変位・速度・加速度の関係は？微分・積分による求め方を解説！
物体の動きを数式で表すとき、基本になるのが変位、速度、加速度です。
それぞれは別の量に見えますが、時間を基準にして微分と積分を使うことで、きれいにつながっています。
自動車の発進や停止、エレベーターの動き、ボールの落下、機械部品の振動など、身近な現象にも同じ考え方が使われます。
ただし、距離と変位の違い、速度と速さの違い、グラフの読み方などで混乱しやすい点も少なくありません。
この記事では、変位・速度・加速度の関係を微分と積分の両面から理解する方法を、式と具体例を交えてわかりやすく解説します。
変位・速度・加速度の関係
それではまず、変位・速度・加速度がどのようにつながるのかについて解説していきます。
時間に対する位置の変化としての変位
変位とは、ある基準位置から見て物体がどれだけ、どちらの向きへ移動したかを表す量です。
記号ではxやsを使うことが多く、単位はメートルを用います。
たとえば、出発地点を0メートルとして東向きを正に決めた場合、東へ5メートル進んだ位置はx＝5メートルです。
その後に西へ2メートル戻れば、移動した道のりは合計7メートルでも、最終的な変位はx＝3メートルになります。
変位には向きがあり、出発地点と到着地点だけで決まることが重要です。
一方で距離や道のりは、実際に通った経路の長さを表します。
往復して元の場所へ帰ったとき、道のりは正の値になりますが、変位は0メートルです。
この違いを最初に整理しておくと、速度や積分の意味も理解しやすくなるでしょう。
変位を微分した量としての速度
速度は、変位が時間とともにどの程度変化したかを表す量です。
位置をx、時間をtで表すと、速度vは変位xを時間tで微分して求められます。
速度の基本式
v＝dx÷dt
変位を時間で微分すると、その瞬間の速度が求められます。
平均的な動きを見る場合は、変位の変化量を時間の変化量で割ります。
これは平均速度と呼ばれ、Δx÷Δtで表されます。
たとえば10秒間で40メートル進んだなら、平均速度は毎秒4メートルです。
ただし、途中で速くなったり遅くなったりしている場合、平均速度だけでは各時刻の動きまではわかりません。
そこで、時間の間隔を限りなく小さくした考え方として微分を使います。
微分によって得られる速度は瞬間速度であり、速度計に表示される値に近いイメージです。
速度を微分した量としての加速度
加速度は、速度が時間あたりにどれだけ変化するかを表します。
単位はメートル毎秒毎秒で、m/s²と表記されます。
速度vを時間tで微分すると加速度aになり、変位を2回微分して求めることも可能です。
加速度の基本式
a＝dv÷dt
a＝d²x÷dt²
加速度は速度の時間変化であり、変位の2階微分でもあります。
加速度が正なら、正の向きへの速度が増えるとは限りません。
たとえば西向きを負の速度としたとき、負の速度が0に近づくなら加速度は正になります。
この状態は西へ進みながら減速している場面です。
速度の符号は移動方向、加速度の符号は速度の変化方向を示します。
正負を単純に速い遅いと考えず、あらかじめ正の向きを決めて判断することが大切です。
変位、速度、加速度は、位置、位置の変化率、変化率の変化率という順に並びます。
変位を1回微分すると速度になり、さらに微分すると加速度になります。
微分による速度と加速度の求め方
続いては、変位の式から速度と加速度を求める微分の手順を確認していきます。
多項式の変位関数を微分する手順
変位が時間の式として与えられている場合、各項を時間について微分します。
たとえば、変位がx＝3t²＋2t－1で表されるとします。
t²の項は、指数の2を前に掛けてtの指数を1つ下げるため、6tになります。
2tを微分すると2になり、定数の－1を微分すると0です。
変位関数から速度と加速度を求める例
x＝3t²＋2t－1
v＝dx÷dt＝6t＋2
a＝dv÷dt＝6
この例では、加速度が常に6m/s²です。
速度は時間とともに一定の割合で増え、変位は時間の2乗に比例して大きくなります。
t＝0秒では速度が2m/s、t＝3秒では速度が20m/sとなります。
加速度が一定の運動では、速度は一次式、変位は二次式になるという関係を覚えておくと便利です。
なお、式に単位が省略されている問題では、xがメートル、tが秒である前提を確認して計算します。
三角関数を含む運動の微分
振り子やばねの振動のように、変位が正弦や余弦で表されることもあります。
たとえば、x＝Acosωtは単振動を表す代表的な式です。
