誘導起電力の公式と求め方は？ファラデーの法則から導き方を解説！（式・vbl・磁束）
コイルや導線の近くで磁石を動かすと電流が生じる現象は、電磁誘導と呼ばれます。
このとき発生する電圧が誘導起電力であり、発電機、変圧器、IH調理器、ワイヤレス充電など、多くの電気製品の基本となる重要な考え方です。
誘導起電力の問題では、磁束の変化を使う公式と、導体が磁界を横切るときのvBlの公式を区別することがポイントになります。
本記事ではファラデーの法則を土台に、公式の意味、導き方、計算例、符号の考え方まで順番に整理します。
誘導起電力の公式と結論
それではまず誘導起電力の公式と考え方について解説していきます。
磁束の変化を表すファラデーの法則
誘導起電力Eは、コイルを通り抜ける磁束Φが時間とともに変化するときに発生します。
最も基本となるファラデーの電磁誘導の法則は、次のように表されます。
E＝−NΔΦ÷Δt
Eは誘導起電力、Nはコイルの巻数、ΔΦは磁束の変化量、Δtは変化にかかった時間を表します。
瞬間的な変化まで扱う場合には、E＝−N dΦ÷dtという微分の式が用いられます。
誘導起電力の大きさは、磁束が短時間で大きく変化するほど大きくなると覚えると、公式の意味をつかみやすいでしょう。
磁束が一定なら、磁界が強くても誘導起電力は生じません。
反対に、磁石の強さが同じでも、コイルへ近づける速さを上げれば磁束の変化が急になり、発生する電圧も大きくなります。
マイナス記号とレンツの法則
公式に付いているマイナス記号は、電圧の大きさが負になることを意味するものではありません。
これは誘導電流の向きが、磁束の変化を妨げる向きに決まるというレンツの法則を示しています。
たとえばコイルを通る磁束が増えるとき、誘導電流は増加を打ち消す向きの磁界を作ります。
磁束が減るときには、減少を補おうとする向きに磁界を作る電流が流れます。
マイナス記号は変化に逆らう向きを示す記号です。
計算で大きさだけを問われた場合は、E＝N｜ΔΦ｜÷Δtとして絶対値で扱います。
向きを問う問題では、磁界の向き、磁束の増減、誘導電流が作る磁界の順に考えると混乱を減らせます。
誘導起電力の単位と基本量
誘導起電力の単位はVであり、電圧と同じボルトを使います。
磁束の単位はWbで、ウェーバと読みます。
磁束密度Bの単位はTで、テスラです。
磁束は磁束密度だけで決まるのではなく、磁界を通る面積と面の向きにも左右されます。
面積Sを磁界に垂直な向きへ置いた場合、磁束はΦ＝BSとなります。
面の法線と磁界のなす角をθとする一般的な場合には、Φ＝BS cosθです。
磁束は磁界そのものではなく、ある面をどれだけ磁力線が通過するかを表す量と考えると、式の役割を区別できます。
ファラデーの法則からの導き方
続いてはファラデーの法則から公式がどのように導かれるかを確認していきます。
磁束と面積の関係
一様な磁界の中に面積Sのコイルがあり、コイル面に垂直な方向へ磁界が通っているとします。
このときコイルを通る磁束は、Φ＝BSで求められます。
磁束密度Bが大きくなれば、同じ面積を通る磁束も増加します。
また、Bが変わらなくてもコイルの面積Sが広がれば、通過する磁束は増える仕組みです。
コイルを傾けた場合には、磁界に垂直な投影面積が小さくなるため、Φ＝BS cosθを使います。
角度θが0度ならcosθは1となり、磁束は最大です。
角度θが90度ならcosθは0となるため、コイル面を通る磁束は0になります。
磁束の変化率と起電力
コイルを通る磁束がΦ1からΦ2へ変化したとき、磁束の変化量はΔΦ＝Φ2−Φ1です。
この変化がΔt秒で起きれば、1秒あたりの磁束変化はΔΦ÷Δtとなります。
コイルが1巻きなら、誘導起電力の大きさは磁束変化率に等しくなります。
巻数がN巻きなら、各巻きに発生する起電力が重なり合うため、全体の起電力はN倍です。
磁束が0.020Wbから0.080Wbへ0.50秒で変化し、コイルが100巻きの場合を考えます。
E＝100×｜0.080−0.020｜÷0.50＝12V
ここでは磁束の変化量が0.060Wbであり、巻数と変化時間を反映すると12Vの誘導起電力になります。
