六角形の面積の求め方は？公式と計算方法も！と検索してこのページにたどり着いた方は、きっと学校の宿題やお子さんの勉強のサポート、あるいは仕事の設計図面などで六角形の面積を求める必要に迫られているのではないでしょうか。
六角形と一言でいっても、実は正六角形と不等辺六角形とでは計算のアプローチがまったく異なります。
正六角形であれば1辺の長ささえわかれば公式に当てはめるだけで済みますが、不等辺六角形の場合は三角形分割や座標を使った計算が必要になるからです。
この記事では正六角形の面積公式から、不等辺六角形における三角形分割や座標を使った求め方まで、幅広くわかりやすく解説していきます。
公式の意味を理解したうえで計算できるようになれば、どんな形の六角形が出てきても慌てることはなくなるでしょう。
ぜひ最後まで読んで、六角形の面積計算を得意分野にしてみてください。
六角形の面積の求め方は正六角形なら公式、不等辺なら分割計算が結論です
それではまず六角形の面積の求め方における結論について解説していきます。
結論から言うと、正六角形であれば専用の公式を使えば一瞬で面積が求まります。
一方で不等辺六角形の場合は、公式一発で解ける便利な方法は存在しません。
そのため三角形に分割したり、座標を使ったりする地道な計算が必要になります。
正六角形の面積は「1辺の長さ×1辺の長さ×2.598」で求められます。
不等辺六角形は、図形をいくつかの三角形や台形に分割し、それぞれの面積を求めてから合計する方法が基本です。
なぜこのような違いが生まれるのでしょうか。
正六角形はすべての辺の長さと内角が等しい、非常に規則性の高い図形だからです。
この規則性のおかげで、1辺の長さという1つの情報だけで面積を一意に求められる公式が成り立ちます。
対して不等辺六角形は辺の長さや角度がバラバラで、形そのものが無数に存在します。
そのため、汎用的な公式というものが存在しないのです。
とはいえ難しく考える必要はありません。
どんな複雑な六角形も、対角線を引いて三角形に分割してしまえば、あとは中学校で習う三角形の面積公式の積み重ねで解けます。
ここから先の見出しでは、正六角形の公式と不等辺六角形の分割計算の両方を、具体例とともに詳しく見ていきましょう。
正六角形と不等辺六角形の違い
正六角形は6つの辺の長さがすべて等しく、内角もすべて120度に統一された図形です。
対して不等辺六角形は、辺の長さや角度に統一性がない六角形全般を指します。
身近な例で言えば、蜂の巣の断面は正六角形、いびつな敷地の形は不等辺六角形とイメージするとわかりやすいでしょう。
公式が使える条件とは
公式が使えるのは、あくまで正六角形である場合に限られます。
辺の長さがひとつでも異なっていたり、内角が120度からずれていたりすると、正六角形の公式は使えません。
問題文に「正六角形」と明記されているかどうかを、まず確認する癖をつけましょう。
計算前に確認すべきポイント
計算を始める前に、与えられている情報が「辺の長さ」なのか「対角線の長さ」なのか「座標」なのかを整理してください。
与えられている情報によって、最適な計算方法が変わってくるからです。
情報の種類を見極めることが、遠回りをせずに正解へたどり着く近道になります。
正六角形の面積を公式で求める方法
続いては正六角形の面積を公式で求める方法を確認していきます。
正六角形は正三角形6つを組み合わせた形と考えると、公式の成り立ちが理解しやすくなります。
まずは基本公式を確認し、そのあとに計算例で理解を深めていきましょう。
正六角形の面積の公式
面積＝（3×√3÷2）×1辺の長さ×1辺の長さ
近似値で表すと、面積＝2.598×1辺の長さ×1辺の長さ となります。
この公式は、正六角形を中心から6つの合同な正三角形に分割できることから導かれています。
正三角形1つの面積は「（√3÷4）×1辺の長さの2乗」で求められるため、これを6倍すると正六角形の公式になります。
公式の丸暗記だけでなく、この成り立ちを理解しておくと、忘れてしまったときにも自力で導き出せるようになるでしょう。
正六角形の面積公式（1辺の長さから）
1辺の長さがわかっている場合は、先ほどの公式にそのまま数値を当てはめるだけで面積が求まります。
