熱伝導方程式は、温度が時間とともにどのように広がるかを表す代表的な偏微分方程式です。
材料工学、機械設計、建築環境、電子部品の放熱設計など、幅広い分野で使われています。
式だけを暗記すると複雑に感じますが、出発点は小さな領域に対するエネルギー保存則です。
さらにフーリエの法則を組み合わせれば、直交座標系だけでなく、円筒座標系や球座標系、2次元問題にも自然につながります。
この記事では、熱伝導方程式の導出手順を追いながら、各座標系で式がどのように変わるのかをわかりやすく解説します。
熱伝導方程式の基本形
それではまず熱伝導方程式の基本形について解説していきます。
保存則とフーリエの法則の組み合わせ
熱伝導方程式の結論を先に示すと、均質な材料における基本形は、温度をT、時間をt、温度伝導率をαとして表した次の形です。
∂T／∂t ＝ α∇²T
この式は、ある場所の温度変化が、周囲との温度分布の違いによって決まることを示しています。
右辺の∇²Tはラプラシアンと呼ばれ、温度分布の曲がり具合を表す演算子です。
高温部が周囲より強く盛り上がっていれば熱は外へ流れ、低温部がくぼんでいれば周囲から熱が集まります。
この現象を数式として表すために必要なのが、熱エネルギーの収支とフーリエの法則です。
物性値が持つ役割
熱伝導方程式には、熱伝導率λ、密度ρ、比熱cという材料固有の値が登場します。
熱伝導率は熱の伝わりやすさを示し、銅やアルミニウムでは大きく、木材や空気では小さくなります。
密度と比熱の積であるρcは、単位体積の物体を1度上昇させるために必要な熱量に関係します。
熱伝導率が大きくても、温度を変えるために多くの熱を必要とする材料では、温度変化はすぐには進みません。
そこで、熱の広がりやすさを比較するために温度伝導率を用います。
α ＝ λ／ρc
αが大きい材料は、受け取った熱を内部へすばやく広げる傾向があります。
熱伝導率と温度伝導率は似た言葉でも意味が異なるため、計算時には混同しないことが重要です。
熱伝導方程式が表す現象
熱伝導方程式は、熱が高温側から低温側へ流れる現象を時間変化として記述します。
たとえば、冷たい金属板の片面を加熱すると、最初は加熱面だけが高温になります。
時間の経過に伴って熱は内部へ移動し、反対側の温度も徐々に上昇します。
このとき、各位置の温度を予測するために用いられるのが非定常熱伝導の式です。
一方、十分な時間が経って温度分布が変わらなくなれば、時間微分項はゼロになります。
その場合はラプラス方程式、または内部発熱がある場合のポアソン方程式として扱うことになります。
熱伝導方程式は、熱の流れそのものではなく、熱の出入りによって生じる温度の変化を扱う式です。
導出では、流入熱量、流出熱量、内部発熱、内部エネルギーの増減を同じ基準で整理します。
微小要素におけるエネルギー保存則
続いては微小要素におけるエネルギー保存則を確認していきます。
直方体要素への熱収支
直交座標系で熱伝導方程式を導く際には、辺の長さがdx、dy、dzの小さな直方体を考えます。
この要素に流れ込む熱量と流れ出る熱量の差が、要素内に蓄えられる熱エネルギーの変化になります。
x方向の熱流束をqxとすると、左側の面から入る熱量はqxに面積dy dzを掛けた量です。
右側の面から出る熱流束は、位置xからdxだけ離れた場所の熱流束で決まります。
右側の熱流束はテイラー展開を用いて、qx＋∂qx／∂x dxと近似できます。
そのため、x方向における正味の流入熱量は、負の符号を含む熱流束の微分として整理されます。
x方向の正味流入熱量 ＝ －∂qx／∂x dx dy dz
同じ考え方をy方向とz方向にも適用します。
3方向すべてを合計すると、熱流束の発散の負号が、微小要素へ入る正味の伝導熱量となります。
この段階ではまだ温度の二階微分は登場せず、熱流束の収支として表現されている点がポイントです。
内部発熱を含めた収支