Aは振幅、ωは角速度であり、物体が中心位置を挟んで往復する様子を示します。
この式を微分すると、速度はv＝－Aωsinωtになります。
さらに微分すると、加速度はa＝－Aω²cosωtです。
ここでcosωtはx÷Aなので、加速度はa＝－ω²xとも表せます。
つまり、単振動では加速度は変位に比例し、向きは常に中心位置へ向かいます。
変位が大きい端の位置では加速度の大きさが最大になり、中心位置では0になる点が特徴です。
一方、速度の大きさは中心位置で最大になり、折り返す端の位置で0になります。
微分計算で確認したい符号と単位
微分の計算では、数値だけでなく符号と単位の確認も欠かせません。
たとえば速度が－5m/sなら、速さが5m/sで負の向きへ動いていることを意味します。
加速度が－2m/s²なら、負の向きへ速度が変化している状態です。
正の向きへ進んでいて加速度が負なら減速、負の向きへ進んでいて加速度が負なら加速しています。
また、変位を時間で微分すると単位はm/sになり、速度を時間で微分するとm/s²になります。
単位が計算結果と合わないときは、微分の回数や問題文の条件を見直す必要があります。
グラフ問題でも、位置の傾きが速度、速度の傾きが加速度であることを意識すると整理しやすいでしょう。
積分による変位と速度の求め方
続いては、速度や加速度から元の量を求める積分の考え方を確認していきます。
速度を積分して変位を求める方法
速度がわかっているとき、その速度を時間で積分すると変位の変化量が求められます。
微分が変化の割合を取り出す計算なら、積分は細かな変化を積み重ねる計算と考えるとよいでしょう。
速度が一定でv＝5m/sなら、4秒間の変位は5×4で20メートルです。
速度が時間によって変わる場合は、単純な掛け算ではなく積分が必要になります。
速度から変位を求める基本式
x＝∫vdt＋C
定積分では、t＝t1からt＝t2までの変位が∫vdtで求められます。
Cは積分定数で、初期位置を反映する値です。
たとえばv＝6tの場合、不定積分するとx＝3t²＋Cになります。
t＝0でx＝4という条件があれば、C＝4です。
したがって変位の式はx＝3t²＋4となります。
積分だけでは初期位置が決まらないため、位置を求める問題では初期条件が必要になります。
加速度を積分して速度を求める方法
加速度を時間で積分すると、速度の変化が求められます。
加速度がa＝3m/s²で一定なら、速度は時間が1秒増えるごとに3m/sずつ変化します。
初速度がv0の場合、t秒後の速度はv＝v0＋3tです。
より一般的には、v＝∫adt＋Cと表されます。
このCは初速度に対応する積分定数です。
加速度が一定なら、まず積分して速度の式を作り、さらに積分して変位の式を作る流れになります。
落下運動では、上向きを正に取ると重力加速度は負になります。
地表付近では重力加速度の大きさを約9.8m/s²とし、問題によっては10m/s²として計算することもあります。
向きの設定を途中で変えると式全体が崩れるため、最初の符号の約束を最後まで保つことが重要です。
定積分と面積から見る変位
速度と時間のグラフでは、グラフと時間軸で囲まれた面積が変位を表します。
速度が正の領域は正の変位、速度が負の領域は負の変位として扱います。
そのため、グラフの面積をすべて正として足すと道のりになり、符号を付けて合計すると変位になります。
たとえば、0秒から2秒まで速度が4m/s、2秒から4秒まで速度が－2m/sなら、変位は8－4で4メートルです。
道のりは8＋4で12メートルになります。
速度時間グラフの面積は、移動距離ではなく符号を含む変位である点に注意しましょう。
グラフが直線で変化するときは三角形や台形の面積を使えます。
曲線の場合は、積分によって正確な面積を求めることになります。
加速度から速度、速度から変位を求めるときは、積分を2回行います。
積分定数は初速度と初期位置に対応するため、問題文の条件を式に必ず反映させましょう。
グラフに表れる運動の特徴
続いては、変位時間グラフ、速度時間グラフ、加速度時間グラフの読み方を確認していきます。
変位時間グラフの傾き
横軸に時間、縦軸に変位を取ったグラフでは、傾きが速度を表します。
グラフが右上がりなら正の速度、右下がりなら負の速度です。
水平な直線なら傾きは0なので、物体は停止しています。
直線の傾きが一定なら、速度が一定の等速直線運動です。
曲線で右上がりが急になっていく場合、正の速度が増しているため、正の加速度があると判断できます。