例えば1辺が4センチメートルの正六角形であれば、面積は2.598×4×4で約41.6平方センチメートルになります。
電卓を使う際は、√3の値を1.732として計算すると誤差が少なく済みます。
正六角形の対角線と面積の関係
正六角形には長い対角線と短い対角線の2種類が存在します。
長い対角線は1辺の長さのちょうど2倍になるという性質があります。
この性質を利用すれば、対角線の長さから逆算して1辺の長さを求め、面積計算につなげることも可能です。
| 与えられる情報 | 1辺の長さの求め方 | 面積公式への当てはめ方 |
|---|---|---|
| 1辺の長さ | そのまま使用 | 2.598×1辺×1辺 |
| 長い対角線 | 対角線÷2 | 求めた1辺で公式に代入 |
| 周の長さ | 周の長さ÷6 | 求めた1辺で公式に代入 |
正六角形の面積を計算してみよう（例題）
例題 1辺が6センチメートルの正六角形の面積を求めましょう。
計算式 2.598×6×6＝93.528
答え 約93.5平方センチメートルです。
このように、数値を当てはめるだけなので、公式さえ覚えておけば計算自体は非常にシンプルです。
不等辺六角形の面積の求め方
続いては不等辺六角形の面積の求め方を確認していきます。
不等辺六角形には決まった公式がないため、いくつかの求め方を状況に応じて使い分ける必要があります。
代表的な方法は、三角形分割、座標を使った計算、そして台形分割の3つです。
不等辺六角形は「形が決まっていない」からこそ、複数の解法を知っておくことが最大の武器になります。
三角形分割による求め方
六角形の1つの頂点から他の頂点へ対角線を引くと、六角形は4つの三角形に分割できます。
それぞれの三角形の面積を求めて合計すれば、六角形全体の面積が求まる仕組みです。
辺の長さと角度の情報がそろっている場合に、特に使いやすい方法といえるでしょう。
座標を使った求め方（座標法）
各頂点の座標がわかっている場合には、座標法と呼ばれる計算方法が便利です。
頂点の座標を順番に掛け合わせて差し引きするだけで、複雑な図形でも一気に面積が求まります。
図面データや地図上の座標から面積を求めたいときに重宝する方法です。
台形分割による求め方
図形を横に切って複数の台形とみなして計算する方法も存在します。
方眼紙やグラフ用紙の上に図形が描かれている場合に、特に使いやすい方法です。
ただし台形分割は、六角形の傾き方によっては計算がやや複雑になる点に注意してください。
三角形分割で六角形の面積を求める具体的な手順
続いては三角形分割で六角形の面積を求める具体的な手順を確認していきます。
三角形分割は、不等辺六角形の面積計算の中でも最も基本的で汎用性の高い方法です。
手順さえ覚えてしまえば、どんな形の六角形にも応用できるようになるでしょう。
対角線の引き方のコツ
まず六角形の頂点を1つ選び、そこから他の頂点に向かって対角線を引きます。
1つの頂点からは3本の対角線を引くことができ、これによって図形は4つの三角形に分かれます。
対角線を引く際は、図形の外側にはみ出さないよう、内部を通る対角線を選ぶことが重要です。
凹んだ形の六角形の場合、選ぶ頂点によっては対角線が図形の外に出てしまうことがあるため注意しましょう。
各三角形の面積の計算方法
分割した三角形それぞれについて、底辺と高さがわかれば「底辺×高さ÷2」で面積が求まります。
角度と2辺の長さがわかっている場合は、「2辺×2辺×sin（角度）÷2」という公式も便利です。
どちらの公式を使うかは、与えられている情報によって選びましょう。
例題 六角形を4つの三角形に分割し、それぞれの面積が12、15、9、18平方センチメートルだったとします。
計算式 12＋15＋9＋18＝54
答え 六角形全体の面積は54平方センチメートルです。
分割時の注意点とミスしやすいポイント
三角形分割で最も多いミスは、三角形同士が重なってしまったり、逆に隙間ができてしまったりすることです。
分割した図を実際に描いて、色分けするなどして確認すると間違いに気づきやすくなります。
計算結果を合計する前に、分割した三角形の数と六角形の頂点の数が対応しているか、必ず見直してください。
座標を使った六角形の面積の求め方（応用編）