材料内部で熱が発生する場合は、伝導による流入出だけでは熱収支が完結しません。
たとえば電流が流れる導体のジュール熱、化学反応による発熱、放射線の吸収などが内部発熱にあたります。
単位体積あたり、単位時間あたりの発熱量をqvとすると、微小要素内で発生する熱量はqv dx dy dzです。
ここでqvの単位はW／m³となります。
熱源がない問題ではqvをゼロと置けますが、発熱体を含む設計では省略できません。
| 熱収支の要素 | 内容 | 代表的な単位 |
|---|---|---|
| 流入熱量 | 周囲から微小要素へ入る伝導熱 | W |
| 流出熱量 | 微小要素から周囲へ出る伝導熱 | W |
| 内部発熱 | 要素内で生まれる熱エネルギー | W |
| 蓄熱量 | 温度変化として要素に蓄えられる熱 | W |
内部発熱は、温度勾配がなくても温度を上昇させる要因です。
そのため、ヒーターや半導体チップを扱う場合には、境界条件だけでなく発熱分布も確認する必要があります。
内部エネルギーの時間変化
微小要素の温度がわずかに変化すると、要素内部に蓄えられた熱エネルギーも変化します。
体積がdx dy dzで、密度がρ、比熱がc、温度がTであるとき、単位時間あたりの蓄熱量はρc ∂T／∂t dx dy dzとなります。
これが左辺に現れる蓄熱項です。
熱収支は、正味の伝導熱量と内部発熱の合計が蓄熱量に等しいという関係で表せます。
式としては、熱流束の発散を用いて次のように整理できます。
－∇・q＋qv ＝ ρc ∂T／∂t
ここでqは熱流束ベクトルを表し、左辺は微小要素に加わる熱、右辺は温度変化に必要な熱です。
この形は座標系に依存しない一般形です。
円筒座標系や球座標系へ展開する際にも、保存則そのものは変わりません。
フーリエの法則と直交座標系
続いてはフーリエの法則と直交座標系を確認していきます。
温度勾配と熱流束の関係
フーリエの法則は、熱伝導における最も基本的な構成式です。
1次元のx方向だけを考える場合、熱流束qxは温度勾配に比例し、符号は反対になります。
qx ＝ －λ ∂T／∂x
負の符号は、熱が温度の高い場所から低い場所へ流れることを表します。
右へ行くほど温度が高いなら∂T／∂xは正ですが、熱は左向きに流れるためqxは負になります。
この符号の意味を理解しておくと、導出途中で符号を取り違えにくくなります。
温度そのものではなく温度勾配が熱流束を決めることが、フーリエの法則の中心です。
3次元直交座標系での導出
等方性の材料では、熱伝導率λは方向によらず一定とみなせます。
この場合、各方向の熱流束はそれぞれ温度の偏微分で表せます。
qxは－λ∂T／∂x、qyは－λ∂T／∂y、qzは－λ∂T／∂zです。
これらを保存則へ代入すると、熱流束の発散は温度の二階微分の和へ置き換わります。
物性値が温度や位置によって変化しないなら、一般的な3次元熱伝導方程式は次の形になります。
ρc ∂T／∂t ＝ λ（∂²T／∂x²＋∂²T／∂y²＋∂²T／∂z²）＋qv
内部発熱がなく、λ、ρ、cが一定であれば、両辺をρcで割ることで温度伝導率αを使った表現になります。
この式は、板材、ブロック、電子基板、建材など、直交座標系で扱いやすい形状の解析に適しています。
1次元と2次元への簡略化
対象の温度がx方向にしか変化しない場合、y方向とz方向の二階微分はゼロとみなせます。
これにより、1次元非定常熱伝導方程式が得られます。
一方、薄い板の面内温度分布を考える場合には、x方向とy方向を残した2次元熱伝導方程式を使います。
厚み方向の温度差が十分に小さいことを確認できるなら、計算量を大きく減らせるでしょう。
| 対象の考え方 | 使用する座標 | 温度分布の主な方向 |
|---|---|---|
| 細長い棒 | x | 長さ方向のみ |
| 薄板の面内 | xとy | 幅と長さ方向 |
| 立方体部品 | xとyとz | 3方向すべて |
