正方形の対角線の長さを求める公式は、数学の中でも特に覚えやすくよく使われるもののひとつです。
一辺×√2というシンプルな公式が成立する理由を理解しておくと、応用問題にも自信を持って対応できます。
「なぜ√2倍になるの？」「面積から対角線を逆算するにはどうすればいいの？」という疑問を持つ方も多いでしょう。
この記事では、正方形の対角線の公式・三平方の定理による導出・面積からの逆算・応用計算まで詳しく解説していきます。
正方形の対角線の公式：一辺×√2
それではまず、正方形の対角線の基本公式とその導出原理を解説していきます。
基本公式
正方形の一辺の長さをaとしたとき、対角線の長さdは次の公式で求めます。
d＝a√2（一辺×√2）
例：一辺3cmの正方形の対角線
d＝3×√2＝3√2≒4.24cm
例：一辺5cmの正方形の対角線
d＝5√2≒7.07cm
√2≒1.414と覚えておくと、暗算でも素早く対角線の近似値が出せます。
三平方の定理による導出
対角線の公式は三平方の定理から導かれます。
正方形の対角線は直角をはさむ2辺（どちらもa）の斜辺にあたります。
三平方の定理：d²＝a²＋a²＝2a²
よってd＝√(2a²)＝a√2
正方形の対角線と2辺が作る直角二等辺三角形は、辺の比が1:1:√2という基本的な特殊三角形です。
この1:1:√2という比は45°-45°-90°の直角二等辺三角形の辺の比として広く使われるため、しっかり覚えておきましょう。
正方形の対角線の特別な性質
正方形の2本の対角線には次の4つの性質があります。
正方形の対角線の4つの性質
①2本の対角線の長さが等しい（d₁＝d₂）
②互いに他方を二等分する（交点が中点になる）
③垂直に交わる（90°で交わる）
④互いを垂直二等分する（交点で垂直に二等分）
これら4つの性質をすべて満たす四角形は正方形だけであり、逆に四角形の対角線がこれらを満たすことを示すことで正方形を証明できます。
面積から対角線を逆算する方法
続いては、正方形の面積から対角線の長さを逆算する方法を確認していきます。
面積から一辺・対角線を求める手順
正方形の面積Sから対角線dを求めるには次の手順を使います。
面積S＝a² → 一辺a＝√S
対角線d＝a√2＝√S×√2＝√(2S)
例：面積25cm²の正方形の対角線
a＝5cm、d＝5√2≒7.07cm
例：面積50cm²の正方形の対角線
d＝√(2×50)＝√100＝10cm
面積が整数でない場合でも√(2S)の形でそのまま表現できるため、無理数のまま扱うことを恐れないことが大切です。
対角線の長さから面積・一辺を求める逆算
対角線の長さdから一辺aと面積Sを逆算することもよく求められます。
d＝a√2より a＝d/√2＝d√2/2
面積S＝a²＝(d/√2)²＝d²/2
例：対角線d＝6cmの正方形の面積
S＝6²/2＝36/2＝18cm²
対角線から面積を求める公式S＝d²/2は、ひし形の面積公式（対角線×対角線÷2）の特殊ケースとして理解できます。
√2の近似値の使い方
計算問題で近似値が必要な場合は√2≒1.414を使います。
| 一辺a | 対角線d（exact） | 対角線d（近似） |
|---|---|---|
| 1cm | √2 cm | ≒1.41cm |
| 5cm | 5√2 cm | ≒7.07cm |
| 10cm | 10√2 cm | ≒14.14cm |
| √2 cm | 2cm | 2cm（ぴったり） |
一辺が√2のときに対角線がちょうど2になることは、試験でよく使う計算パターンです。
応用問題と対角線を使った計算
続いては、正方形の対角線を使った応用的な計算問題を確認していきます。
正方形の対角線と内接円・外接円
正方形の外接円の半径Rは対角線の半分です。
外接円の半径：R＝d/2＝a√2/2
内接円の半径：r＝a/2
外接円と内接円の半径の比：R:r＝√2:1
外接円の直径が対角線の長さに等しいという関係は、正方形の対角線は外接円の直径であることを示しています。
折り紙・工作への応用
正方形の紙を対角線で折ったときに生じる直角二等辺三角形の斜辺は、元の正方形の一辺に等しくなります。
折り紙や建築・デザインの世界で正方形の対角線は45°の方向への寸法設計によく使われます。
床タイルを斜めに貼る場合、タイル1枚の対角線の長さが実際の目地幅の計算に必要になります。
入試頻出の正方形対角線問題
入試では「正方形の対角線が与えられて面積を求める」「面積から対角線を求める」という問題が繰り返し出題されます。
d＝a√2とS＝d²/2の2つの式をセットで完全に使いこなせるよう、計算練習を積み重ねておきましょう。
まとめ
正方形の対角線の長さはd＝a√2（一辺の√2倍）であり、三平方の定理から導かれます。
面積から対角線を求めるにはd＝√(2S)、対角線から面積を求めるにはS＝d²/2という公式を使います。
正方形の対角線は等長・垂直・互いに二等分という4つの性質を持ち、これらを使った証明問題にも積極的に取り組んでおくとよいでしょう。
