三角関数の学習を進めていくと、必ずぶつかる壁のひとつが加法定理から派生する公式の数々です。
その中でもtanの倍角公式は、サインやコサインの倍角公式と比べて形が複雑に見えるため、苦手意識を持つ人が多い分野といえます。
とくにtan2θやtan3θの式は分数の形をしており、暗記だけに頼ると計算ミスを招きやすいのが実情です。
そこで本記事では、tanの倍角の公式は？2倍角・3倍角をまとめて解説！というテーマのもと、公式の成り立ちから導出方法、実際の使い方までを順を追って整理していきます。
結論からお伝えすると、tanの倍角公式はすべて加法定理から導くことができ、仕組みを理解してしまえば暗記に頼らずとも自力で式を組み立てられるようになります。
数式の丸暗記に限界を感じている方や、tan2θとtan3θの違いが曖昧なまま定期テストを迎えてしまいそうな方は、ぜひ最後まで読み進めてみてください。
tanの倍角公式の結論とtan2θ・tan3θの全体像
それではまずtanの倍角公式の結論とtan2θ・tan3θの全体像について解説していきます。
先に結論をお伝えすると、tanの倍角公式は次の2つの式に集約されます。
tan2θ＝2tanθ／（1－tan²θ）
tan3θ＝（3tanθ－tan³θ）／（1－3tan²θ）
この2つの式さえ押さえておけば、tanの倍角に関する問題の大半に対応できます。
サインやコサインの倍角公式と違い、tanの倍角公式は分数の形をしているのが大きな特徴です。
分母にtan²θが登場する点も、初めて見る人にとってはややこしく感じるポイントでしょう。
ただし、これらの式は決して丸暗記しなければならないものではありません。
加法定理という土台さえ理解していれば、その場で導出することも十分可能です。
むしろ試験本番では、公式を丸暗記するよりも導出できる状態にしておくほうが安心感があります。
2倍角の公式tan2θの基本形
まずtan2θの基本形から確認していきます。
tan2θは、θを2つ分足し合わせた角度に対するタンジェントの値です。
式としてはtan2θ＝2tanθ／（1－tan²θ）という形で表されます。
この式の分母が0になる場合、つまりtanθが1や－1になる場合は定義できない点に注意が必要です。
分母がゼロになるということは、tan2θそのものが存在しない角度が出てくるということになります。
そのためグラフを描く際にも、この公式には漸近線が絡んでくることを意識しておくとよいでしょう。
3倍角の公式tan3θの基本形
続いて3倍角の公式tan3θの基本形を見ていきます。
tan3θは（3tanθ－tan³θ）／（1－3tan²θ）という形で表現されます。
2倍角と比べると分子・分母ともに項の数が増え、複雑さが一段階上がります。
しかし構造自体はよく似ており、分子にtanθの奇数乗、分母にtanθの偶数乗が並んでいる点は共通です。
この規則性に気づけると、公式を覚える際の負担がぐっと軽くなります。
サイン・コサインの倍角公式との違い
最後にサイン・コサインの倍角公式との違いを整理します。
sin2θ＝2sinθcosθ、cos2θ＝cos²θ－sin²θといった式は、比較的シンプルな形をしています。
一方でtanの倍角公式は分数形になるため、見た目のインパクトが大きく感じられるのでしょう。
しかし本質的にはtanθ＝sinθ／cosθという関係から導かれているだけなので、難易度が特別高いわけではありません。
この後の章で、実際にどのように導出されるのかを詳しく確認していきます。
加法定理からtan2θの公式を導出する方法
続いては加法定理からtan2θの公式を導出する方法を確認していきます。
tanの倍角公式を理解するうえで欠かせないのが、tanの加法定理です。
tanの加法定理は次のように表されます。
tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）／（1－tanα・tanβ）
この式のαとβに、どちらも同じθを代入するとどうなるでしょうか。
実際に代入してみると、tan2θの公式が自然と姿を現します。
加法定理の式にθを代入する
まず加法定理の式にθを代入する手順から見ていきます。
tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）／（1－tanα・tanβ）という式に対して、α＝θ、β＝θを代入します。
すると分子はtanθ＋tanθとなり、これは2tanθに整理できます。
分母は1－tanθ・tanθとなり、これは1－tan²θと表せます。
ここまでの計算だけで、すでにtan2θの公式の骨格が見えてきているはずです。
分子と分母を整理して公式を完成させる
続いて分子と分母を整理して公式を完成させる作業に入ります。
先ほどの計算結果をまとめると、tan2θ＝2tanθ／（1－tan²θ）という式が導かれます。
この過程で重要なのは、tanθを1つの文字のように扱って計算を進める点です。
