三角関数の学習を進めていくと、必ずといっていいほど登場するのが3倍角の公式です。
とくにsin3θという式を目にしたとき、どこから手をつければいいのか迷ってしまう方は多いのではないでしょうか。
今回は「sin3θとは？3倍角の公式と導き方も！」というテーマで、sin3θの意味から3倍角公式の証明、加法定理を使った導き方、さらには具体的な計算方法まで、順を追って丁寧に解説していきます。
3sinθ－4sin³θという式がなぜ成り立つのか、その仕組みを理解すれば、公式を丸暗記する必要はなくなります。
共起語となるcos3θやtan3θとの関係にも触れながら、テストや入試で実際に使える形で知識を整理していきましょう。
数学が苦手な方にもわかりやすいように、数式にはできるだけ具体例を添えて説明していきます。
結論、sin3θは3sinθ－4sin³θという3倍角の公式で表されます
それではまず、sin3θとは何かについて結論から解説していきます。
sin3θが表す意味
sin3θとは、角度θの3倍にあたる角3θに対するサインの値を表したものです。
一見するとsinθの値を3倍しているように見えますが、実際はまったく異なる計算になります。
3θという角度そのものに対するサインの値を、θだけを使った式に変形したものがsin3θの公式です。
3倍角公式の全体像
この値は、θそのものだけを使った式に変形することができ、その結果得られるのが有名な3倍角の公式です。
sin3θ＝3sinθ－4sin³θ
この式さえ覚えてしまえば、θの値がわかっている場合にsin3θの値を直接計算することが可能になります。
たとえばθ＝30度のとき、sin30度は2分の1なので、この式に代入するだけでsin90度の値を求めることができます。
この公式を使う場面
3倍角の公式は、加法定理と2倍角の公式を組み合わせることで導き出せるという点が最大のポイントです。
なぜこの式になるのか、その理由を知らないまま暗記するだけでは、応用問題でつまずいてしまうことも少なくありません。
入試問題や定期テストでは、方程式を解く場面や、値を求めさせる場面で頻繁に登場します。
次の見出し以降では、この公式がどのように成り立っているのか、順番に掘り下げていきます。
続いては3倍角の公式とは何かを確認していきます
続いては3倍角の公式とは何かを確認していきます。
3倍角公式の種類
3倍角の公式には、sin、cos、tanのそれぞれに対応する式が存在します。
どれも角度を3倍にした三角関数の値を、元の角度θだけの式で表現するためのものです。
覚える式が3つもあると聞くと身構えてしまうかもしれませんが、成り立ちを理解すれば決して難しくはありません。
sin cos tanそれぞれの3倍角公式
まずは代表的な3つの式を一覧で確認してみましょう。
| 三角関数 | 3倍角の公式 |
|---|---|
| sin3θ | 3sinθ－4sin³θ |
| cos3θ | 4cos³θ－3cosθ |
| tan3θ | （3tanθ－tan³θ）／（1－3tan²θ） |
このように、sinとcosの3倍角公式はどちらも3乗の項が中心となる点が共通しています。
符号がプラスかマイナスかという違いはありますが、形自体はよく似ているのではないでしょうか。
2倍角の公式との違い
2倍角の公式はsin2θ＝2sinθcosθのように、比較的シンプルな形をしています。
一方で3倍角の公式は3乗の項が登場するため、初めて見たときには複雑に感じる方も多いはずです。
ただし、2倍角の公式を土台にして導かれているという事実を知れば、決して唐突な式ではないと納得できるでしょう。
続いては加法定理を使った3倍角公式の導き方を確認していきます
続いては加法定理を使った3倍角公式の導き方を確認していきます。
加法定理の基本
3倍角の公式を導くうえで欠かせないのが、サインの加法定理です。
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
この式は、2つの角度を足し合わせたときのサインの値を表す基本公式です。
3倍角の公式は、この加法定理をうまく利用することで導き出すことができます。
sin3θをsin(2θ＋θ)として展開する
3θという角度は、2θとθを足し合わせたものと考えることができます。
そこで、sin3θをsin(2θ＋θ)と書き換えて、加法定理を適用してみましょう。
sin3θ＝sin(2θ＋θ)＝sin2θcosθ＋cos2θsinθ
ここまでの変形で、sin2θとcos2θという2倍角の値が式の中に登場しました。
あとはこの2倍角部分を、θだけを使った式に置き換えていく作業に進みます。
2倍角の公式を代入して整理する
2倍角の公式であるsin2θ＝2sinθcosθと、cos2θ＝1－2sin²θを思い出してみましょう。
この2つを先ほどの式に代入すると、次のようになります。
sin3θ＝2sinθcosθ×cosθ＋（1－2sin²θ）×sinθ
この時点ではまだcosθが含まれているため、θだけの式にはなっていません。
次の見出しでは、この式をどのように整理していくのか、詳しく見ていきます。
続いては3sinθ－4sin³θの証明の流れを確認していきます
続いては3sinθ－4sin³θの証明の流れを確認していきます。
