「∫1/xlogx dx をどうやって解けばいいの？」「置換積分を使うのはわかるけど、どこで何に置き換えるの？」そんな疑問を持つ方は多いのではないでしょうか。1/xlogxの積分は、大学数学や高校数学の発展的な内容として登場する、やや難しい積分のひとつです。
本記事では、1/xlogxの積分の公式・置換積分による解き方・log(logx)という答えの導出・部分積分との関係までをわかりやすく丁寧に解説していきます。計算の途中式も省略せずに示しますので、初めて取り組む方にも理解しやすい内容です。ぜひ最後までご覧ください。
1/xlogxの積分の答えはlog|logx|＋C 結論と公式を解説
それではまず、1/xlogxの積分の答えと基本公式について解説していきます。
「1/xlogxの積分は？公式と解き方を解説！（∫1/xlogx dx・置換積分・log(logx)・部分積分など）」というテーマのとおり、まず結論となる答えを確認しておきましょう。
∫ 1/(x log x) dx ＝ log|log x| ＋ C
（Cは積分定数、logは自然対数 loge を表す）
答えは「log|logx| ＋ C」です。「logのlogを取る」という少し珍しい形の答えになります。この結果は、置換積分を使うことで導くことができます。
なお、この記事では特に断りがない限り「log」は自然対数（底がeの対数）を意味します。log＝loge ＝ ln と同じ意味です。教科書や問題によってlnと書かれる場合もありますが、計算方法はまったく同じです。
1/xlogxの積分で使う基本公式の確認
1/xlogxの積分を理解するうえで、あらかじめ押さえておきたい基本公式があります。以下の公式はすべて置換積分の計算に使います。
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| ∫ 1/x dx ＝ log|x| ＋ C | 1/xの積分の基本公式 |
| ∫ f'(x)/f(x) dx ＝ log|f(x)| ＋ C | 分子が分母の微分になっている形 |
| (log x)’ ＝ 1/x | log xの微分（置換の根拠） |
| 置換積分：t ＝ g(x) とおくと dt ＝ g'(x)dx | 置換積分の基本操作 |
特に重要なのが「∫ f'(x)/f(x) dx ＝ log|f(x)| ＋ C」という公式です。これは「分子が分母の微分になっているとき、答えは分母のlogになる」という非常に便利な公式です。1/xlogxの積分はまさにこの形に変換することで解くことができます。
1/xlogxの積分における「logx」の扱い
1/(x log x)という式を見たとき、どこに注目すればよいでしょうか。
分母を見ると「x log x」という積の形になっています。ここで重要なのが、「(log x)’ ＝ 1/x」という関係です。分母にあるlog xを微分すると1/xになり、分子にある「1/x」と一致します。
つまり、1/(x log x)は「1/x × 1/log x」と分解でき、1/xはlog xの微分そのものです。これが置換積分で「t ＝ log x」と置く根拠となります。このパターンに気づけるかどうかが、この積分を解くうえでの最大のポイントといえるでしょう。
答えにlog|logx|が登場する理由
なぜ答えが「log|logx|」という形になるのかを直感的に理解しておきましょう。
t ＝ log xと置換すると、∫ 1/(x log x) dxは∫ 1/t dtという形に変換されます。∫ 1/t dtの答えはlog|t| ＋ Cですので、tをlog xに戻すとlog|log x| ＋ Cという答えが得られます。「logのlogを取る」という形は、この置換積分のプロセスから自然に生まれるものです。
1/xlogxの積分を置換積分で解く方法（詳細な解き方）
続いては、1/xlogxの積分を置換積分で解く具体的な手順を、途中式を省略せずに確認していきます。
置換積分は「積分変数を別の変数に置き換えることで積分をシンプルな形にする」手法です。1/(x log x)の積分では「t ＝ log x」という置換が鍵になります。ステップごとに丁寧に確認していきましょう。
置換積分のステップ1 置換の設定
まず、何をどう置き換えるかを設定します。
t ＝ log x とおく両辺をxで微分すると
dt/dx ＝ 1/x
これを変形すると
dt ＝ (1/x) dx
つまり (1/x) dx ＝ dt と書き換えられる
この変形が置換積分の核心部分です。「t ＝ log xとおいたとき、(1/x)dx が dt に変換される」という関係をしっかり確認しておきましょう。「(1/x)dx ＝ dt」という変換を使うことで、積分の形が大きく変わります。
置換積分のステップ2 積分式の変換
次に、元の積分式に置換を適用します。
元の積分式
∫ 1/(x log x) dx1/(x log x)を分解する
＝ ∫ 1/(log x) × (1/x) dx