たとえばxという文字に置き換えて考えると、（x＋x）／（1－x・x）＝2x／（1－x²）という単純な式変形と同じであることが分かります。
このように置き換えて考えると、複雑に見えた式も一気にシンプルに感じられるでしょう。
導出の際に気をつけたい計算ミスのポイント
最後に導出の際に気をつけたい計算ミスのポイントを整理します。
よくあるミスとして、分母のtanα・tanβをtan²θではなく2tanθと書き間違えてしまうケースが挙げられます。
また、分子の符号を間違えて2tanθではなく2tan²θとしてしまう誤りも少なくありません。
こうしたミスを防ぐには、加法定理の式を省略せずに一度書き出してから代入する習慣をつけることが有効です。
焦って暗記した式をいきなり書こうとすると、こうした小さなミスが積み重なってしまいます。
tan2θの公式は、tanの加法定理にα＝β＝θを代入するだけで導けます。
丸暗記が不安な場合でも、加法定理さえ覚えておけば試験本番でも安心です。
加法定理からtan3θの公式を導出する方法
続いては加法定理からtan3θの公式を導出する方法を確認していきます。
tan3θは、tan（2θ＋θ）という形に分解して考えるのがポイントです。
つまり2倍角と1倍角を足し合わせるイメージで、加法定理を再度活用します。
tan（2θ＋θ）として加法定理を適用する
まずtan（2θ＋θ）として加法定理を適用する手順から確認します。
加法定理より、tan（2θ＋θ）＝（tan2θ＋tanθ）／（1－tan2θ・tanθ）と表せます。
ここで先ほど導いたtan2θ＝2tanθ／（1－tan²θ）を代入していきます。
分数の中に分数が入る形になるため、見た目の複雑さは一気に増しますが、落ち着いて処理すれば問題ありません。
分数式を整理して分母を揃える
続いて分数式を整理して分母を揃える作業に入ります。
分子は2tanθ／（1－tan²θ）＋tanθとなり、これを通分すると（2tanθ＋tanθ－tan³θ）／（1－tan²θ）という形になります。
分母についても同様に通分を行い、（1－tan²θ－2tan²θ）／（1－tan²θ）という形に整理していきます。
この分数の分数を整理する過程こそが、tan3θの導出における最大の山場といえるでしょう。
分子（3tanθ－tan³θ）／（1－tan²θ）
分母（1－3tan²θ）／（1－tan²θ）
最終的にtan3θの公式へまとめる
最後に最終的にtan3θの公式へまとめる手順を確認します。
分子と分母に共通する（1－tan²θ）が約分できるため、最終的にはこの項が消えてくれます。
結果として残るのがtan3θ＝（3tanθ－tan³θ）／（1－3tan²θ）という式です。
途中式は複雑ですが、最終形はシンプルにまとまることが分かるはずです。
この導出過程を一度自分の手で書いてみると、公式に対する理解が格段に深まります。
tanの半角公式や関連する公式との関係
続いてはtanの半角公式や関連する公式との関係を確認していきます。
倍角公式とセットで扱われることが多いのが、半角の公式です。
倍角と半角は角度の見方が逆になるだけで、根っこにある考え方は共通しています。
tanの半角公式の形
まずtanの半角公式の形から確認していきます。
tanの半角公式はtan（θ／2）＝（1－cosθ）／sinθあるいはsinθ／（1＋cosθ）という形で表されます。
この2つは見た目こそ異なりますが、実は同じ値を表す等価な式です。
倍角公式が角度を大きくする方向の変換であるのに対し、半角公式は角度を小さくする方向の変換だと考えると理解しやすいでしょう。
倍角公式と半角公式を混同しないための整理
続いて倍角公式と半角公式を混同しないための整理を行います。
下の表に、θと2θの関係を整理しておきます。
| 公式の種類 | 対象となる角度 | 主な用途 |
|---|---|---|
| 倍角公式 | θから2θ・3θを求める | 角度を大きくする計算 |
| 半角公式 | θからθ／2を求める | 角度を小さくする計算 |
| 加法定理 | 異なる2つの角度を組み合わせる | すべての公式の土台 |
この表を見比べると、どの公式がどの場面で使われるのかが視覚的に把握できるはずです。
混同しやすい場合は、角度が増えているのか減っているのかという一点に注目すると整理しやすくなります。
三倍角公式との関係と使い分け
最後に三倍角公式との関係と使い分けについて確認します。
sinやcosの三倍角公式もtanと同様に加法定理から導出できますが、tanの三倍角は分数の形になる点が独特です。
問題によっては、tan3θをそのまま使うよりも、sin3θとcos3θをそれぞれ求めてから割ったほうが計算が楽になるケースもあります。
どちらのアプローチが適しているかは、問題文で与えられている条件次第で変わってくるでしょう。
複数の解法を知っておくことが、結果的に計算時間の短縮につながります。
tanの倍角公式を使った計算問題の解き方