続いては座標を使った六角形の面積の求め方を、応用編として確認していきます。
座標法は、シューレースの公式とも呼ばれる計算方法で、多角形全般に応用できる非常に強力なテクニックです。
座標さえわかっていれば、正六角形でも不等辺六角形でも同じ手順で計算できます。
座標法の公式
座標法（シューレースの公式）
面積＝｜（x1y2－x2y1）＋（x2y3－x3y2）＋…＋（x6y1－x1y6）｜÷2
各頂点の座標を（x1,y1）から（x6,y6）まで順番に並べて計算します。
この公式は頂点を時計回りまたは反時計回りに順番通り並べることが絶対条件です。
順番がバラバラだと正しい面積が求まらないため、必ず図形をなぞる順序で座標を並べましょう。
座標法の計算例
例えば頂点が（0,0）（4,0）（6,3）（4,6）（0,6）（－2,3）という6つの座標で表される六角形を考えてみましょう。
それぞれの座標を公式に当てはめて掛け算と引き算を行い、最後に絶対値を取って2で割ります。
手計算だと桁数が多くなりがちなので、表計算ソフトを使うと計算ミスを防げるでしょう。
| 頂点 | x座標 | y座標 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 4 | 0 |
| 3 | 6 | 3 |
| 4 | 4 | 6 |
| 5 | 0 | 6 |
| 6 | －2 | 3 |
座標法が便利なケース
座標法は、測量データやCADの図面データなど、座標情報がすでに存在する場面で特に力を発揮します。
角度を測る手間がいらないため、三角関数が苦手な方でも計算しやすい方法といえるでしょう。
ただし座標がひとつでもずれていると結果全体が狂ってしまうため、入力ミスには十分注意してください。
六角形の面積を求める際によくある疑問と応用
続いては六角形の面積を求める際によくある疑問と、その応用について確認していきます。
ここまでの内容を踏まえたうえで、実際に手を動かすときにつまずきやすいポイントを整理していきましょう。
辺の長さだけで面積は求められる？
正六角形であれば、辺の長さだけで面積は一意に求まります。
しかし不等辺六角形の場合、辺の長さだけでは面積は決まりません。
同じ辺の長さの組み合わせでも、角度次第で形が変わり、面積も変わってしまうからです。
角度や対角線、座標といった追加の情報が必要になる点を覚えておきましょう。
正六角形以外でも公式は使える？
正六角形の面積公式は、あくまで正六角形専用のものです。
ただし考え方自体は応用可能で、図形を正三角形や合同な三角形に分割できるのであれば、同じロジックで面積を求められます。
公式を丸暗記するのではなく、成り立ちを理解しておくことで応用が利くようになります。
面積の単位や有効数字の注意点
面積を求める際は、辺の長さの単位を必ず統一してから計算に入りましょう。
センチメートルとメートルが混在したまま計算すると、桁違いの誤答につながります。
また√3を使う計算では、小数点以下の桁数を問題の指示に合わせて丸めることも忘れないでください。
| よくある疑問 | 回答の要点 |
|---|---|
| 辺の長さだけで面積は決まる？ | 正六角形のみ決まる、不等辺は決まらない |
| 公式は正六角形以外でも使える？ | そのままでは使えないが考え方は応用できる |
| 単位を揃える必要はある？ | 必ず揃えてから計算する |
まとめ
今回は六角形の面積の求め方について、正六角形の公式と不等辺六角形の分割計算の両面から解説してきました。
正六角形であれば「2.598×1辺×1辺」という公式にあてはめるだけで、簡単に面積が求まります。
一方で不等辺六角形の場合は、三角形分割、座標を使った計算、台形分割など、状況に応じた方法を選ぶ必要があります。
どの方法を使うにしても、与えられている情報が何かを見極めることが、正しい答えへの第一歩です。
公式を丸暗記するだけでなく、なぜその公式が成り立つのかという成り立ちまで理解しておくと、応用問題にも対応しやすくなるでしょう。
ぜひ今回紹介した方法を参考に、実際に手を動かして六角形の面積計算に挑戦してみてください。
繰り返し練習することで、どんな形の六角形が出てきても落ち着いて対応できるようになるはずです。