| 円柱部品 | rとθとz | 半径、周方向、軸方向 |
モデルを単純化する際には、不要な方向を消す根拠が必要です。
形状の薄さ、対称性、境界条件を確認してから次元数を選ぶと、計算の信頼性が高まります。
円筒座標系と球座標系の展開
続いては円筒座標系と球座標系の展開を確認していきます。
円筒座標系におけるラプラシアン
配管、円柱、モーター軸、ケーブルのような円形断面を持つ対象では、直交座標系より円筒座標系の方が扱いやすくなります。
円筒座標系では、位置を半径r、周方向θ、軸方向zで表します。
温度がTである場合、ラプラシアンには半径方向の面積変化を反映した項が加わります。
∇²T ＝ 1／r ∂／∂r（r ∂T／∂r）＋1／r² ∂²T／∂θ²＋∂²T／∂z²
直交座標系の二階微分の和と異なり、1／rが含まれる理由は、半径が大きくなるほど熱が通過する円筒面の面積が増えるためです。
この幾何学的な違いを反映するため、円筒座標系では単純な二階微分だけでは不十分になります。
軸対称円筒の熱伝導
円柱の周方向に温度差がなく、軸方向の変化も無視できる場合、温度は半径rだけの関数になります。
この状態を軸対称1次元問題と呼びます。
円柱や中空管の半径方向熱伝導では、式は次のように簡略化されます。
ρc ∂T／∂t ＝ λ 1／r ∂／∂r（r ∂T／∂r）＋qv
中空円筒の定常熱伝導では、温度分布が対数関数になることがあります。
これは平板の直線的な温度分布とは異なる特徴です。
配管の断熱設計では、内面温度、外面温度、管材の熱伝導率、保温材の厚みを組み合わせて検討します。
円筒形状では熱の通り道の面積が半径で変化するため、平板と同じ感覚で扱わないことが大切です。
球座標系における半径方向の熱拡散
球状粒子、球形タンク、液滴、カプセル、惑星内部などでは球座標系を利用します。
球座標系では、半径方向に進むほど熱が通る球面積が急速に大きくなります。
球対称で温度が半径rだけに依存するとき、ラプラシアンは次の形です。
∇²T ＝ 1／r² ∂／∂r（r² ∂T／∂r）
したがって、球対称の非定常熱伝導方程式では、この項に熱伝導率を掛け、蓄熱項と内部発熱項を組み合わせます。
中心rがゼロになる場所では1／rや1／r²が含まれるため、数値計算では特別な扱いが必要です。
ただし物理的には、球の中心で温度が有限であり、中心を通る熱流束が不自然に発散しないという条件を使えば整理できます。
二次元熱伝導と境界条件
続いては二次元熱伝導と境界条件を確認していきます。
二次元熱伝導方程式の形
薄板や基板の温度分布を求める場合、x方向とy方向の2次元モデルがよく用いられます。
物性値が一定で、内部発熱がある場合の式は次のように表せます。
ρc ∂T／∂t ＝ λ（∂²T／∂x²＋∂²T／∂y²）＋qv
時間が十分に経過して定常状態になれば、∂T／∂tはゼロになります。
さらに内部発熱もなければ、二次元ラプラス方程式となります。
この式はヒートシンク、窓ガラス、壁面、金属板、回路基板などの温度分布を考える基礎になります。
温度が一方向だけで変わると仮定できるなら1次元モデルで済みますが、角部や局所発熱部では2次元性が強く表れます。
温度指定と熱流束指定の境界条件
熱伝導方程式を解くには、初期条件と境界条件が必要です。
初期条件は、解析を始める時点の物体内部の温度分布を指します。
境界条件は、表面で温度や熱の出入りをどのように与えるかを決めるものです。
代表例として、表面温度を指定する条件、熱流束を指定する条件、断熱条件があります。
| 境界条件 | 与える内容 | 使用例 |
|---|---|---|
| 温度指定境界 | 表面温度Tを一定値で与える | 恒温槽に接する壁面 |
| 熱流束指定境界 | 表面を通る熱流束を与える | ヒーター面、入熱面 |
| 断熱境界 | 法線方向の温度勾配をゼロとする | 対称面、十分な断熱面 |
| 対流境界 | 周囲流体との熱伝達で決める | 空気に触れる部品表面 |