続いてはtanの倍角公式を使った計算問題の解き方を確認していきます。
公式を知っているだけでは不十分で、実際に手を動かして使いこなせるかどうかが得点力の差につながります。
tanθの値からtan2θを求める問題
まずtanθの値からtan2θを求める問題を確認していきます。
例題 tanθ＝1／3のとき、tan2θの値を求めよ。
解答 tan2θ＝2×（1／3）／（1－（1／3）²）＝（2／3）／（8／9）＝3／4
このように、公式にそのまま数値を代入するだけで答えが求められます。
計算のコツは、分数の中に分数が入る場合でも慌てずに順番通り処理することです。
まず分子を計算し、次に分母を計算し、最後にそれらを割り算するという手順を守れば、ミスは大きく減らせます。
tanθの値からtan3θを求める問題
続いてtanθの値からtan3θを求める問題を確認していきます。
例題 tanθ＝1のとき、tan3θの値を求めよ。
解答 tan3θ＝（3×1－1³）／（1－3×1²）＝（3－1）／（1－3）＝2／（－2）＝－1
この例題のように、tanθ＝1という扱いやすい数値であっても、分母がマイナスになるなど油断できない点があります。
符号の扱いを間違えないよう、一つひとつの項を丁寧に計算していく姿勢が大切です。
方程式や図形問題への応用パターン
最後に方程式や図形問題への応用パターンを確認します。
tanの倍角公式は、単独の計算問題だけでなく、三角方程式や図形の角度を求める問題にも応用されます。
たとえばtan2θ＝tanθを満たすθを求める問題では、公式を代入したうえで方程式を整理し、θについて解いていく流れになります。
また、図形問題では角度の二等分線や交点の位置関係を調べる際に、tanの倍角公式が間接的に使われることもあります。
公式を単体で覚えるだけでなく、どのような文脈で登場しやすいのかを把握しておくと応用力が身につくでしょう。
tanの倍角公式を覚える際のコツと注意点
続いてはtanの倍角公式を覚える際のコツと注意点を確認していきます。
公式の暗記に苦労している人は多く、どのように覚えれば定着しやすいのか気になるところでしょう。
語呂合わせよりも導出の流れを覚える
まず語呂合わせよりも導出の流れを覚える方法を確認します。
tanの倍角公式は分数の形をしているため、語呂合わせだけで覚えようとすると、分子と分母を逆にしてしまうミスが起こりがちです。
それよりも、加法定理からθ＋θを代入して整理するという流れをセットで覚えるほうが、結果的にミスが減ります。
実際、多くの受験生が本番で公式を忘れてしまった際、この導出の流れを覚えていたおかげで式を組み立て直せたという経験を持っています。
分母が0になる角度に注意する
続いて分母が0になる角度に注意する点を確認します。
tan2θの公式では分母が1－tan²θとなるため、tanθ＝1やtanθ＝－1のときに分母が0になってしまいます。
この場合、tan2θの値は定義できないため、答えとして「値が存在しない」あるいは「定義されない」と明記する必要があります。
この点を見落として無理やり数値を書いてしまうと、大きな減点につながりかねません。
公式を使う前に、分母が0にならないかどうかを確認する癖をつけておくと安心です。
公式集を作って定期的に見返す習慣
最後に公式集を作って定期的に見返す習慣について確認します。
tanの倍角公式に限らず、三角関数の公式は数が多く、時間が経つと忘れてしまいがちです。
自分の手でノートに公式集をまとめておき、定期的に見返す習慣をつけると記憶の定着率が高まります。
とくにtan2θとtan3θは形が似ているため、並べて書いておくことで違いを意識しやすくなるでしょう。
復習のたびに導出も一緒に確認しておくと、単なる暗記ではなく理解を伴った知識として定着していきます。
tanの倍角公式は分数形であるがゆえに、分母が0になる場合の扱いに注意が必要です。
公式を丸暗記するのではなく、加法定理からの導出過程をセットで覚えることが、結果的に一番のミス防止策になります。
まとめ
今回はtanの倍角の公式は？2倍角・3倍角をまとめて解説！というテーマで、tan2θとtan3θの公式について整理してきました。
tan2θ＝2tanθ／（1－tan²θ）、tan3θ＝（3tanθ－tan³θ）／（1－3tan²θ）という2つの公式は、いずれもtanの加法定理から導出できます。
公式そのものを丸暗記するのではなく、加法定理にθを代入して整理する過程を理解しておくことで、本番での忘却リスクを大きく減らすことができるはずです。
また、分母が0になる場合には値が定義できない点や、半角公式との違いを混同しないことも重要なポイントでした。
計算問題や図形問題、方程式への応用まで幅広く出題される分野だからこそ、基礎からしっかりと積み上げていく姿勢が求められます。
この記事で紹介した導出の流れや例題を参考に、ぜひ自分の手を動かしながら公式を使いこなせるようになってください。