(1/x) dx ＝ dt、log x ＝ t を代入する
＝ ∫ 1/t dt
これは非常にシンプルな形になりました。
元の複雑な形「1/(x log x)」が、置換によって「1/t」というシンプルな形に変換されました。この変換が置換積分の威力を実感できる場面です。
置換積分のステップ3 積分の実行と逆置換
最後に積分を実行し、tをlog xに戻します。
∫ 1/t dt ＝ log|t| ＋ Ct ＝ log x を代入して逆置換する
＝ log|log x| ＋ C
よって
∫ 1/(x log x) dx ＝ log|log x| ＋ C （完成）
∫ 1/t dt は基本公式「∫ 1/x dx ＝ log|x| ＋ C」のxをtに置き換えたものです。積分が実行できたら、必ずtをlog xに戻す（逆置換）ことを忘れないようにしましょう。逆置換を忘れると答えが「t」のままになってしまい、正解にはなりません。
1. t ＝ log x とおき、dt ＝ (1/x)dx という変換式を作る
2. 元の積分式に代入して ∫ 1/t dt というシンプルな形に変換する
3. ∫ 1/t dt ＝ log|t| ＋ C を計算し、t ＝ log x に戻す（逆置換）
答え：log|log x| ＋ C
f'(x)/f(x)の公式との関係と別解アプローチ
続いては、1/xlogxの積分を「f'(x)/f(x)型の公式」を使って解く別解アプローチを確認していきます。
置換積分の詳細な手順を踏まなくても、「分子が分母の微分になっている」パターンを認識することができれば、より素早く答えを導くことが可能です。この視点を身につけておくと、試験での時間短縮に役立ちます。
f'(x)/f(x)型の積分公式の確認
まず、f'(x)/f(x)型の積分公式を確認しましょう。
∫ f'(x)/f(x) dx ＝ log|f(x)| ＋ Cこれは「分子が分母の微分」になっている積分の公式です。
例
∫ 2x/(x²＋1) dx ＝ log|x²＋1| ＋ C
（分子2xは分母x²＋1の微分）
∫ cos x/sin x dx ＝ log|sin x| ＋ C
（分子cos xは分母sin xの微分）
この公式を使うには、「分子が分母の微分になっているかどうか」を確認する目を養うことが大切です。そのためには各関数の微分をすぐに確認できるようにしておくことが前提となります。
1/xlogxをf'(x)/f(x)型として解釈する
1/(x log x)をf'(x)/f(x)型として解釈してみましょう。
1/(x log x) ＝ (1/x) × 1/(log x)分母を log x と見ると
(log x)’ ＝ 1/x
つまり
1/(x log x) ＝ (log x)’/(log x) ＝ f'(x)/f(x)
（f(x) ＝ log x と見なした場合）
よって公式を直接適用すると
∫ 1/(x log x) dx ＝ ∫ (log x)’/(log x) dx ＝ log|log x| ＋ C
このように見ると、1/(x log x)はf(x)＝log xとしたときのf'(x)/f(x)そのものであることがわかります。公式を知っていれば置換積分の全手順を踏まなくても直接答えを書けるため、非常に効率的です。
1/xlogxの積分と部分積分の関係
「部分積分を使って1/(x log x)を積分できないか」と考える方もいるかもしれません。部分積分の公式は「∫ u v’ dx ＝ uv − ∫ u’ v dx」ですが、1/(x log x)に部分積分を適用しようとすると計算がより複雑になり、かえって解きにくくなる場合がほとんどです。
1/(x log x)の積分に対しては、置換積分（またはf'(x)/f(x)型の公式）が最適な解法です。部分積分はこの積分には向かない手法といえます。以下の表でそれぞれの手法の適否を整理しておきましょう。
| 解法 | 1/(x log x)への適性 | 理由・コメント |
|---|---|---|
| 置換積分（t ＝ log x） | 最適 | シンプルな手順で正確に解ける |
| f'(x)/f(x)型の公式 | 最適（最速） | 公式を認識できれば一行で解ける |
| 部分積分 | 不向き | 計算が複雑になり解きにくい |
| べき級数展開 | 理論的には可能 | 収束域に制限あり・実用的ではない |
試験で時間が限られている場合はf'(x)/f(x)型として即座に認識することが最も効率的です。ただし、なぜその公式が成り立つかを理解するためにも、置換積分のプロセスをきちんと理解しておくことが大切でしょう。
1/xlogxの積分に関連する応用問題と注意点
続いては、1/xlogxの積分に関連する応用問題と、計算時の注意点について確認していきます。
基本パターンが理解できたら、少し形が変わった応用問題にも挑戦してみましょう。「logxの底が違う場合」「定積分への応用」「類似した形の積分」など、周辺知識を広げることでより深い理解が得られます。
底がeではないlogの場合の積分
