動摩擦力を求める問題では、動摩擦係数が与えられないケースがあります。
その場合でも、物体の加速度、移動距離、時間、仕事、エネルギー保存などの情報があれば、運動方程式や仕事の原理を使って計算できます。
大切なのは、力そのものを最初から探そうとせず、物体の運動の変化から逆算する考え方です。
この記事では、水平面上の物体を中心に、動摩擦係数なしで動摩擦力を求める手順を、加速度と距離を使う問題、仕事を使う問題、斜面上の問題まで順に解説します。
動摩擦係数なしで求める基本原理
それではまず、動摩擦係数がなくても動摩擦力を計算できる基本原理について解説していきます。
加速度から合力を求める考え方
動摩擦力を求めるときの出発点は、ニュートンの運動方程式です。
物体の質量をm、加速度をa、物体にはたらく力の合計をFとすると、F＝maの関係が成り立ちます。
ここでいう合力は、進行方向に働く力を正、進行方向と反対の力を負として足し合わせた値です。
水平な床の上で物体を右向きに引っ張り、物体が右向きに加速しているなら、引く力から動摩擦力を引いたものが合力になります。
したがって、引く力をP、動摩擦力の大きさをfとすると、P－f＝maです。
この式を変形すれば、f＝P－maとなります。
つまり、質量、引く力、加速度が分かれば、動摩擦係数を使わずに動摩擦力を求められます。
加速度が大きいほど合力は大きくなり、同じ引く力であれば摩擦力は小さくなります。
反対に加速度が小さい場合は、引く力の多くが摩擦力を打ち消すことに使われていると判断できます。
水平面で右向きに力Pを加え、右向きに加速度aで運動する場合の式です。
引く力－動摩擦力＝質量×加速度
動摩擦力＝引く力－質量×加速度
動摩擦力の向きと符号の扱い
動摩擦力は、接触している面に沿って働き、物体の相対的な運動を妨げる向きになります。
机の上で箱が右へ滑っているなら、箱には左向きの動摩擦力が働きます。
この向きを取り違えると、運動方程式の符号が反対になり、計算結果も不自然になります。
問題を解く前には、物体だけを取り出して力を書き込む力のつり合い図や自由物体図を作ると安心です。
右向きを正と決めた場合、右向きの外力は正、左向きの動摩擦力は負で表します。
物体が左向きに動いている場合は、摩擦力は右向きです。
ただし、座標の正方向を右向きに固定しているなら、右向きの摩擦力は正となります。
動く向きと正負の向きは似ていますが、別のルールとして整理する必要があります。
等速運動から分かる動摩擦力
物体が動いていても、速さが変化しない等速直線運動なら加速度は0です。
運動方程式では合力も0になるため、水平面で引く力と動摩擦力の大きさは等しくなります。
たとえば、質量に関係なく20Nの水平な力で物体を一定の速さで引いているなら、動摩擦力は20Nです。
これは係数を知らない状況で使いやすい重要な判定方法でしょう。
ただし、糸やばねばかりで斜め上向きに引く場合、表示された力のすべてが水平方向の力ではありません。
そのときは水平方向の成分だけを取り出して考えます。
加速度が0なら、進行方向の合力も0です。
水平に引く力と動摩擦力だけが進行方向に働く場合、両者の大きさは同じになります。
運動方程式による加速度の利用
続いては、加速度が与えられた問題での計算手順を確認していきます。
水平面を引く基本問題
質量4kgの箱を、水平な力30Nで右向きに引いたところ、加速度2m毎秒毎秒で右へ運動したとします。
まず、運動方程式から合力を求めます。
合力は質量4kgに加速度2m毎秒毎秒を掛けた8Nです。
右向きの引く力30Nから左向きの動摩擦力を引いた結果が8Nなので、30－f＝8となります。
よって、動摩擦力fは22Nです。
答えだけを覚えるよりも、外力と合力の差が抵抗力であると理解すると、数字が変わっても対応できます。
引く力が合力より大きい理由は、力の一部が摩擦を打ち消しているからです。
質量4kg、引く力30N、加速度2m毎秒毎秒の例です。