断熱条件は熱がゼロという意味ではなく、対象表面を横切る熱流束がゼロという意味です。
また、対称面を断熱境界として扱える場面も多くあります。
境界条件の設定は方程式そのものと同じほど重要であり、実際の現象に合わない設定では計算結果も信頼できません。
対流境界と熱伝達率
固体表面が空気や水などの流体に接しているときは、対流による熱移動を考慮します。
表面温度をTs、周囲流体温度をT∞、熱伝達率をhとすると、対流熱流束は温度差に比例します。
q ＝ h（Ts－T∞）
熱伝達率は流速、流体の種類、表面状態、姿勢などで変化します。
自然対流と強制対流でも値は大きく異なるため、一律の数値を使うのは注意が必要です。
放熱解析では、伝導方程式の内部計算だけでなく、表面から空気へ逃げる熱量の見積もりが結果を左右します。
熱伝導方程式は固体内部の温度変化を扱います。
実務では表面の対流、必要に応じて放射、接触熱抵抗も加え、実際の熱移動経路を再現します。
導出時の注意点と活用場面
続いては導出時の注意点と活用場面を確認していきます。
定数物性と温度依存物性の違い
基本的な熱伝導方程式では、熱伝導率、密度、比熱を一定として扱うことが多くあります。
この仮定は導出を理解するうえで便利ですが、温度範囲が大きい場合には精度に影響します。
金属、樹脂、断熱材などは、温度によって熱伝導率や比熱が変化することがあります。
物性値が位置や温度に依存する場合、λを微分の外へ出すことはできません。
その場合は、∇・（λ∇T）という形を保ったまま計算する必要があります。
一定物性の式は便利な近似であることを意識すると、解析条件を適切に判断できます。
異方性材料と複合材料
木材、繊維強化樹脂、積層基板、結晶材料などでは、方向によって熱の伝わりやすさが異なることがあります。
このような異方性材料では、熱伝導率を単一の値ではなく、方向成分を持つテンソルとして扱います。
また、異なる材料が接触する複合部品では、境界で温度は連続していても、熱伝導率の違いによって温度勾配は変化します。
接触面に隙間や粗さがある場合には、接触熱抵抗も無視できないでしょう。
電子部品の放熱では、チップ、はんだ、基板、放熱シート、ヒートシンクの界面が連続しているため、各層の熱抵抗を整理することが重要です。
材料の境界は温度分布が変化しやすい場所であり、メッシュ分割や測定位置の検討でも注目されます。
数値解析へつなげる考え方
複雑な形状や時間変化を伴う問題では、熱伝導方程式を解析解だけで解くことは難しくなります。
そのため、有限差分法や有限要素法を使い、対象を小さな要素へ分けて近似計算します。
有限差分法では温度の微分を格子点間の差で表し、時間を小さなステップに区切って温度を更新します。
有限要素法では形状を要素で分割し、複雑な境界や材料分布を扱いやすくします。
どちらの方法でも、基礎にあるのは保存則とフーリエの法則です。
数値解析ソフトを使う場合でも、方程式、物性値、発熱量、初期条件、境界条件の意味を理解することが重要です。
入力条件が現象と合っているかを確認することが、温度コンター図を正しく読む第一歩になります。
まとめ
熱伝導方程式の導出は、微小要素に対するエネルギー保存則から始まります。
要素へ流れ込む熱、要素から流れ出る熱、内部発熱、蓄熱量を整理し、そこへフーリエの法則を代入することで温度の偏微分方程式が得られます。
物性値が一定で内部発熱がない場合は、∂T／∂t ＝ α∇²Tという簡潔な基本形になります。
直交座標系では温度の二階微分の和として表され、円筒座標系では半径方向の面積変化を反映した項が加わります。
球座標系でも同様に、球面積の変化を考慮したラプラシアンを使います。
2次元問題では、対象の形状、温度変化の方向、境界条件を見極めることが欠かせません。
保存則、フーリエの法則、境界条件の3点を順に押さえれば、熱伝導方程式の導出と活用の流れを理解しやすくなるでしょう。
