八角形と聞くと、多角形の中でも少し複雑な図形というイメージを持つ方が多いのではないでしょうか。
実は八角形に隠れている三角形の数は、頂点の選び方や対角線の引き方によって答えが変わってきます。
八角形の三角形の数を正しく求めるには、組み合わせの考え方と分割の考え方の両方を理解しておく必要があります。
この記事では八角形の三角形の数について、結論から丁寧に解説していきます。
さらに対角線を使った分割方法や、n角形における一般的な計算方法についても詳しく紹介します。
図形問題が苦手な方にも分かりやすいように、具体例や表を交えながら進めていきますので、ぜひ最後までご覧ください。
八角形の三角形の数は何個になるのか結論から確認
それではまず八角形の三角形の数について、結論部分から解説していきます。
八角形の8つの頂点から自由に3点を選んで三角形を作る場合、その総数は56個になります。
一方で、1つの頂点からすべての対角線を引いて八角形を分割する場合にできる三角形の数は6個です。
同じ八角形の三角形の数という表現でも、何を数えているかによって答えが大きく異なる点に注意が必要です。
八角形の三角形の数には2つの意味があります。
ひとつは頂点を自由に選んでできる三角形の総数で、答えは56個です。
もうひとつは1点から対角線を引いて分割したときにできる三角形の数で、答えは6個です。
問題文がどちらを聞いているのか、まずここを見極めることが最初のポイントになります。
頂点を結んでできる三角形の総数
八角形には8つの頂点があります。
この8つの頂点の中から、どの3つを選んでも三角形が1つ作れます。
選び方の総数がそのまま三角形の総数になるため、組み合わせの計算を使って求めることができます。
実際に計算すると、8個から3個を選ぶ組み合わせは56通りになります。
対角線を使った分割との違い
分割の考え方は、頂点を自由に選ぶ考え方とは根本的に異なります。
1つの頂点から他の頂点へ対角線を引いていくと、八角形の内部がいくつかの三角形に区切られていきます。
このとき隣り合う頂点同士は対角線で結べないため、線を引ける本数には限りがあるのです。
結果として八角形は6個の三角形に分割されることになります。
計算方法で導き出す答え
どちらの答えを求める場合でも、計算式を知っていれば迷うことはありません。
三角形の総数を求めるときは組み合わせの公式を使います。
分割による三角形の数を求めるときは、n角形の頂点数から2を引くだけのシンプルな計算です。
次の見出し以降で、それぞれの計算の中身を詳しく見ていきましょう。
八角形の基本的な特徴を確認
続いては八角形そのものの基本的な特徴を確認していきます。
三角形の数を正しく数えるためには、まず図形の性質を押さえておくことが欠かせません。
八角形の頂点と辺の数
八角形はその名の通り、8つの辺と8つの頂点を持つ多角形です。
頂点の数がそのまま三角形を作るための材料になるため、非常に重要な要素といえます。
頂点の数が多くなるほど、そこから作れる三角形の組み合わせも一気に増えていきます。
内角と外角の関係
正八角形の内角の和は1080度になります。
1つの内角の大きさは135度で、外角は45度です。
内角の大きさそのものは三角形の総数の計算には直接使いませんが、図形の性質を理解するうえで役立つ知識です。
多角形の内角の和は次の式で求められます。
内角の和 イコール 180度 かける（n マイナス 2）
八角形の場合は n が8なので、180かける6で1080度になります。
正八角形と一般の八角形の違い
正八角形はすべての辺の長さと角度が等しい特別な八角形です。
一方で一般の八角形は辺の長さや角度がバラバラでも成立します。
ただし三角形の数を数える際には、頂点の位置関係さえ凸型であれば正八角形でなくても同じ考え方が使えるでしょう。
逆に凹んだ部分がある八角形の場合は、数え方に注意が必要になります。
頂点から三角形を作る組み合わせの考え方
続いては頂点から三角形を作る組み合わせの考え方を確認していきます。
この考え方こそが、八角形の三角形の数を求める基本となります。
組み合わせ計算nCrの基本
組み合わせとは、順番を考えずに複数の中からいくつかを選ぶ方法の数のことです。
記号ではnCrと表され、nが全体の数、rが選ぶ数を意味します。
三角形は3点を選べば向きに関係なく1つに決まるため、組み合わせの考え方がぴったり当てはまるのです。
組み合わせの公式は次のようになります。
nCr イコール n の階乗 割る r の階乗 かける（n マイナス r）の階乗
8個の頂点から3点を選ぶ計算
八角形の頂点は8個あるため、n は8になります。
三角形を作るために選ぶ頂点は3つなので、r は3です。
この数字を先ほどの公式に当てはめると、8C3という式になります。
8C3の計算過程は次の通りです。
8かける7かける6 割る（3かける2かける1）
336 割る 6 イコール 56
したがって答えは56個になります。
実際に数え上げてみる方法
計算式だけでは実感がわかないという方も多いでしょう。
そこでおすすめなのが、実際に頂点に1から8まで番号を振って数え上げる方法です。
頂点1と頂点2を固定した状態で、残りの頂点をひとつずつ変えながら三角形を作っていきます。
地道な作業にはなりますが、この方法を一度試すことで計算式の意味がより深く理解できるはずです。
対角線を使った分割方法
続いては対角線を使った分割方法について確認していきます。