磁束の値そのものではなく、変化前と変化後の差に注目することが計算の要点です。
磁束が変わる三つの方法
誘導起電力を生むには、コイルを通る磁束を変化させればよく、方法は一つに限られません。
代表的なのは、磁束密度Bを変える、コイルの面積Sを変える、磁界との角度θを変えるという三つです。
| 変化させる量 | 具体例 | 誘導起電力が生じる理由 |
|---|---|---|
| 磁束密度B | 磁石を近づける、電磁石の電流を変える | コイルを貫く磁力線の密度が変わるため |
| 面積S | 導線の枠を広げる、縮める | 磁界を通る面積が増減するため |
| 角度θ | コイルを回転させる | 磁界に垂直な投影面積が変わるため |
| コイルの位置 | 磁界の強い場所へ移動する | 場所ごとの磁束密度が異なるため |
発電機では主にコイルまたは磁石を回転させ、角度を連続的に変えることで交流の誘導起電力を作ります。
変圧器ではコイルを動かさず、交流によって磁束密度を変化させる方式です。
vBlの公式と導体の運動
続いてはvBlの公式と、導線を動かす場合の計算を確認していきます。
vBlで表せる条件
長さlの導体棒が、磁束密度Bの一様な磁界の中を速さvで動くとき、条件が整えば誘導起電力はE＝Blvで求められます。
学校の教科書ではE＝vBlと書かれることもあり、掛け算の順番が違うだけで同じ意味です。
この公式は、導体棒の動く向き、磁界の向き、導体棒の長さの向きが互いに垂直である場合に使います。
E＝Blv
Bは磁束密度T、lは磁界内にある導体の有効な長さm、vは導体の速さm毎秒です。
単位を確認すると、T×m×m毎秒はVとなります。
vBlは導体が磁力線を横切る運動をするときに便利な公式であり、コイル全体の磁束変化を直接計算する式とは使い分けが必要です。
ローレンツ力とのつながり
導体棒の中には自由に動ける電子が存在します。
導体棒が磁界の中を移動すると、電子は磁気による力を受けて一方の端へ偏ります。
すると導体棒の両端に電位差が生じ、これが誘導起電力になります。
電子に働く磁気的な力の大きさは、電荷をqとするとqvBで表せます。
電荷の偏りによる電場の力と磁気による力がつり合うとき、導体棒内の電場の大きさはvBとなります。
電場に長さlを掛けると電圧になるため、E＝vBlが得られます。
この説明からも、導体の運動方向が磁界と平行なら磁気的な力が働かず、誘導起電力が生じないことが分かります。
vBlを使う計算例
磁束密度0.50Tの一様な磁界に、長さ0.20mの導体棒を垂直に置きます。
この棒を磁界にも棒にも垂直な向きへ3.0m毎秒で動かす場合を考えましょう。
E＝0.50×0.20×3.0＝0.30Vとなります。
速さを2倍にすれば誘導起電力も2倍になり、導体の長さを半分にすれば起電力は半分です。
vBlのlは導線全体の長さではなく、磁界を横切る有効な長さです。
磁界の外に出ている部分や、運動に寄与しない部分まで加えないよう注意しましょう。
角度が垂直ではない場合、運動方向と磁界のなす角をαとして、E＝Blv sinαで扱います。
αが90度ならsinαは1となり、誘導起電力は最大になります。
磁束と交流発電機の関係
続いては磁束の変化と交流発電機の関係を確認していきます。
回転コイルに生じる磁束変化
発電機では、磁界の中でコイルを一定の角速度で回転させます。
コイルの面積S、磁束密度B、コイルの巻数Nが一定でも、回転によって角度θが変化するため磁束は一定ではありません。
回転開始からの時間をt、角速度をωとすると、角度はωtで表せます。
このときコイル1巻きを通る磁束は、Φ＝BS cosωtです。
N巻きのコイルでは磁束鎖交数がNBS cosωtとなります。
磁束が最大の瞬間には、変化の速さは0になります。
反対に、磁束が0を通過する瞬間には変化が最も急となり、誘導起電力は最大です。
交流起電力の式
ファラデーの法則を回転コイルの磁束へ適用すると、誘導起電力は時間とともに正負を繰り返します。
大きさに着目した式はE＝NBSω sinωtです。