展開した式をθだけの式にする
先ほど導いた式を展開すると、次のような形になります。
sin3θ＝2sinθcos²θ＋sinθ－2sin³θ
ここでもまだcos²θという項が残っているため、これをsinθだけの形に変換する必要があります。
そこで利用するのが、三角関数の最も基本的な関係式です。
sin²θ＋cos²θ＝1を使った変形
三角関数の相互関係であるsin²θ＋cos²θ＝1を使うと、cos²θ＝1－sin²θと書き換えることができます。
この置き換えこそが、3倍角公式を導くうえでの最大のカギとなります。
この関係式を先ほどの式に代入してみましょう。
sin3θ＝2sinθ（1－sin²θ）＋sinθ－2sin³θ
これでようやく、式の中にcosθが残らない状態まで整理できました。
最終形に整理するまでの計算
あとはこの式を丁寧に展開し、同類項をまとめていくだけです。
sin3θ＝2sinθ－2sin³θ＋sinθ－2sin³θ＝3sinθ－4sin³θ
こうして、冒頭で紹介したsin3θ＝3sinθ－4sin³θという式が完成しました。
途中式を一つずつ追っていけば、決して魔法のような変形ではないとわかっていただけるはずです。
証明の流れをノートに自分の手で書き写してみると、記憶への定着がぐっと深まるでしょう。
続いては3倍角公式の計算方法と使い方を確認していきます
続いては3倍角公式の計算方法と使い方を確認していきます。
具体的な角度での計算例
公式の使い方を理解するために、実際の角度を代入して計算してみましょう。
たとえばθ＝10度としたとき、sin30度の値を3倍角公式から求めることができます。
sin30度＝3sin10度－4sin³10度
この例はθの値が有名角ではないため、電卓を使わないと具体的な数値までは出せません。
反対に、θ＝20度としてsin60度を求める計算では、両辺の値がどちらも既知の値になるため、公式が正しいことを確認する練習に向いています。
公式を使うときの注意点
3倍角の公式を使ううえで注意したいのが、符号のミスです。
4sin³θの前がマイナスであることを忘れて、プラスのまま計算してしまう方が意外と多く見られます。
符号を一つ間違えるだけで答えが大きく変わってしまうため、計算のたびに符号を確認する癖をつけておきましょう。
また、sin³θはsinθを3乗した値であり、sin(3θ)とは別物である点にも注意が必要です。
覚え方のコツ
公式をそのまま丸暗記しようとすると、時間が経つにつれて記憶があいまいになってしまいがちです。
そこでおすすめなのが、係数の3と4、そしてsinの1乗と3乗という組み合わせを語呂のようにセットで覚える方法です。
さらに、加法定理からの導出過程を一度自分の手で再現しておけば、公式を忘れてしまってもその場で再導出することが可能になります。
覚えることと導けることの両方を身につけておくと、応用問題への対応力が格段に上がるでしょう。
続いてはcos3θやtan3θとの関係を確認していきます
続いてはcos3θやtan3θとの関係を確認していきます。
cos3θの3倍角公式
cos3θについても、sin3θと同じように加法定理から導くことができます。
cos3θ＝4cos³θ－3cosθ
sin3θの式とは符号の並びが逆になっている点が、大きな特徴といえるでしょう。
導出の流れ自体はsin3θの場合とほとんど同じで、cos(2θ＋θ)として展開していきます。
tan3θの3倍角公式
tan3θは、sin3θとcos3θの式を組み合わせることで導くことができます。
tan3θ＝（3tanθ－tan³θ）／（1－3tan²θ）
分母に3tan²θが含まれているため、この式はsinやcosの3倍角公式と比べてやや複雑に見えるかもしれません。
ただし、tanθ＝sinθ／cosθという関係を使えば、sin3θとcos3θの式から機械的に導き出すことができます。
sin3θとの使い分け
3つの3倍角公式は、それぞれ問題の条件によって使い分ける必要があります。
| 与えられる条件 | 使うべき公式 |
|---|---|
| sinθの値がわかっている | sin3θ＝3sinθ－4sin³θ |
| cosθの値がわかっている | cos3θ＝4cos³θ－3cosθ |
| tanθの値がわかっている | tan3θの公式 |
問題文にどの三角関数の値が与えられているかを確認してから、対応する公式を選ぶようにしましょう。
この使い分けができるようになると、複雑に見える問題でもスムーズに解答へたどり着けるはずです。
まとめ
今回は「sin3θとは？3倍角の公式と導き方も！」というテーマで解説してきました。
sin3θは3sinθ－4sin³θという3倍角の公式で表され、この式は加法定理と2倍角の公式、そして三角関数の相互関係を組み合わせることで導かれます。
証明の流れを一度自分の手で追っておけば、公式を単なる暗記事項として終わらせずに済むでしょう。
あわせてcos3θやtan3θとの関係、それぞれの公式の使い分け方についても紹介してきました。
符号のミスや3乗の扱いには十分注意しながら、繰り返し計算練習を重ねていきましょう。
今回の内容が、3倍角の公式を理解するうえでの助けになれば幸いです。
