。
関数値が正かどうかと、微分係数が正か負かは別の情報です。
x^-2は常に正ですが、xの正負によって増減の向きは変わります。
式の符号だけで迷ったときは、x＝1とx＝-1を代入して傾きを確認すると理解が深まります。
まとめ
x^-2の微分は-2x^-3です。
べき乗の微分公式x^nから求めるなら、nに-2を入れて指数を一つ減らします。
商の微分ではx^-2を1／x^2と書き換え、分母を微分する項から負の符号が現れることを確認できます。
極限による定義では差分商を整理し、hを約分してからhを0へ近づけることで、同じ結果が得られます。
公式、商の微分、極限の定義は別々の解法ではなく、同じ微分の考え方を異なる角度から見たものです。
x≠0という定義域にも気を配りながら、途中式を省略せずに練習していきましょう。
