図形問題の中でも六角形の角度に関する質問は、学年を問わずよく登場します。
特に正六角形の内角がなぜ120度になるのか、その仕組みがあいまいなまま暗記だけしている方も多いのではないでしょうか。
この記事では六角形の角度は？1つの内角の求め方も！というテーマに沿って、内角の和の考え方から正六角形の1つの内角の求め方まで、順を追って丁寧に解説していきます。
結論から確認したい方のために、まずは答えとなる数値と計算の流れを冒頭でお伝えします。
そのうえで、なぜその計算式になるのかという理屈の部分もしっかり掘り下げていきます。
公式を覚えるだけでなく、図形をイメージしながら理解できるように構成していますので、最後まで読み進めてみてください。
六角形の内角の和は720度、正六角形の1つの内角は120度です
それではまず六角形の角度は？という問いに対する結論について解説していきます。
六角形の内角の和は720度です。
そして正六角形のようにすべての辺と角が等しい図形の場合、1つの内角の大きさは120度になります。
この120度という数字は、720度を6つの角で均等に分けることで求められます。
720÷6＝120
つまり正六角形の1つの内角は120度です。
なぜ720という数字が出てくるのか、疑問に思う方も多いでしょう。
これは六角形を三角形に分割したときの三角形の数と関係しています。
六角形は内部から対角線を引くことで、4つの三角形に分けることができます。
三角形1つの内角の和は180度と決まっているため、4つ分をかけ合わせると720度という答えにたどり着きます。
六角形の内角の和は720度、正六角形の1つの内角は120度です。
この2つの数字さえ覚えておけば、六角形に関するほとんどの角度の問題に対応できます。
ただし、すべての六角形が正六角形とは限りません。
辺の長さや角の大きさがバラバラな六角形の場合、内角の和は720度のままですが、1つ1つの角度は異なります。
正六角形かどうかを確認したうえで、120度という数字を当てはめるかどうかを判断することが大切でしょう。
六角形の内角の和が720度である理由
六角形の内角の和が720度になる理由は、図形を三角形に分解して考えるとわかりやすいです。
六角形には6つの頂点がありますが、1つの頂点から残りの頂点に向かって対角線を引くと、図形全体が三角形に分割されます。
六角形の場合、1つの頂点から引ける対角線は3本で、これによって4つの三角形ができあがります。
三角形1つあたりの内角の和は常に180度なので、4つ分をかけると720度になるという流れです。
正六角形の1つの内角が120度になる仕組み
正六角形は6つの辺の長さがすべて等しく、6つの角の大きさもすべて等しい図形です。
内角の和720度を、等しい6つの角で均等に分けるとどうなるでしょうか。
720度を6で割ると120度になり、これが正六角形の1つの内角の大きさです。
正六角形以外の六角形では角がすべて等しいとは限らないため、この割り算がそのまま使えるわけではありません。
720÷6という計算式の意味
720÷6という式は、単なる暗記の公式ではありません。
720は六角形全体の内角の和、6は角の数を表しています。
全体を等分するという考え方が、この割り算の本質です。
正三角形や正方形など、他の正多角形でも同じ考え方で1つの内角を求めることができます。
六角形の内角の和の求め方を確認していきます
続いては六角形の内角の和の求め方について確認していきます。
先ほど720度という答えをお伝えしましたが、この数字を導き出す公式も存在します。
多角形の内角の和は、次の式で求めることができます。
多角形の内角の和＝180×（n－2）
nは多角形の辺の数（角の数）を表します。
六角形の場合、辺の数は6なので、この式にnとして6を当てはめます。
180×（6－2）＝180×4＝720
よって六角形の内角の和は720度です。
この公式は六角形だけでなく、五角形や七角形、八角形などあらゆる多角形に応用できます。
公式の中の「n－2」という部分は、多角形を三角形に分割したときにできる三角形の数を表しています。
つまりこの公式そのものが、三角形分割という考え方をそのまま数式にしたものといえるでしょう。
多角形の内角の和の公式
多角形の内角の和を求める公式は180×（n－2）です。
この公式さえ覚えておけば、どんな多角形の内角の和も計算できます。
三角形はn＝3なので180×1＝180度、四角形はn＝4なので180×2＝360度になります。
五角形、六角形と辺の数が増えるにつれて、内角の和も180度ずつ増えていく仕組みです。
六角形を三角形に分割して考える方法
公式を丸暗記するのではなく、実際に図形を分割して確認する方法もおすすめです。
