積分の計算をしていると、単純な公式だけでは太刀打ちできない式に出会うことがあります。
そんなときに頼りになるのが部分積分という手法です。
本記事のタイトルにもある通り、積分の部分積分の公式は？解き方と例題も！（計算方法・パターン・積の公式・漸化式など）という疑問に答えるべく、公式の中身から実際の解き方、頻出パターン、そして漸化式との関係まで丁寧に解説していきます。
部分積分は大学入試の数学Ⅲでも頻出のテーマであり、логを含む関数や指数関数と多項式の積など、幅広い場面で登場します。
公式の形を丸暗記するだけでは応用が利かず、少し形が変わった問題で手が止まってしまう方も多いのではないでしょうか。
そこでこの記事では、公式の意味を理解したうえで、どのように関数を選べばよいのか、どんな計算パターンがあるのかを具体例とともに整理しました。
さらに、部分積分を繰り返し使うことで導かれる漸化式についても触れていきます。
最後まで読んでいただければ、部分積分に対する苦手意識はきっと解消されるはずです。
部分積分の公式の結論
それでは部分積分の公式の結論について解説していきます。
結論から言うと、部分積分の公式は次のような形で表されます。
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x)g(x)dx
この式が積分の部分積分の公式は？という問いに対する最も端的な答えです。
もう一方の関数を先に微分してから積分するのではなく、片方を積分し、もう片方を微分することで式全体を簡単にするのがこの公式の狙いです。
定積分の場合は、次のように端点の値を代入する形になります。
∫[a→b] f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]a→b − ∫[a→b] f'(x)g(x)dx
この公式のポイントは、もとの積の積分を「積分しやすい形」と「微分すると簡単になる形」に分けて処理する点にあります。
次の見出しからは、この結論をもとに公式の考え方や使い方を順番に見ていきます。
公式が成り立つ理由
部分積分の公式は、積の微分公式を積分することで導かれます。
積の微分公式は次の形です。
（f(x)g(x))′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)
この両辺を積分すると、左辺は f(x)g(x) になります。
右辺はそれぞれの項を積分した形になるため、式を整理すると先ほどの部分積分の公式にたどり着くわけです。
つまり部分積分は、まったく新しい理論ではなく積の微分公式の裏返しであるという理解が大切でしょう。
どんな場面で使うのか
部分積分が活躍するのは、異なる種類の関数がかけ合わされている積分です。
たとえば多項式と指数関数、多項式と三角関数、あるいはlogを含む関数の積分などが典型例です。
一方の関数だけを見ても積分できそうにないとき、部分積分を疑ってみると突破口が見えることが多いです。
逆に、同じ種類の関数同士の積や、置換積分で簡単に処理できる形には不向きな場合もあります。
見極めのコツについては、後の見出しで詳しく扱っていきます。
結論のまとめ
ここまでの内容を簡単に整理しておきます。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 公式名 | 部分積分の公式 |
| 不定積分の形 | ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x)g(x)dx |
| 定積分の形 | ∫[a→b] f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]a→b − ∫[a→b] f'(x)g(x)dx |
| 由来 | 積の微分公式 |
| 得意分野 | 多項式×指数関数、多項式×三角関数、log関数を含む式 |
この表の内容を頭に入れておくだけでも、問題を見たときの反応速度は大きく変わるはずです。
部分積分の基本的な考え方
続いては部分積分の基本的な考え方を確認していきます。
部分積分でもっとも重要なのは、どちらの関数を微分する側にし、どちらを積分する側にするかという判断です。
この選択を間違えると、式がどんどん複雑になってしまい、いつまで経っても答えにたどり着けません。
微分する関数の選び方
微分することで次数が下がったり、形がシンプルになったりする関数を優先的に微分する側に選びます。
代表的なのは多項式です。
xの2乗は微分すると2xになり、さらに微分すると定数になるため、次数がどんどん下がっていきます。
