六角形と聞くと、蜂の巣やサッカーボールの模様を思い浮かべる方も多いのではないでしょうか。
図形の中でも六角形は身近な存在ですが、いざ「六角形の内角の和は何度ですか」と聞かれると、すぐに答えられない方も少なくありません。
実は六角形の内角の和には明確な公式があり、計算方法さえ覚えてしまえば誰でも簡単に求められます。
この記事では、六角形の内角の和がなぜ720度になるのか、その求め方と公式をわかりやすく解説していきます。
さらに、n角形の公式や三角形分割による証明、正六角形における1つの内角の大きさなども詳しくご紹介します。
図形問題や数学のテストで役立つ知識ばかりですので、ぜひ最後まで読んでみてください。
六角形の内角の和は720度です【結論】
それではまず、六角形の内角の和について結論からお伝えしていきます。
結論として、六角形の内角の和は720度です。
これはどんな形の六角形であっても変わらない、図形の性質として決まった値になります。
六角形の内角の和が720度になる理由
六角形は6つの頂点と6つの辺を持つ多角形です。
この6つの頂点における内角をすべて足し合わせると、合計は必ず720度になります。
理由は後ほど詳しく解説する「n角形の公式」や「三角形分割」を使うことで説明できます。
正六角形でも不等辺六角形でも同じ720度
六角形には、すべての辺と角が等しい正六角形と、辺や角の大きさがバラバラな不等辺六角形があります。
形が違っても、内角の和はどちらも720度で変わりません。
これは多角形の内角の和が、辺の長さや角度の個別の大きさではなく、頂点の「数」によって決まるためです。
内角の和と1つあたりの内角の違いに注意
六角形の内角の和が720度であることと、1つの内角の大きさが720度であることは全く別の意味になります。
内角の和はあくまで6つの角をすべて合計した数値です。
正六角形における1つの内角の大きさについては、後ほどの見出しで詳しく解説していきます。
六角形の内角の和の求め方とn角形の公式
続いては、六角形の内角の和の求め方について確認していきます。
多角形の内角の和を求めるには、便利な公式が存在します。
n角形の内角の和 = 180度 ×（n－2）
この公式にn=6を代入すると、六角形の内角の和を求めることができます。
180度 × (6－2) = 180度 × 4 = 720度
つまり180×4という計算が、六角形の内角の和720度の根拠になっています。
なぜ「n－2」という数字が使われるのか
公式の中に出てくる「n－2」という部分に疑問を持つ方もいるでしょう。
この「n－2」は、多角形を三角形に分割したときにできる三角形の個数を表しています。
三角形1つあたりの内角の和は180度と決まっているため、三角形の個数に180度を掛けることで、多角形全体の内角の和を求められる仕組みです。
六角形の場合の具体的な計算手順
六角形の内角の和を求める手順を整理してみましょう。
まず、六角形の頂点の数であるn=6を確認します。
次に、公式のn－2にあてはめて6－2=4という三角形の個数を求めます。
最後に、180度に4を掛けることで720度という答えが導き出されます。
公式を使うメリットと覚え方
公式を知らないと、六角形の内角の和を求めるのに時間がかかってしまいます。
180×（n－2）という式さえ覚えておけば、三角形でも八角形でも同じ考え方で内角の和を計算できます。
語呂合わせで覚えるよりも、三角形分割のイメージとセットで覚えると忘れにくくなるでしょう。
三角形分割による六角形の内角の和の証明
続いては、六角形の内角の和が720度になることを、実際の図形を使って証明していきます。
六角形を対角線で三角形に分ける方法
六角形の1つの頂点から、隣り合わない頂点に向かって対角線を引いてみましょう。
すると、六角形の内部は4つの三角形に分割されます。
この分割によって、六角形の内角の和を三角形の内角の和の合計として考えられるようになります。
三角形の内角の和180度を利用する
三角形の内角の和は、どんな形の三角形であっても常に180度です。
六角形が4つの三角形に分かれるということは、180度の三角形が4つ分あるということになります。
したがって、180度×4=720度という計算で、六角形の内角の和が証明できるのです。
六角形は対角線によって4つの三角形に分けられます。
三角形1つの内角の和は180度です。
180度×4という計算により、六角形の内角の和は720度と証明されます。
どの頂点から分割しても結果は同じ
対角線を引く頂点をどこに選んでも、六角形は必ず4つの三角形に分割されます。
分割の仕方によって三角形の形は変わりますが、内角の和の合計は常に720度で一致します。
この性質は六角形に限らず、すべての多角形に共通する重要なポイントです。
正六角形の1つの内角は何度になるのか
続いては、正六角形における1つあたりの内角の大きさについて確認していきます。
正六角形の内角を求める計算式
正六角形は6つの内角がすべて等しい図形です。
そのため、内角の和720度を6で割ることで、1つの内角の大きさを求められます。
720度 ÷ 6 = 120度