六角形の1つの頂点を選び、そこから他の頂点に向かって線を引いてみましょう。
隣り合う頂点以外のすべての頂点に線を引くと、六角形の内部が4つの三角形に分かれます。
三角形の数を数えることで、公式の「n－2」という部分の意味が実感として理解できるはずです。
720度になる理由をもう一度確認
ここまでの内容を整理すると、六角形の内角の和が720度になる理由は明確です。
六角形は4つの三角形に分割でき、三角形1つの内角の和は180度です。
180度が4つ分集まることで、720度という数字が導かれます。
暗記するだけでなく、この分割のイメージを持っておくと応用問題にも対応しやすいでしょう。
正六角形の1つの内角の求め方を確認していきます
続いては正六角形の1つの内角の求め方について確認していきます。
正六角形とは、すべての辺の長さとすべての角の大きさが等しい六角形のことです。
身近な例でいえば、蜂の巣の断面や、六角レンチの断面などが正六角形の形に近いといえます。
正多角形の1つの内角を求める公式は、次のようになります。
正多角形の1つの内角＝180×（n－2）÷n
正六角形の場合、n＝6なので180×（6－2）÷6＝120度です。
この計算方法を覚えておけば、正五角形や正八角形など他の正多角形にも応用できます。
実際に正五角形で計算してみると、180×（5－2）÷5＝108度となり、正六角形とは異なる角度になることが確認できます。
辺の数が増えるほど、1つの内角の大きさも大きくなっていく傾向があります。
| 正多角形の名称 | 辺の数 | 内角の和 | 1つの内角の大きさ |
|---|---|---|---|
| 正三角形 | 3 | 180度 | 60度 |
| 正方形 | 4 | 360度 | 90度 |
| 正五角形 | 5 | 540度 | 108度 |
| 正六角形 | 6 | 720度 | 120度 |
| 正七角形 | 7 | 900度 | 約128.6度 |
| 正八角形 | 8 | 1080度 | 135度 |
表を見ると、辺の数が増えるほど1つの内角も少しずつ大きくなっていくことがわかります。
正六角形の120度という角度は、正方形の90度と正八角形の135度のちょうど中間あたりに位置しているといえるでしょう。
720÷6＝120度という計算方法
正六角形の1つの内角を求める最もシンプルな方法は、内角の和720度を角の数6で割ることです。
720÷6という計算はとても単純ですが、その背景には多角形の性質が反映されています。
すべての角が等しいという正多角形ならではの条件があるからこそ、この割り算が成立します。
一般の六角形では角度がバラバラなので、この方法は使えない点に注意が必要です。
正多角形の内角を求める公式の使い方
180×（n－2）÷nという公式は、あらゆる正多角形に対応できる万能な式です。
nの部分に辺の数を当てはめるだけで、1つの内角の大きさがすぐに求められます。
計算の順番としては、まず内角の和を求め、そのあとで角の数で割るという2段階の流れになっています。
この2段階を分けて考えることで、計算ミスも減らせるはずです。
具体例で確認する計算方法
実際に数値を当てはめて計算する練習をしてみましょう。
例えば正六角形の内角の和は720度、角の数は6です。
720÷6を計算すると答えは120になります。
単位を忘れずに120度と答えることで、正しい解答になります。
六角形の外角についても確認していきます
続いては六角形の外角について確認していきます。
内角とセットで理解しておきたいのが外角という概念です。
外角とは、多角形の1つの辺を延長したときにできる角のことを指します。
多角形の外角の和は、辺の数に関係なく常に360度になるという性質があります。
多角形の外角の和は、三角形でも六角形でも十角形でも必ず360度です。
この性質は図形の種類を問わず成り立つため、覚えておくととても便利でしょう。
正六角形の場合、6つの外角がすべて等しいので、360度を6で割ることで1つの外角の大きさが求められます。
360÷6＝60
正六角形の1つの外角は60度です。
内角と外角は、1つの頂点においてつねに合計180度になるという関係があります。
正六角形の内角は120度なので、180から120を引くと外角の60度と一致することが確認できます。
この関係を使えば、内角がわかっている場合に外角を、外角がわかっている場合に内角を求めることも可能です。
外角の和は常に360度
外角の和が常に360度になる理由は、多角形の周りを一周するイメージで考えるとわかりやすいです。
図形の辺に沿って進み、頂点で向きを変えるたびに外角分だけ方向が変わります。
1周してもとの向きに戻るということは、方向転換の合計が360度になるということを意味します。
これは六角形に限らず、どんな多角形にも当てはまる性質です。