合力＝4×2＝8N
30－動摩擦力＝8
動摩擦力＝22N
減速運動での立式
押すことをやめた後に物体が滑り続け、次第に遅くなる場合も、動摩擦力を加速度から求められます。
たとえば質量3kgの物体が右向きに運動し、加速度が左向き4m毎秒毎秒であるとします。
右向きを正に決めると、加速度は－4m毎秒毎秒です。
水平方向には動摩擦力だけが左向きに働くなら、－f＝3×－4となります。
したがって、動摩擦力の大きさは12Nです。
減速という言葉だけで負と決めるのではなく、座標軸を決めてから加速度の符号を置くことがポイントです。
動摩擦力は常に負の値を答えるものではなく、求めるのは通常、力の大きさです。
複数の力が加わる場合
進行方向に複数の力が働くときは、それぞれを同じ軸に沿って整理します。
右向きに40Nの力、左向きに10Nの力、さらに左向きに動摩擦力が働き、質量5kgの物体が右向き3m毎秒毎秒で加速したとします。
右向きの合力は5×3で15Nです。
式は40－10－f＝15となるため、f＝15Nと計算できます。
力が増えると式が複雑に見えますが、右向きの力の合計と左向きの力の合計を分ければ整理しやすくなります。
空気抵抗、ばねの力、張力などがある問題でも、基本は同じです。
| 状況 | 進行方向の式 | 動摩擦力の求め方 |
|---|---|---|
| 水平に引いて加速 | P－f＝ma | f＝P－ma |
| 外力なしで減速 | －f＝ma | f＝－ma |
| 等速で水平に引く | P－f＝0 | f＝P |
| 逆向きの外力もある | 右向きの力－左向きの力＝ma | 未知のfについて解く |
距離と時間から加速度を出す手順
続いては、加速度が直接示されず、距離や時間から求める方法を確認していきます。
静止から動く等加速度運動
物体が静止した状態から一定の加速度で動き始め、時間tの間に距離xだけ進んだ場合、x＝2分の1atの二乗を利用できます。
この式を加速度について変形すると、a＝2x÷tの二乗です。
たとえば、質量2kgの物体を水平に18Nで引き、静止から3秒間で9m動いたとします。
加速度は2×9÷3の二乗で2m毎秒毎秒です。
合力は2kg×2m毎秒毎秒で4Nとなります。
よって18－f＝4より、動摩擦力は14Nです。
距離しか目立たない問題でも、距離は加速度を取り出すための情報として使えます。
静止からの等加速度運動では、距離と時間から加速度を求めます。
加速度＝2×移動距離÷時間の二乗
求めた加速度を運動方程式の質量×加速度に代入します。
初速度がある場合の計算
最初から速さをもって滑っている場合は、距離、初速度、終速度を結ぶ式が便利です。
速度の二乗の差＝2×加速度×距離という関係を使います。
右向きを正に取り、初速度v、終速度u、距離xとすると、uの二乗－vの二乗＝2axです。
摩擦だけで減速する水平面では、加速度は負の値になります。
たとえば初速度10m毎秒の物体が25m滑って止まった場合、0－100＝2a×25です。
加速度は－2m毎秒毎秒と分かります。
質量6kgなら、摩擦力だけが働くとして動摩擦力の大きさは6×2で12Nです。
時間が分からなくても、速度と距離から求められる点がこの方法の長所です。
平均速度を使う際の注意点
等加速度直線運動では、平均速度は初速度と終速度を足して2で割った値です。
静止から始まる場合、平均速度は終速度の半分になります。
移動距離を時間で割って平均速度を出し、その値をもとに終速度や加速度を逆算することも可能です。
ただし、加速度が一定でない運動には、これらの公式をそのまま当てはめられません。
実験で摩擦力を調べるとき、床面の状態が途中で変わったり、引く力が不規則に変化したりすると、加速度は一定とは限りません。
問題文に等加速度運動、一定の加速度、なめらかに減速といった条件があるかを確認しましょう。
距離と時間から摩擦力を求める流れは、距離から加速度を出し、加速度から合力を出し、外力との差から動摩擦力を出す順番です。