一方でlogを含む関数は、そのままでは積分しにくいものの、微分すると分数の形になり扱いやすくなることが多いです。
このため、logを含む式が登場した場合は、logの部分を微分する側に選ぶのが定石でしょう。
積分する関数の選び方
積分してもあまり形が変わらない関数は、積分する側に選ぶのが基本です。
指数関数や三角関数はその代表例です。
eのx乗は何度積分しても形が変わらず、sinやcosも積分すればお互いの形に移り変わるだけで複雑さは増しません。
このような性質を持つ関数を積分側にまわすことで、計算全体をコントロールしやすくなります。
選び方の優先順位
どちらを微分側にするか迷ったときのために、よく使われる優先順位の目安があります。
優先して微分する側に選ぶ順番の目安は、log関数、逆三角関数、多項式、三角関数、指数関数の順です。
頭文字を取って覚える人も多く、この順序を知っておくだけで多くの問題に対応できます。
この優先順位はあくまで目安であり、絶対的なルールではありません。
ただし迷ったときの判断材料としては非常に有効でしょう。
部分積分の解き方の手順
続いては部分積分の解き方の手順を確認していきます。
実際に手を動かして計算する際の流れを、順を追って説明します。
ステップ1 関数を分ける
まずは与えられた式を、微分する関数と積分する関数の二つに分けます。
先ほど紹介した優先順位を参考にしながら、どちらの関数をf(x)、どちらをg'(x)にするかを決めましょう。
ここでの判断が計算全体の難易度を左右するため、慎重に選ぶことが大切です。
ステップ2 g'(x)を積分してg(x)を求める
次に、積分する側に選んだ関数を実際に積分し、g(x)を求めます。
このときの積分定数は省略してかまいません。
公式全体の中で相殺されるため、あえて足す必要はないのです。
ステップ3 公式に代入して整理する
f(x)、f'(x)、g(x)がそろったら、部分積分の公式に代入します。
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x)g(x)dx
右辺に新しくできた積分∫f'(x)g(x)dxが、もとの式より簡単になっているかを確認しましょう。
もし複雑になっているようであれば、最初の関数の選び方を見直す必要があります。
簡単になっていれば、あとはその積分を計算し、最初の式に代入して完成です。
場合によっては、この手順をもう一度繰り返す必要が出てくることもあります。
部分積分の例題と計算パターン
続いては部分積分の例題と代表的な計算パターンを確認していきます。
実際の例題を通して、公式の使い方をより具体的につかんでいきましょう。
多項式×指数関数のパターン
まずはxe^xの積分を考えてみます。
∫xe^xdx
f(x)=x、g'(x)=e^xとおきます。
f'(x)=1、g(x)=e^xとなります。
公式に代入すると、∫xe^xdx = xe^x − ∫e^xdx = xe^x − e^x + C となります。
このように、xの部分を微分してシンプルな定数にしてしまうのがコツです。
指数関数は積分しても形が変わらないため、非常に扱いやすい存在といえるでしょう。
多項式×三角関数のパターン
次にxcosxの積分を見てみます。
∫xcosxdx
f(x)=x、g'(x)=cosxとおきます。
f'(x)=1、g(x)=sinxです。
公式に代入すると、∫xcosxdx = xsinx − ∫sinxdx = xsinx + cosx + C となります。
三角関数は微分と積分を繰り返すとsinとcosが入れ替わるだけなので、次数が下がる多項式との相性が抜群です。
log関数を含むパターン
最後にlogxの積分という、一見すると積の形に見えない例題を扱ってみます。
∫logxdx
logxを1×logxと考え、f(x)=logx、g'(x)=1とおきます。
f'(x)=1/x、g(x)=xです。
公式に代入すると、∫logxdx = xlogx − ∫x×(1/x)dx = xlogx − x + C となります。
g'(x)=1と見なすテクニックは、部分積分の中でも特によく使われる発想です。
単独のlog関数やarctanなどの逆三角関数が出てきたときは、この方法を思い出すとよいでしょう。
ここまで紹介した三つのパターンを覚えておけば、多くの問題に対応できるはずです。
| パターン | 微分する関数 | 積分する関数 |
|---|---|---|
| 多項式×指数関数 | 多項式 | 指数関数 |
| 多項式×三角関数 | 多項式 | 三角関数 |
| log単独 | log関数 | 定数1 |
