慣性モーメントの求め方は？回転軸と形状による計算の基本を解説！（トルクとの違い）
物体を回そうとしたとき、軽く回り始めるものもあれば、力を加えてもなかなか回転速度が変わらないものもあります。この回りにくさを数値で表す量が慣性モーメントです。
慣性モーメントは物体の質量だけでなく、回転軸からどれだけ離れた場所に質量があるかで決まります。棒、円盤、輪、球などの形状と回転軸を正しく見分けることが、公式を使い分ける第一歩です。
この記事では、基本公式、代表的な形状ごとの計算、平行軸の定理、トルクとの関係を順に解説します。数式だけで終わらせず、ドアや回転いすなど身近な例とも結び付けて理解していきましょう。
慣性モーメントの公式と基本の求め方
それではまず慣性モーメントの公式と基本の求め方について解説していきます。
回転の変化しにくさを表す物理量
慣性モーメントは、物体がある回転軸のまわりで回転状態を変えにくい度合いを表す物理量です。
直線運動では、質量が大きい物体ほど加速しにくくなります。回転運動では質量に加えて、回転軸からの距離も加速しにくさを左右します。
同じ質量の粘土でも、中心近くに集めた場合と輪のように外側へ広げた場合では、後者のほうが回りにくくなります。回転軸から遠い部分ほど、回転の変化に強く関わるためです。
慣性モーメントは通常、記号Iで表します。単位はキログラム平方メートルであり、kg m²と書かれます。
質量の単位がkgで、距離を2乗するためm²が付きます。単に重いかどうかではなく、質量の配置まで含めた量である点が重要です。
たとえば本を机の上で回す場合、中央を通る鉛直軸なら比較的回しやすいでしょう。長辺の端を軸にして立ち上げるように回すと、質量の多くが軸から遠くなり、必要な力のかけ方も変化します。
質点に対する基本式
質点の慣性モーメントは、質量と回転軸からの距離の2乗を掛けて求めます。
質点とは、大きさを無視して一点に質量が集まっていると考えられる理想化した物体です。小さなおもりを細い棒の先に付けた場合などは、質点として近似しやすい場面です。
m は質点の質量で単位はkgです。
r は回転軸から質点までの垂直距離で単位はmです。
距離が2倍になると、慣性モーメントは2倍ではなく4倍になります。この2乗の関係が、回転軸から離れた質量の影響を大きくする理由です。
たとえば質量2 kgのおもりが、軸から0.50 mの位置にあるとします。このときの値は、2に0.50の2乗を掛けて求められます。
I ＝ 0.50 kg m²
同じおもりを軸から1.0 mへ移すと、慣性モーメントは2.0 kg m²になります。距離を2倍にしただけで4倍になることを、数値からも確認できます。
複数の質点と連続した物体の考え方
複数のおもりが付いた物体では、各質点のmr²を求めてからすべて足し合わせます。
それぞれの質量が軸から異なる距離にあるため、全体の質量に平均的な距離を掛けるだけでは正確な値になりません。近い部分と遠い部分を別々に扱う必要があります。
各mの単位はkg、各rの単位はm、求まるIの単位はkg m²です。
一様な棒や円盤のように、質量が連続的に分布する物体では、微小な部分へ分けて合計する考え方を使います。高校物理や基礎的な工学計算では、その計算結果として示される形状別の公式を使うことが一般的です。
公式を使う際は、物体が一様な密度であるかを確認しましょう。端だけが重い棒や穴の開いた円盤では、標準公式をそのまま当てはめると実際の値とずれます。
また、回転軸は物体に対して固定されている必要があります。運動の途中で軸が移動する場合は、単純な回転だけではなく並進運動も含めて考えることになります。
回転軸と距離による値の変化
続いては回転軸と距離による値の変化を確認していきます。
回転軸からの垂直距離
慣性モーメントで使うrは、回転軸から質量までの最短距離である垂直距離です。
