離心率の公式は？楕円での求め方と計算方法も！（e=c/a：焦点距離：長半径：短半径：計算式：導出など）というテーマでは、楕円の形を表す離心率をどのように計算するのかを理解することが大切です。
離心率は、楕円が円に近いのか、それとも細長いのかを数値で示す指標です。
楕円では、中心から焦点までの距離、長半径、短半径を使って離心率を求めます。
代表的な公式はe＝c÷aで、ここでeは離心率、cは中心から焦点までの距離、aは長半径を表します。
また、長半径aと短半径bがわかっている場合は、cを求めてから離心率を計算できます。
ここでは、楕円の離心率の公式と求め方を、計算例や導出の考え方を交えながらわかりやすく解説していきます。
楕円の離心率の公式はe＝c÷aで求める
それではまず、楕円の離心率の公式はe＝c÷aで求めるという結論について解説していきます。
楕円の離心率は、中心から焦点までの距離を長半径で割った値です。
この値によって、楕円が円に近いか細長いかを判断できます。
楕円の場合、離心率は必ず〇以上一未満の範囲に入ります。
公式に出てくるeとcとaの意味
離心率の公式では、e、c、aという記号がよく使われます。
eは離心率、cは楕円の中心から焦点までの距離、aは長半径です。
長半径とは、楕円の中心から最も遠い端までの距離を意味します。
楕円が横長の場合、横方向の半径が長半径になります。
焦点は楕円の内部にある二つの特別な点で、楕円の形を決める重要な要素です。
e＝c÷aが意味していること
e＝c÷aという式は、焦点が中心からどれくらい離れているかを、長半径に対する割合で表しています。
焦点が中心に近ければcは小さくなり、離心率も小さくなります。
この場合、楕円は円に近い形です。
反対に、焦点が中心から大きく離れるとcが大きくなり、離心率も大きくなります。
この場合、楕円は細長い形になります。
楕円では離心率が一未満になる
楕円では、焦点は楕円の内部にあります。
そのため、中心から焦点までの距離cは、長半径aより小さくなります。
つまり、c÷aの値は一より小さくなります。
円の場合は焦点が中心に重なるためc＝0となり、離心率は0です。
楕円が細長くなるほどcはaに近づき、離心率は一に近づいていきます。
楕円の離心率の基本公式は、e＝c÷aです。
eは離心率、cは中心から焦点までの距離、aは長半径を表します。
続いては長半径と短半径から離心率を求める方法を確認していきます
続いては、長半径と短半径から離心率を求める方法を確認していきます。
実際の問題では、焦点距離cが直接与えられていないことがあります。
その場合は、長半径aと短半径bからcを求め、そこから離心率を計算します。
焦点距離cはaとbから求められる
楕円では、長半径a、短半径b、中心から焦点までの距離cの間に関係があります。
横長の標準的な楕円では、cの二乗はaの二乗からbの二乗を引いた値になります。
つまり、c＝√a²－b²という形で求められます。
このcを基本公式e＝c÷aに代入すれば、離心率を求められます。
長半径と短半径がわかれば、焦点の位置がわからなくても離心率を計算できるわけです。
離心率をaとbだけで表す公式
c＝√a²－b²をe＝c÷aに代入すると、離心率をaとbだけで表せます。
式としては、e＝√a²－b²÷aとなります。
さらに整理すると、e＝√1－b²÷a²という形でも表せます。
この形は、楕円が円に近いかどうかを判断するときに便利です。
aとbがほぼ同じなら、b²÷a²は一に近くなり、離心率は小さくなります。
aとbが近いほど円に近くなる
長半径aと短半径bが同じなら、その図形は円です。
このとき、a²－b²は0になり、cも0になります。
したがって、離心率eも0です。
aとbの差が大きくなるほど、楕円は細長くなり、離心率も大きくなります。
このため、離心率は長半径と短半径の差を反映した値ともいえます。
| 与えられる値 | 使う公式 | 考え方 |