正六角形の1つの外角は60度
正六角形の1つの外角は60度になります。
60度という数字は、正三角形の1つの内角と同じ大きさです。
実は正六角形は、6つの正三角形を組み合わせることでも作ることができます。
この関係性からも、60度という角度が正六角形と深く結びついていることがわかるでしょう。
内角と外角の関係
内角と外角は、1つの頂点において合計すると必ず180度になります。
これは直線の角度が180度であることと関係しています。
内角がわかれば180から引くだけで外角が求められ、逆に外角がわかれば180から引くだけで内角が求められます。
この関係を利用すると、内角の和の公式を使わずに外角から内角を逆算することもできるでしょう。
六角形に関するよくある疑問を確認していきます
続いては六角形に関するよくある疑問について確認していきます。
ここまで内角と外角の求め方を解説してきましたが、それでも疑問が残る方もいるのではないでしょうか。
ここではよくある質問に答える形で、理解をさらに深めていきます。
六角形の内角の和はなぜ720度なのでしょうか
この疑問については、すでに三角形分割の考え方で解説した通りです。
六角形は対角線によって4つの三角形に分けられ、180度×4で720度になります。
公式で覚えるだけでなく、実際に図を書いて三角形に分けてみると納得しやすいでしょう。
紙に六角形を描き、対角線を引いてみる作業はとても効果的な理解の助けになります。
正六角形以外の六角形の角度はどうなるのでしょうか
正六角形ではない一般的な六角形の場合、内角の和は変わらず720度です。
ただし、1つ1つの角度は図形によってバラバラになります。
すべての角が等しいとは限らないため、720÷6という計算はそのままでは使えません。
それぞれの角度を求めるには、他の角度の情報や図形の性質を個別に確認する必要があるでしょう。
六角形の対角線の数との関係はあるのでしょうか
六角形には対角線が全部で9本引けます。
対角線の数は、n×（n－3）÷2という式で求めることができます。
六角形の場合、6×（6－3）÷2＝9本という計算になります。
対角線の数と内角の和は直接同じ式ではありませんが、どちらも図形を三角形に分割するという考え方から派生している点は共通しています。
六角形の角度を求める際の注意点を確認していきます
続いては六角形の角度を求める際の注意点について確認していきます。
公式を知っていても、当てはめ方を間違えると誤った答えになってしまいます。
ここでは計算の際に気をつけておきたいポイントを整理していきます。
正多角形かどうかを必ず確認する
720÷6＝120度という計算は、あくまで正六角形の場合に限られます。
問題文に「正六角形」と書かれているかどうかを、まず確認する習慣をつけましょう。
単に「六角形」とだけ書かれている場合は、角度がすべて等しいとは限りません。
この違いを見落とすと、計算過程は合っていても最終的な答えを誤ってしまう可能性があるでしょう。
凹んだ六角形（凹多角形）の場合の考え方
六角形の中には、一部の角が180度を超える凹んだ形のものも存在します。
このような図形は凹多角形と呼ばれ、見た目が複雑になりがちです。
凹多角形であっても、内角の和を求める公式180×（n－2）はそのまま適用できます。
ただし、1つ1つの角度を目視だけで判断するのは難しいため、図形の性質を丁寧に確認することが大切でしょう。
計算ミスを防ぐコツ
角度の計算では、割り算や掛け算の順序を間違えるミスがよく見られます。
まず内角の和を求め、そのあとで角の数で割るという順番を意識すると混乱しにくいでしょう。
計算の途中式を省略せずに書き出すことも、ミスを減らす有効な方法です。
特にテストや宿題では、720という数字と6という数字を混同しないよう注意してみてください。
まとめ
今回は六角形の角度は？1つの内角の求め方も！というテーマで、内角の和や正六角形の1つの内角の求め方を解説してきました。
六角形の内角の和は常に720度であり、これは180×（n－2）という多角形の公式から導かれます。
正六角形の場合はすべての角が等しいため、720度を6で割ることで1つの内角である120度が求められます。
外角についても確認すると、外角の和は常に360度で、正六角形の1つの外角は60度になります。
内角と外角は1つの頂点で合計180度になるという関係も、あわせて覚えておくと便利でしょう。
公式をただ暗記するのではなく、三角形への分割というイメージを持っておくことで、応用問題にも対応しやすくなります。
正六角形かどうかを見極めることも、正確な計算のためには欠かせないポイントです。
今回の内容を参考に、六角形の角度に関する問題にぜひ自信を持って取り組んでみてください。