回転軸が紙面に垂直な線なら、紙の上では軸の位置からおもりまでの距離を測ればよいでしょう。一方で、軸が棒の方向に伸びる場合は、棒に沿った長さではなく軸へ垂直に離れた距離を使います。
たとえば長さ1.0 mの棒の端におもりを付け、棒の反対側の端を軸に回す状況を考えます。棒が軸から放射状に伸びているなら、おもりまでの距離は1.0 mです。
おもりが軸と平行な棒の上を移動しても、軸からの垂直距離が変わらなければ慣性モーメントは変わりません。見た目の位置関係だけで距離を決めないことが大切です。
回転いすに座って腕を広げると、手や腕の質量が回転軸から遠ざかります。その結果として慣性モーメントが増え、同じ回転の勢いでも回転速度は下がります。
反対に腕を体へ引き寄せると慣性モーメントは小さくなります。フィギュアスケートの選手が回転中に腕を縮める動きは、この性質を利用した代表例です。
中心軸と端の軸による違い
棒や円盤では、中心を通る軸と端を通る軸で公式が異なります。同じ形状でも、軸がずれるほど質量の平均的な距離が大きくなり、慣性モーメントも増加します。
長さL、質量Mの一様な細い棒を、中心を通り棒に垂直な軸で回す場合を考えます。このとき、棒の両側に質量が分かれているため、端を軸にする場合より回しやすくなります。
一方、棒の端を通り棒に垂直な軸で回すと、質量の大半が軸の片側にあります。遠い端は軸からLだけ離れるため、中心軸の場合より大きな値になります。
| 対象 | 回転軸 | 慣性モーメント | 特徴 |
|---|---|---|---|
| 一様な細い棒 | 中心を通り棒に垂直 | ML²／12 | 両端の質量が対称に分布 |
| 一様な細い棒 | 端を通り棒に垂直 | ML²／3 | 質量が軸の片側に分布 |
| 一様な円盤 | 中心を通り面に垂直 | MR²／2 | 中心から外側へ連続して分布 |
| 薄い輪 | 中心を通り面に垂直 | MR² | 質量がほぼ同じ距離に集中 |
表のMは質量をkgで、LとRは長さや半径をmで表します。公式の形だけでなく、軸の説明まで一致しているか確認して選びましょう。
中心軸用の公式を端の軸へ使う誤りはよくあります。図を描いて軸を太線で示し、どの部分が最も遠いかを見ると判断しやすくなります。
平行軸の定理による軸の移動
平行軸の定理は、重心を通る軸が分かっているときに、そこから平行にずれた軸の慣性モーメントを求める方法です。扉の蝶番側を軸にした回転などを考える際に役立ちます。
平行軸の定理では、重心軸まわりの慣性モーメントに質量と軸間距離の2乗の積を加えます。
M は物体全体の質量で単位はkgです。
d は重心軸と新しい軸の垂直距離で単位はmです。
長さL、質量Mの一様な棒では、中心軸まわりの値はML²／12です。端の軸は中心からL／2だけ離れているため、平行軸の定理でML²／12にMとL²／4の積を加えます。
計算すると、ML²／12に3ML²／12を足すことになり、答えはML²／3です。形状別の公式を暗記するだけでなく、どのように導けるかを知ると応用しやすくなります。
ただし、移動後の軸は重心軸と平行でなければなりません。軸の向きまで変わる場合には、この定理だけでは求められないため注意しましょう。
代表的な形状ごとの計算公式
続いては代表的な形状ごとの計算公式を確認していきます。
細い棒と長方形板の扱い
細い棒は、長さに比べて太さを無視できる場合に使うモデルです。棒の公式は、回転軸が棒の中心か端か、さらに棒へ垂直かどうかで区別します。
長さ0.80 m、質量3.0 kgの一様な棒を、中心を通り棒に垂直な軸で回すとします。棒が十分に細く、密度が一様であることが公式を使う前提です。
I ＝ 3.0 × 0.64／12
I ＝ 0.16 kg m²
同じ棒を端で支えて振り子のように回す場合は、ML²／3を使います。この場合の慣性モーメントは0.64 kg m²となり、中心軸の4倍です。
長方形の薄い板を中心で回すときは、どの向きの軸かをさらに確かめます。板に垂直な中心軸なら縦と横の両方の寸法が関係し、棒の公式へ単純に置き換えることはできません。