ここでの三角形の数え方は、先ほどの組み合わせとはまったく違う考え方になります。
対角線の本数を求める計算
多角形の対角線の本数を求める公式は次の通りです。
対角線の本数 イコール n かける（n マイナス 3）割る 2
八角形の場合は8かける5割る2で、20本になります。
この20本という数字は、頂点同士を結ぶすべての対角線の合計本数を表しています。
ただし三角形分割で実際に使う対角線の本数は、この中の一部だけです。
頂点から対角線を引いて三角形に分ける方法
八角形の1つの頂点を選び、そこから隣り合わない頂点すべてに向けて対角線を引いてみましょう。
隣り合う2つの頂点にはそもそも対角線を引くことができません。
そのため、選んだ頂点以外の7個の頂点のうち、隣接する2個を除いた5本の対角線が引けることになります。
この5本の対角線によって、八角形の内部がいくつもの三角形に区切られていくのです。
分割でできる三角形の数はn引く2個
1つの頂点からすべての対角線を引いて分割する場合、できる三角形の数は次の式で求められます。
分割による三角形の数 イコール n マイナス 2
八角形はnが8なので、8マイナス2で6個の三角形に分割されます。
この6個という数字が、タイトルにもある分割方法の答えにあたる部分です。
三角形の総数である56個と、分割数である6個はまったく別の答えなので、混同しないよう気をつけましょう。
n角形における三角形の数の一般公式
続いてはn角形における三角形の数の一般公式を確認していきます。
八角形の答えを他の多角形にも応用できるようにしておくと、応用問題にも対応しやすくなるでしょう。
n角形の頂点を選ぶ組み合わせ公式
頂点を自由に選んで三角形の総数を求める場合の公式は次の通りです。
三角形の総数 イコール nC3 イコール n かける（n マイナス 1）かける（n マイナス 2）割る 6
この式にnの値を当てはめるだけで、どんな多角形でも三角形の総数を求めることができます。
分割による三角形数の公式
一方、対角線を使った分割で三角形の数を求める場合の公式は次のようにとてもシンプルです。
分割による三角形の数 イコール n マイナス 2
この式はどんな多角形にも共通する、非常にシンプルで覚えやすい公式です。
六角形や五角形など他の多角形との比較
他の多角形についても同じ公式を使って比較してみましょう。
| 図形 | 頂点数n | 三角形の総数nC3 | 分割による三角形数n-2 |
|---|---|---|---|
| 五角形 | 5 | 10個 | 3個 |
| 六角形 | 6 | 20個 | 4個 |
| 七角形 | 7 | 35個 | 5個 |
| 八角形 | 8 | 56個 | 6個 |
| 九角形 | 9 | 84個 | 7個 |
こうして表で並べてみると、頂点の数が増えるほど三角形の総数が急激に増えていく様子がよく分かります。
一方で分割による三角形の数は、頂点数に対して緩やかに増えていくだけという違いも見えてくるでしょう。
実際に八角形の図を使って確認する方法
続いては実際に八角形の図を使って答えを確認する方法を紹介していきます。
計算だけで終わらせず、図を描いて確かめることで理解がぐっと深まるはずです。
図を描いて数える手順
まずは八角形を描き、頂点に1から8までの番号を振っていきます。
次に1つの頂点を固定し、そこから引ける対角線をすべて書き込んでみましょう。
できあがった図を見ながら三角形をひとつずつ数えていくと、6個であることが視覚的に確認できます。
さらに別の頂点を固定して同じ作業を繰り返すことで、公式への理解がより確実なものになるでしょう。
表を使って整理する
頂点の組み合わせをすべて書き出すのは大変なので、表を使って整理する方法もおすすめです。
| 固定する頂点 | 作れる対角線の本数 | できる三角形の数 |
|---|---|---|
| 頂点1 | 5本 | 6個 |
| 頂点2 | 5本 | 6個 |
| 頂点3 | 5本 | 6個 |
どの頂点を基準に選んでも、分割される三角形の数は変わらず6個になります。
これは八角形が持つ対称性のおかげともいえるでしょう。
間違えやすいポイントと注意点
八角形の三角形の数を求める問題では、いくつか間違えやすいポイントがあります。
まず1つ目は、三角形の総数と分割数を混同してしまうことです。
2つ目は、凹んだ形の八角形に同じ公式を当てはめてしまうケースでしょう。
凸型でない八角形の場合、対角線が図形の外に出てしまうことがあるため注意が必要です。
3つ目は、組み合わせ計算の階乗部分を計算ミスしてしまうことです。
これらのポイントさえ押さえておけば、複雑に見える問題も落ち着いて解けるようになるはずです。
まとめ
今回は八角形の三角形の数について、分割方法を交えながら解説してきました。
頂点を自由に選んでできる三角形の総数は56個で、8C3という組み合わせの計算で求められます。
一方で1つの頂点から対角線を引いて分割する場合の三角形の数は6個で、n引く2というシンプルな式で求められます。
この2つの答えはどちらも八角形の三角形の数を表していますが、意味がまったく異なるという点が最大のポイントです。
さらにn角形における一般公式を知っておけば、五角形や六角形など他の図形の問題にも同じ考え方で対応できるでしょう。
今回紹介した表や図を参考にしながら、ぜひ実際に手を動かして確認してみてください。
計算式の意味を理解したうえで問題に取り組むことで、図形問題への苦手意識も少しずつ解消されていくはずです。