途中の加速度計算を省略すると、式の意味を見失いやすくなります。
仕事とエネルギーによる算出
続いては、力と移動距離の関係から動摩擦力を求める仕事とエネルギーの考え方を確認していきます。
動摩擦力がする仕事
力が物体を移動させるとき、力がした仕事を考えられます。
動摩擦力は移動方向と反対向きに働くため、物体に対して負の仕事をします。
動摩擦力の大きさをf、移動距離をxとすると、動摩擦力がした仕事は－fxです。
符号を含めると負ですが、失われた力学的エネルギーの大きさとして扱う場合はfxと考えます。
この関係を使えば、動摩擦力がした仕事が－60Jで、物体が12m滑ったとき、動摩擦力は5Nです。
仕事を距離で割ると力になるため、単位もJ÷m＝Nとなります。
仕事と距離が分かれば、動摩擦係数なしで摩擦力を直接求められます。
運動エネルギーの減少
水平面で物体を滑らせ、他に仕事をする力がない場合、運動エネルギーの減少分は摩擦による仕事に対応します。
質量m、初速度v、終速度uなら、運動エネルギーの変化は2分の1mのuの二乗－2分の1mのvの二乗です。
この値が動摩擦力の仕事－fxに等しくなります。
たとえば質量2kgの物体が8m毎秒から4m毎秒まで減速し、6m移動した場合を考えます。
運動エネルギーは最初が64J、最後が16Jで、48J減少しています。
摩擦が奪ったエネルギーの大きさは48Jなので、動摩擦力は48÷6で8Nです。
速度を二乗することを忘れやすいため、計算式は丁寧に書くのがおすすめです。
水平面で摩擦だけが運動エネルギーを減らす場合です。
動摩擦力×距離＝初めの運動エネルギー－終わりの運動エネルギー
動摩擦力＝運動エネルギーの減少量÷距離
外力の仕事を含むエネルギー式
物体を押したり引いたりしながら移動させる場合は、外力の仕事も加えて考えます。
水平に20Nで10m引いたなら、引く力の仕事は200Jです。
このうち物体の運動エネルギーが80J増えたなら、残りの120Jは摩擦により失われたと分かります。
したがって、動摩擦力は120J÷10mで12Nです。
エネルギーの式では、入力された仕事が、運動エネルギーの変化と摩擦による損失に分かれるイメージを持つと理解しやすいでしょう。
等速で引いているなら運動エネルギーは変化しないため、外力の仕事はすべて摩擦による仕事に変わります。
この場合も、引く力と動摩擦力の大きさが等しいという運動方程式の結果と一致します。
斜面と引く角度を含む力の分解
続いては、水平面以外で動摩擦力を求める際に必要な力の分解を確認していきます。
斜面を滑り下りる物体
角度θの斜面を物体が下へ滑ると、重力のうち斜面に平行な成分が物体を下向きに動かします。
その大きさはmg sinθです。
物体が斜面下向きに加速度aで滑るなら、斜面方向の運動方程式はmg sinθ－f＝maとなります。
よって、動摩擦力はmg sinθ－maです。
たとえば質量2kg、重力加速度9.8m毎秒毎秒、斜面角度30度、加速度1m毎秒毎秒なら、重力の斜面方向成分は9.8Nです。
合力は2Nなので、動摩擦力は7.8Nとなります。
斜面では重力すべてを進行方向の力として使わず、斜面に平行な成分だけを使うことが重要です。
斜面を引き上げる物体
物体を斜面上向きに引き上げると、動摩擦力と重力の斜面方向成分はいずれも斜面下向きに働きます。
斜面上向きを正とすれば、引く力P－mg sinθ－f＝maです。
この式から、f＝P－mg sinθ－maと求められます。
上向きに加速しているか、一定の速さで上がっているかによって、合力の項が変わります。
一定速度ならaは0なので、引く力は重力の成分と動摩擦力を合わせた値です。
力の向きが三つ以上になる問題では、矢印を図にしてから式を作ると、引き算の漏れを防げます。
斜め上向きに引く水平面の物体
水平面上の物体を斜め上向きに引く場合、引く力には水平方向と鉛直方向の成分があります。