問題によっては底がeではなく、底が10のlog（常用対数）や底がaの一般の対数が登場することがあります。底の変換公式を使って自然対数に変換することが基本的なアプローチです。
log_a x ＝ (log x) / (log a)
（logはすべて自然対数）例 底が10の常用対数の場合
∫ 1/(x log₁₀ x) dx
＝ ∫ 1/(x × log x / log 10) dx
＝ ∫ log 10 / (x log x) dx
＝ log 10 × ∫ 1/(x log x) dx
＝ log 10 × log|log x| ＋ C
（log 10 は定数として前に出せる）
底が変わっても、底の変換公式で自然対数に直してから積分するという手順で対応できます。log aは定数ですので積分の外に出すことができる点がポイントです。
定積分への応用
1/(x log x)を定積分（上下限付きの積分）として解く場合の注意点を確認しましょう。
例 ∫_e^(e²) 1/(x log x) dx を計算する
不定積分は log|log x| ＋ C なので
定積分は
[log|log x|]_e^(e²)
＝ log|log(e²)| − log|log(e)|
＝ log|2| − log|1|
＝ log 2 − 0
＝ log 2
（log e ＝ 1、log(e²) ＝ 2 を利用）
定積分ではlog(e) ＝ 1 と log(e²) ＝ 2という自然対数の性質をきちんと使うことが重要です。xにeや累乗が代入されるとlogの計算がシンプルになるため、積分範囲にeの累乗が使われることが多い問題形式です。
類似した形の積分との比較と注意点
1/(x log x)に似た形の積分問題と、その解き方の違いを整理しておきましょう。形が似ていても置換の方法や答えが異なる場合があるため、注意が必要です。
| 積分の形 | 置換・解法 | 答え |
|---|---|---|
| ∫ 1/(x log x) dx | t ＝ log x と置換 | log|log x| ＋ C |
| ∫ 1/(x (log x)²) dx | t ＝ log x と置換 | −1/(log x) ＋ C |
| ∫ log x / x dx | t ＝ log x と置換 | (log x)² / 2 ＋ C |
| ∫ (log x)² / x dx | t ＝ log x と置換 | (log x)³ / 3 ＋ C |
| ∫ 1/x dx | 基本公式 | log|x| ＋ C |
これらの積分はすべて「t ＝ log x」という同じ置換で解くことができます。共通しているのは「分母または式の中にlog xが含まれており、1/xが掛け合わされている形」という点です。
特に∫ 1/(x (log x)²) dxの計算も確認しておきましょう。
t ＝ log x、dt ＝ (1/x) dx と置換すると
＝ ∫ 1/t² dt
＝ ∫ t⁻² dt
＝ t⁻¹ / (−1) ＋ C
＝ −1/t ＋ Ct ＝ log x に戻すと
＝ −1/(log x) ＋ C
「÷12」と「÷3」の違いのように、分母のlog xが何乗になっているかによって答えが変わります。置換後の∫ 1/t^n dtの形に注目して積分公式を使い分けることが、この種の問題のポイントです。
t ＝ log x と置換することが共通のアプローチ
(1/x)dx ＝ dt という変換を使う
置換後は ∫ 1/t^n dt の形になるので基本公式で解く
最後に必ず t ＝ log x に逆置換して完成
f'(x)/f(x)型の公式を使えば素早く解ける場合もある
まとめ
今回は「1/xlogxの積分は？公式と解き方を解説！（∫1/xlogx dx・置換積分・log(logx)・部分積分など）」というテーマで、1/(x log x)の積分の答え・置換積分による詳細な解き方・f'(x)/f(x)型の公式を使った別解・応用問題まで幅広く解説しました。
最も重要な答えは「∫ 1/(x log x) dx ＝ log|log x| ＋ C」です。この結果は「t ＝ log x」と置換することで導かれます。置換積分の手順は「t ＝ log x とおく → dt ＝ (1/x)dx の変換を使う → ∫ 1/t dt ＝ log|t| ＋ C を計算する → t ＝ log x に逆置換する」という4ステップです。
また、1/(x log x)は「(log x)’/(log x)」というf'(x)/f(x)型の形として認識することで、公式を直接使って素早く答えを導くこともできます。試験での時間短縮には、このパターン認識の力を養うことが大切です。
部分積分は1/(x log x)の積分には向かず、置換積分またはf'(x)/f(x)型の公式が最適な解法です。類似した形の積分にも同じ置換「t ＝ log x」が使えますので、本記事で紹介した解き方をぜひ応用してみてください。本記事が1/xlogxの積分の理解を深める一助になれば幸いです。