|---|---|---|
| cとa | e＝c÷a | 焦点距離を長半径で割る |
| aとb | c＝√a²－b² | まず焦点距離を求める |
| aとb | e＝√1－b²÷a² | 直接離心率を求める |
続いては離心率の計算例を確認していきます
続いては、離心率の計算例を確認していきます。
公式だけを見てもイメージしにくい場合は、具体的な数値で計算すると理解しやすくなります。
ここでは、焦点距離がわかっている場合と、長半径と短半径から求める場合を確認しましょう。
cとaがわかっている場合の計算
たとえば、中心から焦点までの距離cが3、長半径aが5の楕円を考えます。
離心率の公式はe＝c÷aなので、e＝3÷5です。
したがって、離心率は0.6になります。
この楕円は、離心率が0に近い円形ではなく、ある程度細長い楕円と考えられます。
ただし、一未満なので楕円の範囲に入ります。
c＝3、a＝5のとき、e＝3÷5＝0.6です。
離心率が0.6なので、円よりも細長い楕円になります。
aとbがわかっている場合の計算
次に、長半径aが5、短半径bが4の楕円を考えます。
まず、c＝√a²－b²を使います。
a²は25、b²は16なので、a²－b²は9です。
したがって、c＝√9＝3となります。
あとはe＝c÷aに代入し、e＝3÷5＝0.6と求められます。
円に近い楕円の計算例
長半径aが10、短半径bが9.8の楕円を考えてみます。
aとbの差が小さいため、見た目は円にかなり近い楕円です。
この場合、a²は100、b²は96.04なので、a²－b²は3.96です。
cは√3.96で、およそ1.99になります。
離心率は1.99÷10で、およそ0.199です。
このように、長半径と短半径が近いと離心率は小さくなります。
続いては離心率の導出の考え方を確認していきます
続いては、離心率の導出の考え方を確認していきます。
離心率の公式を丸暗記するだけでも計算はできますが、なぜその式になるのかを知ると理解が深まります。
ここでは、楕円の標準形と焦点の位置から考えていきます。
楕円の標準形から考える
中心が原点で横長の楕円は、x²÷a²＋y²÷b²＝1という形で表されます。
このとき、aは長半径、bは短半径です。
楕円の焦点は、x軸上のプラスマイナスcの位置にあります。
このcが中心から焦点までの距離です。
楕円では、a²＝b²＋c²という関係が成り立ちます。
焦点距離cの式が出てくる理由
a²＝b²＋c²という関係を変形すると、c²＝a²－b²になります。
したがって、c＝√a²－b²です。
これは、長半径と短半径の差が大きいほど、焦点が中心から離れることを意味します。
焦点が離れるほど楕円は細長くなり、離心率も大きくなります。
この関係が、離心率の式につながっています。
e＝c÷aで割合として表す
焦点距離cだけを見ると、楕円の大きさによって値が変わってしまいます。
大きな楕円ではcも大きくなりやすいため、cの値だけでは形の細長さを比較しにくいです。
そこで、長半径aで割って割合にします。
これがe＝c÷aです。
割合にすることで、大きさに関係なく楕円の形を比較できるようになります。
離心率は焦点距離cを長半径aで割った割合です。
この割合にすることで、楕円の大きさではなく形そのものを比較できます。
まとめ
楕円の離心率の基本公式は、e＝c÷aです。
ここで、eは離心率、cは中心から焦点までの距離、aは長半径を表します。
長半径aと短半径bがわかっている場合は、c＝√a²－b²を使って焦点距離を求めます。
また、e＝√1－b²÷a²という形で、aとbから直接離心率を求めることもできます。
離心率が0に近いほど円に近く、一に近いほど細長い楕円になります。
離心率の計算では、焦点距離、長半径、短半径の関係を押さえることが重要です。
公式を覚えるだけでなく、焦点が中心からどれくらい離れているかを割合で表したものと考えると、意味まで理解しやすくなるでしょう。