定規を机上で回すときは、長方形板として扱うより細い棒として近似できる場合があります。ただし幅が無視できないほど大きい部品では、板の公式や数値計算を選ぶほうが適切です。
円盤と輪の質量分布
円盤と輪は同じ半径でも、質量がどこに分布しているかが異なります。質量が外周へ集まる輪のほうが、一様な円盤より慣性モーメントは大きくなります。
半径R、質量Mの一様な薄い円盤を、中心を通り面に垂直な軸で回す場合の値はMR²／2です。中心付近にも質量が存在するため、全質量が外周にある場合より小さくなります。
薄い輪では、ほぼすべての質量が軸からRだけ離れています。そのため質点の式を全質量に適用する形となり、慣性モーメントはMR²になります。
自転車の車輪は、リム、スポーク、ハブなどからできています。実際の値は完全な輪でも完全な円盤でもありませんが、重いリムを持つ車輪は輪に近い性質を示します。
| 形状 | 質量の主な分布 | 中心軸まわりの式 | 同じMとRでの特徴 |
|---|---|---|---|
| 薄い輪 | 外周付近 | MR² | 最も大きくなりやすい |
| 一様な円盤 | 中心から外周まで | MR²／2 | 輪の半分 |
| 中空円筒 | 内半径から外半径まで | M内半径²と外半径²の和／2 | 厚みを考慮する |
| 中実円柱 | 中心から外周まで | MR²／2 | 円盤と同じ形 |
中空円筒の式は、中心軸まわりで内半径と外半径を使うものです。回転軸が円筒の中心線と一致する場合に限られるため、横倒しにして転がる軸とは区別してください。
フライホイールでは、限られた質量で大きな慣性モーメントを得るため、質量を外側へ配置する設計が用いられます。回転数だけでなく質量分布も、エネルギーの蓄えやすさに関わります。
球と円柱の回転軸
球や円柱では、形状の対称性を利用すると公式を選びやすくなります。一様な中実球を中心を通る直径まわりに回すとき、慣性モーメントは2MR²／5です。
一様な薄い球殻では、質量が表面側に分布するため、値は中実球より大きくなります。薄い球殻を中心軸まわりに回す場合の公式は2MR²／3です。
一様な中実円柱を、円筒の中心線に沿う軸で回す場合はMR²／2です。この軸は缶を立てて回すときの軸に相当します。
円柱を横向きに置いて、中心を通り円筒の長さに垂直な軸で回す場合は別の公式になります。半径だけではなく円柱の長さも関係するため、立てた状態の公式を流用してはいけません。
| 対象 | 回転軸 | 慣性モーメント | 前提 |
|---|---|---|---|
| 中実球 | 中心を通る直径 | 2MR²／5 | 密度が一様 |
| 薄い球殻 | 中心を通る直径 | 2MR²／3 | 厚みを無視できる |
| 中実円柱 | 中心線に沿う軸 | MR²／2 | 密度が一様 |
| 直方体 | 中心を通る辺に平行な軸 | M他の二辺の長さの2乗の和／12 | 直方体が一様 |
公式のMとRだけが同じでも、物体内部の空洞や厚みが違えば結果は変わります。問題文の中実、薄い、一様、中心を通るといった条件は、計算前に線を引くように確認するとよいでしょう。
複雑な機械部品では、単純な形状へ分けて各部分の慣性モーメントを求め、平行軸の定理も使って合成します。設計現場ではCADの質量特性機能で確認することもありますが、概算式を知ると結果の妥当性を判断しやすくなります。
トルクと角加速度の関係
続いてはトルクと角加速度の関係を確認していきます。
慣性モーメントとトルクの違い
慣性モーメントとトルクはどちらも回転に関わるため混同されがちです。慣性モーメントは回りにくさの性質を示す量であり、トルクは物体を回そうとする作用の大きさです。
トルクは力そのものではなく、回転軸からの距離と力の向きによって決まります。同じ力でドアを押すなら、蝶番の近くより取っ手の近くを押すほうが大きなトルクを得られます。