水平方向の成分は物体を前へ進め、鉛直上向きの成分は床が押し返す力を小さくします。
ただし、動摩擦係数を使わずに加速度から摩擦力を求めるだけなら、水平方向の運動方程式に集中できます。
引く力Pが水平となす角をθとすると、水平方向はP cosθです。
右向きに加速度aなら、P cosθ－f＝maとなります。
したがって、f＝P cosθ－maです。
ばねばかりの値をそのまま摩擦力とみなせるのは、水平に引き、かつ等速運動している場合に限られます。
斜面や斜めの力がある問題では、進行方向を一つ決め、その方向に平行な力だけで運動方程式を立てます。
摩擦力の向きは、物体の滑る向きと必ず反対です。
計算ミスを防ぐ確認項目
続いては、動摩擦係数なしの計算で起こりやすいミスと確認項目を確認していきます。
静止摩擦力との区別
物体が床に対して滑っているときに働くのが動摩擦力です。
まだ動き出していない、または床に対して止まっているときは静止摩擦力を考えます。
静止摩擦力は必要に応じて大きさが変わるため、一定の値として扱う動摩擦力とは性質が異なります。
問題文の「滑っている」「運動している」「引きずる」といった表現を確認しましょう。
動いているから必ず動摩擦力とは限らず、ベルトコンベヤーと物体が同じ速さで動くような場合には、接触面で滑りがないこともあります。
接触面同士が相対的に滑っているかを判断する視点が必要です。
単位と有効数字の確認
力の単位はN、質量の単位はkg、加速度の単位はm毎秒毎秒です。
kgとgを混ぜると、答えが1000倍ずれてしまいます。
仕事を使う場合はJ、距離はmでそろえます。
cmで与えられた移動距離は、仕事の式に入れる前にmへ換算してください。
また、重力加速度は問題文の指定に従います。
9.8m毎秒毎秒を使う場合と10m毎秒毎秒を使う場合では、答えが少し異なるため、途中で勝手に変更しないことが大切です。
単位を式の横に書く習慣は、初歩的ですが非常に効果的な見直し方法です。
答えの大きさを見直す視点
計算した動摩擦力が負になった場合、力の向きや正方向の設定を再確認します。
大きさとして負の摩擦力が出ることは通常なく、仮定した向きが実際と逆だった可能性があります。
水平に引いて右向きに加速しているなら、動摩擦力は引く力より小さくなるはずです。
等速運動なら両者は等しくなります。
外力なしで減速している場合、摩擦力の大きさは質量と減速度の大きさの積です。
このように、計算後に物理的な状況と答えを照らし合わせると、符号ミスや代入ミスを見つけやすくなります。
| 確認する点 | よくある誤り | 見直しの方法 |
|---|---|---|
| 摩擦力の向き | 運動方向と同じに書く | 相対運動を妨げる向きに矢印を書く |
| 加速度の符号 | 減速でも常に正にする | 座標軸に対する向きを確認する |
| 距離の単位 | cmのまま仕事を計算する | mに換算してから代入する |
| 斜面の重力 | mgをそのまま斜面方向に使う | mg sinθへ分解する |
| 運動の種類 | 止まっているのに動摩擦力を使う | 接触面が滑っているかを確認する |
動摩擦力の求め方のまとめ
動摩擦係数が問題文にない場合でも、加速度、距離、時間、速度、仕事、エネルギーの情報があれば動摩擦力を求められます。
最も基本となるのは、進行方向について運動方程式を立て、外力と合力の差から摩擦力を逆算する方法です。
加速度が直接ないときは、距離と時間、または速度と距離の式から加速度を求めます。
仕事や運動エネルギーが示される問題では、摩擦によって失われたエネルギーを距離で割る方法が有効です。
等速運動なら、進行方向の合力は0となり、水平に引く力と動摩擦力の大きさは一致します。
斜面や斜め方向の外力が登場したら、進行方向に沿って力を分解することが欠かせません。
係数がないから解けないのではなく、与えられた運動情報から摩擦力を見つけるという発想を身につけると、幅広い力学問題に対応しやすくなります。
