数学の三角関数を学んでいると、必ずと言っていいほどぶつかる壁があります。
それがtanとcosの関係です。
tanθはsinθとcosθを使って表せることは知っていても、では具体的にどんな式で結びついているのか、すぐに答えられる人は意外と少ないもの。
さらにsec²θ=1+tan²θという恒等式まで出てくると、混乱してしまう方も多いでしょう。
この記事では、tanとcosの相互関係と変換公式について、基礎から丁寧に解説していきます。
単位円のイメージから具体的な計算問題まで、順を追って確認していきましょう。
三角関数の恒等式を得意分野に変えるためのヒントが、きっと見つかるはずです。
tanとcosの関係は「tan=sin/cos」から派生し、sec²θ=1+tan²θという恒等式でつながっている
それではまずtanとcosの関係について、結論からお伝えしていきます。
結論を先に言ってしまうと、tanθとcosθの関係は大きく分けて二つの式に集約されます。
一つ目はtanθ=sinθ/cosθという定義式です。
二つ目はsec²θ=1+tan²θという相互変換の恒等式になります。
この二つさえ押さえておけば、tanとcosに関するほとんどの問題は解けるようになるでしょう。
tanはsinとcosの比で定義される
tanθという関数は、そもそもsinθとcosθの比として定義されています。
つまりtanθ=sinθ/cosθという式が、tanの出発点になっているのです。
この式を見ると分かる通り、tanは単独で存在する関数ではありません。
sinとcosという二つの関数があって、はじめて成り立つ関数と言えるでしょう。
tanθ＝sinθ／cosθ
例えばθ＝45度のとき、sin45度＝cos45度＝√2／2なので
tan45度＝（√2／2）÷（√2／2）＝1になります。
cosとtanをsecを介して結びつける公式
tanとcosを直接結びつける代表的な式が、sec²θ=1+tan²θです。
secθはcosθの逆数、つまりsecθ=1/cosθとして定義されます。
この定義を利用すると、cosθとtanθが密接につながっていることが見えてくるでしょう。
なぜこの式が成り立つのかは、後の章で詳しく導出していきます。
sec²θ＝1＋tan²θ
この式は三角関数の恒等式の中でも特に重要です。
cosθの値からtanθの値を求めたり、その逆を計算したりするときに欠かせない公式になります。
入試問題や実務計算でも頻繁に登場するため、必ず暗記しておきたいところです。
結論を実際の角度で確認する
結論として示した式が本当に成り立つのか、具体的な角度で検証してみましょう。
θ＝60度のとき、cos60度＝1／2、tan60度＝√3です。
secθ＝1／cosθなので、sec60度＝2になります。
sec²60度＝4、そして1＋tan²60度＝1＋3＝4となり、確かに両辺が一致するでしょう。
このように具体例で確かめてみると、公式の信頼性がより実感できるはずです。
tanとsinとcosの基本関係をおさらいします
続いてはtanθ、sinθ、cosθという三つの関数の基本的な関係を確認していきます。
相互変換の公式を理解するには、まず土台となる基礎知識が欠かせません。
ここでしっかり整理しておくことで、後半の応用問題もスムーズに理解できるようになるでしょう。
単位円で見るsinθとcosθとtanθ
三角関数を理解するうえで欠かせないのが単位円のイメージです。
原点を中心とした半径1の円を考え、円周上の点をP、原点とPを結ぶ線と円周のなす角をθとします。
このとき点Pのx座標がcosθ、y座標がsinθを表しています。
そしてtanθは、原点からその点までの直線の傾きに相当するのです。
図形的なイメージを持っておくと、公式を丸暗記するよりもずっと理解が深まるでしょう。
| 角度θ | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|
| 0度 | 0 | 1 | 0 |