慣性モーメントは、力を加えなくても物体と軸の組み合わせに応じて定まっています。トルクは外から加える作用であり、力をやめれば通常は加わらなくなります。
| 項目 | 慣性モーメント | トルク |
|---|---|---|
| 表す内容 | 回転状態の変化しにくさ | 回そうとする作用 |
| 主な記号 | I | τ |
| 単位 | kg m² | N m |
| 主な決まり方 | 質量分布と回転軸 | 力、距離、力の向き |
| 身近な例 | 腕を広げた回転いす | 取っ手で開けるドア |
トルクの単位N mは、エネルギーの単位Jと同じ形に見えます。しかしトルクは回転を生む作用であり、エネルギーとは別の物理量です。
用語を区別すると、重い車輪が加速しにくい理由と、長いレンチでナットを回しやすい理由を、それぞれ正しく説明できるようになります。
回転運動における運動方程式
直線運動のF ＝ maに対応する回転運動の関係として、トルクと慣性モーメントと角加速度を結ぶ式があります。回転を加速させる問題の基本となる式です。
回転軸まわりの合トルクは、慣性モーメントと角加速度の積に等しくなります。
I は慣性モーメントで単位はkg m²です。
α は角加速度で単位はrad s⁻²です。
同じトルクを加えるなら、慣性モーメントが小さい物体ほど角加速度は大きくなります。軽い扇風機の羽根が比較的短時間で回転数を変えられるのは、この関係で説明できます。
たとえばIが0.50 kg m²の物体に、2.0 N mの合トルクが働くとします。角加速度はトルクを慣性モーメントで割って求めます。
α ＝ 4.0 rad s⁻²
この式は、軸が固定され、慣性モーメントが一定とみなせる場合に使います。回転中に人が腕を大きく動かす場合のように質量分布が変化する状況では、より注意深い扱いが必要です。
力の作用点と回転のさせやすさ
トルクを大きくするには、回転軸から離れた位置に力を加える方法があります。ドアの取っ手が蝶番から遠い位置に付いているのは、少ない力で十分なトルクを得るためです。
ただし、力を大きくしても、力の向きが回転半径と平行ならトルクは生まれません。
たとえばスパナを回すときは、柄に対してできるだけ直角に力を加えます。柄の方向へ押したり引いたりしても、回転させる成分が小さくなってしまいます。
回転のさせやすさは、トルクだけでなく慣性モーメントにも左右されます。小さなトルクでも軽くて小さい部品ならすぐに回り始めますが、大きなローターでは同じトルクでも加速は緩やかです。
機械の起動時には、必要な角加速度と慣性モーメントから必要なトルクを見積もれます。モーター選びでは、定常時に回せるかだけでなく、目標速度まで立ち上げる時間も重要な条件になります。
摩擦や空気抵抗がある場合は、それらに打ち勝つトルクも必要です。τ ＝ Iαだけで得られる値は加速に必要な分であり、実際の装置では抵抗分を別に考える必要があります。
慣性モーメントの求め方と使い分けのまとめ
慣性モーメントは、回転軸から遠い場所にある質量ほど大きく影響する、物体の回りにくさを表す量です。
質点ではI ＝ mr²を使い、複数の質点ではそれぞれの値を合計します。棒、円盤、輪、球などの連続体では、形状と回転軸に対応した公式を選ぶことが基本です。
計算前には、軸が中心か端か、物体が中実か中空か、密度が一様かを確認しましょう。特にrは回転軸からの垂直距離であり、距離を2乗する点が重要です。
軸が重心軸から平行に移る場合には、平行軸の定理が役立ちます。軸の向きまで変わる場合には、そのまま適用できないことも覚えておきましょう。
トルクは物体を回そうとする作用で、慣性モーメントとは役割が異なります。τ ＝ Iαの関係を使えば、必要なトルクや生じる角加速度を考えられます。
ドア、回転いす、車輪など身近な回転を観察し、どこに質量があるかを意識してみてください。公式と実際の動きが結び付き、慣性モーメントをより確かに使えるようになるはずです。