部分積分と漸化式の関係
続いては部分積分と漸化式の関係を確認していきます。
部分積分は一度使って終わりではなく、同じ操作を繰り返すことで漸化式を作れる場面があります。
漸化式が必要になる理由
xのn乗にe^xやsinxをかけた積分では、部分積分を一回行っても次数がn乗からn−1乗に下がるだけで、まだ積分が完了しません。
そこでもう一度部分積分を行い、これをn回繰り返すことで最終的な答えにたどり着きます。
しかし毎回同じ操作を書き下すのは非常に手間がかかります。
そこで、n回目の積分結果をn−1回目の積分結果を使って表す漸化式を作っておくと便利です。
漸化式の作り方
例として、In = ∫[0→1] x^n e^xdxという定積分を考えます。
f(x)=x^n、g'(x)=e^xとおきます。
f'(x)=nx^(n−1)、g(x)=e^xです。
部分積分を行うと、In = [x^n e^x]0→1 − n∫[0→1] x^(n−1)e^xdx となります。
右側の積分はIn−1にほかならないため、In = e − nIn−1という漸化式が得られます。
このように添え字の異なる同じ形の積分どうしを関係づけるのが漸化式の作り方の基本です。
一度この漸化式さえ作ってしまえば、あとは初期値を代入するだけで次々と値を求められます。
漸化式を使うメリット
漸化式を利用する最大のメリットは、計算量を大幅に減らせる点です。
nが大きな値であっても、部分積分をn回繰り返す必要はなく、一つ前の値さえわかれば次の値を求められます。
大学入試などでも、In−1とInの関係式を求めさせる形式の問題は頻出でしょう。
漸化式そのものを導出する過程は、まさに部分積分の応用力が問われる場面といえます。
公式の暗記だけでなく、導出の流れを自分の手で再現できるようにしておくことをおすすめします。
部分積分でつまずきやすいポイントと対策
続いては部分積分でつまずきやすいポイントとその対策を確認していきます。
公式自体はシンプルでも、実際の計算では思わぬところでミスが起こりがちです。
符号のミス
部分積分の公式にはマイナスが含まれているため、符号を間違えるケースが非常に多いです。
特に、繰り返し部分積分を行う問題では、符号が二重三重に絡み合ってしまい、どこかで間違えてしまうことも珍しくありません。
対策としては、一回計算するごとに式全体を書き直し、符号を丁寧に確認する習慣をつけることが有効です。
積分定数の扱い
途中の計算でg(x)を求める際、積分定数をつけてしまい混乱するケースも見られます。
基本的に部分積分の途中計算では積分定数を省略してよく、最後にまとめて一つだけつければ十分です。
途中で複数の積分定数を書いてしまうと、式がいたずらに長くなり、ミスの温床になってしまうでしょう。
関数の選び方を誤るケース
微分する関数と積分する関数を逆に選んでしまうと、計算がどんどん複雑になっていきます。
もし一回目の部分積分で式がより複雑になったと感じたら、それは関数の選び方が逆である可能性が高いです。
その場合はすぐに選び方を見直し、微分する側と積分する側を入れ替えて再挑戦してみましょう。
この見直しの習慣があるかないかで、問題を解くスピードは大きく変わってくるはずです。
間違いに早く気づき、柔軟に方針転換できるかどうかが、部分積分を得意にする分かれ目でしょう。
まとめ
ここまで、積分の部分積分の公式は？解き方と例題も！（計算方法・パターン・積の公式・漸化式など）というテーマで解説してきました。
部分積分の公式は、∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x)g(x)dxという形で表されます。
この公式は積の微分公式から導かれるものであり、決して独立した特殊な技法ではありません。
実際に使う際は、微分する関数と積分する関数をどう選ぶかが最大のポイントになります。
多項式は微分することで次数が下がり、指数関数や三角関数は積分しても形が大きく変わらないという性質を覚えておきましょう。
log関数や逆三角関数が単独で出てきた場合は、g'(x)=1と考えるテクニックも非常に役立ちます。
さらに、部分積分を繰り返し使う場面では、漸化式を作ることで計算量を大きく減らせることも紹介しました。
符号のミスや積分定数の重複、関数の選び方の誤りなど、つまずきやすいポイントにも注意しながら練習を重ねていくことが大切です。
公式の形を覚えるだけでなく、なぜその形になるのかという理屈まで理解しておくと、応用問題にも柔軟に対応できるようになるでしょう。
ぜひ本記事で紹介した例題やパターンを参考に、実際に手を動かして部分積分の練習を重ねてみてください。