| 30度 | 1／2 | √3／2 | √3／3 |
| 45度 | √2／2 | √2／2 | 1 |
| 60度 | √3／2 | 1／2 | √3 |
| 90度 | 1 | 0 | 定義されない |
この表を見比べると、tanθが単純にsinθをcosθで割った値になっていることが確認できます。
tanθ＝sinθ／cosθが成り立つ理由
なぜtanθ＝sinθ／cosθという式が成り立つのか、直角三角形で考えてみましょう。
直角三角形において、θを挟む二辺を隣辺と斜辺、θの対辺を対辺と呼びます。
sinθは対辺÷斜辺、cosθは隣辺÷斜辺として定義されているのです。
一方でtanθは対辺÷隣辺として定義されます。
この三つを見比べると、対辺÷隣辺は（対辺÷斜辺）÷（隣辺÷斜辺）と同じ値になることが分かるでしょう。
つまりtanθ＝sinθ／cosθという関係が、幾何学的にも裏付けられるわけです。
cosθ＝0のときtanθが定義されない理由
tanθにはsinθやcosθと違って、値が存在しないポイントがあります。
それがcosθ＝0となるθ、つまり90度や270度といった角度です。
tanθ＝sinθ／cosθという式において、分母が0になると計算自体が成立しません。
数学では0で割ることは許されていないため、こうした角度ではtanθが定義されないのです。
グラフで見るとtanθのグラフには、この角度で漸近線が現れることになります。
tanとcosの相互変換公式を確認します
続いてはtanθとcosθを互いに変換するための公式を確認していきます。
片方の値さえ分かれば、もう片方を求められるようになるのが今回のテーマです。
符号の扱いには注意が必要なので、そこも含めて丁寧に見ていきましょう。
cosθをtanθで表す公式
先ほど紹介したsec²θ＝1＋tan²θを使うと、cosθをtanθだけで表現できます。
secθ＝1／cosθなので、両辺を変形するとcosθ＝1／secθとなるでしょう。
secθ＝±√（1＋tan²θ）なので、これを代入すればcosθをtanθの式に置き換えられます。
cosθ＝±1／√（1＋tan²θ）
符号はθが第何象限にあるかによって決まります。
例えばθが第一象限にある場合はプラス、第二象限にある場合はマイナスを選びます。
tanθをcosθとsinθから逆算する方法
逆にtanθを求めたい場合は、定義式であるtanθ＝sinθ／cosθに戻るのが最も簡単です。
sinθが分からない場合でも、sin²θ＋cos²θ＝1というピタゴラスの定理由来の恒等式を使えば求められます。
sinθ＝±√（1－cos²θ）として、これをtanθの定義式に代入すればよいでしょう。
tanθ＝±√（1－cos²θ）／cosθ
この式もやはり符号の判断が必要になります。
角度が鋭角であれば基本的にプラスの符号を選んで問題ありません。
sinθをtanθとcosθで表す公式
三つの関数はいずれも互いに変換可能な関係にあります。
sinθについても、tanθ＝sinθ／cosθという定義式を変形するだけで求められるでしょう。
両辺にcosθをかければ、sinθ＝tanθ×cosθという非常にシンプルな式になります。
この式は覚えるというより、定義式からその場で導き出せるようにしておくのがおすすめです。
暗記に頼りすぎると、テスト本番で式を忘れてしまったときに困ってしまうでしょう。
sec²θ＝1＋tan²θの導出と使い方を解説します
続いてはこの記事の核心とも言える、sec²θ＝1＋tan²θという恒等式の導出を確認していきます。
公式は丸暗記するよりも、導出の流れを理解しておくほうが応用が利くようになるでしょう。
sin²θ＋cos²θ＝1から導く方法
この恒等式の出発点となるのは、三角関数の中でも最も基本的なsin²θ＋cos²θ＝1です。
単位円上の点の座標を考えれば、この式は自然に導かれるものでした。
ここで両辺をcos²θで割ってみましょう。
sin²θ／cos²θ＋cos²θ／cos²θ＝1／cos²θ