正六角形の1つの内角は120度になります。
正六角形が敷き詰めに使われる理由
正六角形の内角が120度であることは、蜂の巣の構造などにも関係しています。
120度は360度の約数にあたるため、正六角形を3つ組み合わせるとぴったり1周分の360度になります。
この性質のおかげで、正六角形はすき間なく平面を敷き詰められる数少ない図形のひとつなのです。
身の回りにあるタイルやハニカム構造も、この角度の性質をうまく利用していると言えるでしょう。
不等辺六角形の内角はバラバラ
正六角形と違い、不等辺六角形は6つの内角の大きさがそれぞれ異なります。
しかし、6つの内角をすべて足し合わせれば、やはり720度になる点は変わりません。
図形問題では、1つの角の大きさが分からなくても、他の5つの角と内角の和720度から逆算して答えを求めることもできます。
多角形の内角の和の一覧と六角形との比較
続いては、六角形以外の多角形と内角の和を比較しながら確認していきます。
公式180度×（n－2）を使えば、三角形から順にさまざまな多角形の内角の和を一覧にできます。
| 図形の名前 | 頂点の数（n） | 内角の和 |
|---|---|---|
| 三角形 | 3 | 180度 |
| 四角形 | 4 | 360度 |
| 五角形 | 5 | 540度 |
| 六角形 | 6 | 720度 |
| 七角形 | 7 | 900度 |
| 八角形 | 8 | 1080度 |
頂点が1つ増えるごとに180度ずつ増加する
表を見ると分かるとおり、頂点の数が1つ増えるたびに、内角の和は180度ずつ増えていきます。
これは公式の中の（n－2）の部分が1ずつ増えることに対応しています。
三角形の分割数が1つ増えるごとに、180度分の内角が追加されるとイメージすると理解しやすいでしょう。
四角形や五角形との違いを整理
四角形の内角の和は360度、五角形は540度、六角形は720度というように、順番に180度ずつ増加しています。
六角形は四角形のちょうど2倍の内角の和を持つ図形と覚えておくと便利です。
数字の関係を意識しておくことで、公式を忘れてしまった場合でも計算しやすくなります。
多角形の名前と角の数を混同しないための注意点
多角形の名前は角の数に由来していますが、六角形を「6辺形」と勘違いしてしまう方もいるかもしれません。
実際には辺の数と頂点の数、そして角の数はすべて同じ6つですので、混同しても計算結果に影響はありません。
とはいえ、問題文を正確に読み取るためにも、用語の意味は正しく理解しておくことが大切です。
六角形の外角の和とよくある間違い
続いては、内角の和と混同しやすい外角の和について、そしてよくある間違いのパターンを確認していきます。
外角の和は多角形の種類によらず360度
内角の和は多角形の頂点の数によって変化しますが、外角の和はどんな多角形であっても常に360度で一定です。
六角形の場合も例外ではなく、6つの外角をすべて足すと360度になります。
内角と外角は隣り合う関係にあり、1つの頂点における内角と外角を足すと必ず180度になる点も覚えておきましょう。
内角の和と外角の和を取り違えるミス
テストでよくあるミスとして、六角形の内角の和720度と外角の和360度を取り違えてしまうケースが挙げられます。
とくに正六角形の問題では、1つの内角が120度、1つの外角が60度と近い数字が登場するため、混乱しやすいでしょう。
内角と外角のどちらを聞かれているのか、問題文を落ち着いて確認する習慣をつけることが大切です。
内角の和は180度×（n－2）で求めます。
外角の和は多角形の種類にかかわらず常に360度です。
この2つの違いを混同しないよう注意しましょう。
凹んだ六角形（凹多角形）の場合の注意点
ここまで紹介してきた計算方法は、基本的にへこみのない凸六角形を前提としています。
一部の頂点がへこんだ形をしている凹六角形の場合でも、内角の和自体は720度のまま変わりません。
ただし、凹んでいる頂点の内角は180度を超える「優角」として扱う必要があるため、図形を見誤らないよう注意が必要です。
テストや問題集で凹んだ図形が出てきた場合は、通常の凸六角形と同じ感覚で解けるかどうか、一度立ち止まって確認してみるとよいでしょう。
まとめ
最後に、この記事の内容をまとめていきます。
六角形の内角の和は、公式180度×（n－2）にn=6を代入することで720度と求められます。
この720度という数字は、六角形を4つの三角形に分割し、三角形1つあたりの内角の和180度を4倍することでも証明できました。
正六角形であれば、720度を6で割ることで1つの内角が120度になることも確認できました。
さらに、四角形や五角形など他の多角形と比較することで、頂点の数が増えるごとに内角の和が180度ずつ増加していく規則性も見えてきました。
内角の和と外角の和は混同しやすいポイントですので、外角の和は常に360度であることもあわせて覚えておくと安心です。
公式と証明の両方を理解しておけば、六角形に限らずさまざまな多角形の問題にも応用できるようになるでしょう。
ぜひ今回の内容を、今後の図形の学習に役立ててみてください。