最大値をE0と置くと、E＝E0 sinωtと簡潔に表せます。
ここでE0＝NBSωであり、最大誘導起電力と呼ばれます。
交流では電圧の向きが周期的に反転するため、符号が時間とともに変わる点が直流との大きな違いです。
コイルの回転が速いほど角速度ωが大きくなり、磁束の変化も急になるため、発生する交流電圧の最大値は大きくなります。
周波数と回転数の考え方
交流の周波数fは、1秒間に電圧が何回繰り返すかを示す量で、単位はHzです。
角速度との関係はω＝2πfで表されます。
周波数が50Hzなら、電圧は1秒間に50回の周期を持ちます。
日本の家庭用交流には地域によって50Hzと60Hzがあり、発電設備や電力系統の運用に関係しています。
単純な2極発電機では、コイルが1回転すると電圧は1周期変化します。
磁極の数を増やすと、同じ回転数でも多くの周期を発生させることが可能です。
発電機の設計では、必要な周波数、回転数、磁極数を組み合わせて調整します。
誘導起電力の求め方と注意点
続いては誘導起電力を求める手順と、間違えやすい点を確認していきます。
公式を選ぶための判断
問題文を読んだら、最初に何が変化しているのかを確認します。
磁束の変化量、コイルの巻数、時間が与えられているなら、E＝N｜ΔΦ｜÷Δtを選びます。
一様な磁界中を導体棒が動く速さ、長さ、磁束密度が与えられているなら、E＝Blvが基本です。
| 問題文に出やすい条件 | 主に使う公式 | 確認するポイント |
|---|---|---|
| 磁束が変化した | E＝N｜ΔΦ｜÷Δt | 変化前後の差と巻数 |
| コイルを回転させた | E＝NBSω sinωt | 角度と最大値の区別 |
| 導体棒を動かした | E＝Blv | 三方向が垂直かどうか |
| 角度を付けて動かした | E＝Blv sinα | sinを掛ける角度 |
| 面積や磁界を変えた | Φ＝BS cosθから計算 | 磁束を先に求める |
公式を暗記だけで選ぶのではなく、磁束を変えている原因を見つけることが正確な解法につながります。
単位換算と有効数字
誘導起電力の計算では、接頭語の換算ミスが起こりやすいため注意が必要です。
ミリは10のマイナス3乗、マイクロは10のマイナス6乗、キロは10の3乗を表します。
たとえば200mTは0.200Tであり、50cmは0.50mです。
時間がミリ秒で与えられた場合も、秒へ換算してから公式へ代入します。
T、m、s、Wbへそろえてから計算することが、単位の整合性を保つ基本です。
答えがVになるかを最後に確認すると、桁の誤りに気付きやすくなります。
有効数字を問われる問題では、与えられた数値の桁数に合わせて答えを整理します。
途中計算では桁を多めに残し、最後に丸めるほうが安全でしょう。
向きを問う問題の解き方
誘導電流の向きは、レンツの法則と右ねじの法則を組み合わせて判断します。
まず、外部磁界による磁束が増えているのか減っているのかを決めます。
次に、その変化を妨げる向きの磁界をコイルが作ると考えます。
最後に、その磁界を作る電流の向きを右ねじの法則で求めます。
紙面の手前向きを表す記号と、紙面の奥向きを表す記号を取り違えないことも大切です。
導体棒の問題では、フレミング右手の法則を補助的に使う方法もあります。
ただし、なぜその向きになるのかを説明する根拠は、磁束変化を妨げるレンツの法則にあります。
向きの問題は答えを急がず、磁束の増減を言葉で確認してから図へ戻ると安定します。
誘導起電力の公式のまとめ
誘導起電力は、コイルや導体を通る磁束が変化するときに発生する電圧です。
基本公式はE＝−NΔΦ÷Δtであり、大きさだけを求める場合は磁束変化量の絶対値を使います。
磁束はΦ＝BS cosθで表され、磁束密度、面積、角度のいずれかが変われば誘導起電力が生じます。
導体棒が一様な磁界を横切って動く問題では、E＝Blvを使うと効率よく計算できます。
磁束の変化率、コイルの巻数、運動方向と磁界の関係を整理すれば、公式の使い分けは難しくありません。
ファラデーの法則とレンツの法則をセットで理解し、発電機や変圧器の仕組みへつなげていきましょう。