左辺の第一項はtan²θ、第二項は1になります。
右辺の1／cos²θはsec²θと定義されているものです。
したがってtan²θ＋1＝sec²θ、つまりsec²θ＝1＋tan²θが導かれるのです。
この導出過程さえ覚えておけば、公式を忘れてしまってもその場で作り出せます。
secθとcosθの逆数関係
secθという関数に馴染みがない方も多いかもしれません。
secθは英語でセカントと読み、cosθの逆数として定義される関数です。
つまりsecθ＝1／cosθという非常にシンプルな関係になっています。
同じようにsinθの逆数はcosecθ、tanθの逆数はcotθと呼ばれるでしょう。
これらは逆三角比と呼ばれ、高校数学ではあまり登場しませんが、大学以降の数学や物理では頻出です。
実際の計算問題での使い方
ここで簡単な計算例を確認しておきましょう。
tanθ＝2のとき、sec²θの値を求めてみます。
sec²θ＝1＋tan²θ＝1＋2²＝1＋4＝5
したがってsecθ＝±√5となります。
secθ＝1／cosθなので、cosθ＝1／secθ＝±1／√5と求められるでしょう。
このようにtanθの値さえ分かれば、cosθの値まで芋づる式に求められるのが、この恒等式の便利なところです。
tanとcosの関係式を使った計算問題を解いていきます
続いては実際の計算問題を通して、tanとcosの関係式の使い方を確認していきます。
公式を覚えるだけでなく、実際に手を動かして解いてみることが理解への近道でしょう。
cosθが分かっているときにtanθを求める
問題です、θが鋭角でcosθ＝3／5のとき、tanθの値を求めてみましょう。
まずsin²θ＋cos²θ＝1よりsin²θ＝1－（3／5）²＝1－9／25＝16／25
θは鋭角なのでsinθ＝4／5です。
したがってtanθ＝sinθ／cosθ＝（4／5）÷（3／5）＝4／3となります。
このように三角比の代表的な組み合わせである3対4対5の直角三角形が背景にあると気づけると、計算がスムーズになるでしょう。
tanθが分かっているときにcosθを求める
次はtanθ＝3／4、θが鋭角のときにcosθを求める問題です。
sec²θ＝1＋tan²θ＝1＋（3／4）²＝1＋9／16＝25／16
θは鋭角なのでsecθ＝5／4です。
cosθ＝1／secθ＝4／5と求められます。
tanθから直接cosθを求める場合は、このsec²θ＝1＋tan²θの式を使うのが最もシンプルなルートになるでしょう。
象限に応じた符号の決め方
ここまでの例はすべて鋭角、つまり第一象限の角度を扱ってきました。
しかし角度が90度を超えると、符号の判断が非常に重要になってきます。
第二象限ではsinθはプラス、cosθとtanθはマイナスです。
第三象限ではtanθだけがプラスになり、sinθとcosθはどちらもマイナスになります。
第四象限ではcosθのみプラスで、sinθとtanθはマイナスです。
この符号のルールは「サイン・オール・タン・コス」などの語呂合わせで覚えている人も多いでしょう。
符号を間違えると答えが真逆になってしまうため、問題文の角度の範囲を必ず確認する習慣をつけておきたいところです。
まとめ
今回はtanとcosの関係について、相互関係と変換公式を中心に解説してきました。
tanθはそもそもsinθ／cosθという比として定義されている関数です。
そしてtanθとcosθを直接結びつける式が、sec²θ＝1＋tan²θという恒等式でした。
この式はsin²θ＋cos²θ＝1という基本の恒等式を、cos²θで割るだけで導き出せます。
公式をただ覚えるのではなく、導出の流れごと理解しておくと、忘れてしまったときにも自分で作り直せるでしょう。
また角度が第何象限にあるかによって、符号の扱いが変わる点にも注意が必要です。
tanとcosの関係は、三角関数の学習全体を支える土台のような存在と言えます。
ぜひ今回紹介した公式と計算例を繰り返し確認し、自分のものにしていってください。