反対に、右上がりでも次第に緩やかになる場合は、正の速度が小さくなっている状態です。
このとき加速度は負になります。
変位時間グラフの高さそのものではなく、接線の傾きが速度を表します。
同じ位置にいても、グラフの傾きが異なれば速度は異なります。
速度時間グラフの傾きと面積
速度時間グラフでは、傾きが加速度、時間軸との間の面積が変位です。
水平なグラフは速度が一定であり、加速度は0です。
右上がりの直線なら加速度は正、右下がりの直線なら加速度は負になります。
速度が0を通過する瞬間は、移動方向が切り替わる可能性がある時刻です。
ただし、速度が0でも加速度が0とは限りません。
ボールを真上に投げたとき、最高点では速度が0になりますが、重力による加速度は下向きに働き続けます。
面積を求めるときは、長方形、三角形、台形に分けると計算しやすくなります。
曲線であれば、区間を細かく分けて近似するか、関数を積分して求めます。
加速度時間グラフの面積
加速度時間グラフでは、グラフと時間軸で囲まれた符号付きの面積が速度の変化量です。
加速度が2m/s²で3秒間続けば、速度は6m/s変化します。
初速度が5m/sなら、3秒後の速度は11m/sです。
負の加速度が続く場合は、速度の値が小さくなります。
ただし、速度が負のときに負の加速度を受ければ、速度の絶対値は大きくなります。
このようなケースでは、加速度グラフの面積だけでなく、開始時点の速度を合わせて考える必要があります。
| グラフの種類 | 縦軸の量 | 傾きが表す量 | 面積が表す量 |
|---|---|---|---|
| 変位時間グラフ | 変位 | 速度 | 一般には直接の意味を持ちません |
| 速度時間グラフ | 速度 | 加速度 | 変位 |
| 加速度時間グラフ | 加速度 | 加速度の変化率 | 速度の変化量 |
グラフを読む際は、縦軸が何を表しているかを最初に確認する習慣が役立ちます。
傾きと面積の意味は、どの量を縦軸に取るかで変わるためです。
等加速度運動と自由落下の計算
続いては、変位・速度・加速度の関係が特に使われる等加速度運動と自由落下を確認していきます。
等加速度運動の基本公式
加速度が時間によらず一定の運動を、等加速度運動と呼びます。
初速度をv0、初期位置をx0、加速度をaとすると、速度と変位は次のように表せます。
等加速度運動の式
v＝v0＋at
x＝x0＋v0t＋1÷2at²
v²－v0²＝2aｘ－2ax0
最後の式は時間tを含まないため、移動時間が不要な問題で便利です。
ただし、式に代入する符号は正確に扱う必要があります。
右向きを正に取った場合、左向きの初速度や加速度は負の値として代入します。
問題ごとに座標の原点と正方向を図に書き込むと、計算ミスを減らせます。
単位もm、s、m/s、m/s²でそろえましょう。
自由落下における重力加速度
自由落下は、空気抵抗を無視した物体が重力だけを受けて落ちる運動です。
下向きを正に取れば、加速度はgとして正の値になります。
静かに手を離した場合、初速度v0は0です。
初期位置を0とすると、t秒後の速度はv＝gt、落下距離はx＝1÷2gt²となります。
たとえばgを9.8m/s²とし、2秒間落下した場合、速度は19.6m/s、落下距離は19.6メートルです。
実際の空気中では空気抵抗の影響を受けますが、基礎問題では無視する条件が一般的です。
自由落下は加速度が一定であるため、等加速度運動の公式をそのまま利用できるのがポイントです。
鉛直投げ上げでの符号の考え方
物体を上向きに投げる運動では、上向きを正に取ることが多くなります。
このとき初速度は正、重力加速度は－gです。
速度はv＝v0－gt、変位はx＝v0t－1÷2gt²となります。
最高点では速度が0になるため、v0－gt＝0として最高点に達する時刻を求められます。
最高点より前は上向きに進んで減速し、最高点より後は下向きに進んで加速します。
しかし、加速度は飛び始めから落下まで一貫して下向きです。
速度が変わる方向と、物体の移動方向を区別して考えることが理解の近道でしょう。
等加速度運動では、速度が0になる瞬間にも加速度が残る場合があります。
停止と加速度0は同じ意味ではないため、速度と加速度を別々に確認することが大切です。
計算問題で間違えやすいポイント
続いては、変位・速度・加速度を扱う計算問題で注意したいポイントを確認していきます。
距離と変位、速さと速度の混同
距離と変位、速さと速度は似た言葉ですが、物理では明確に区別されます。
距離と速さは大きさだけを持つ量で、通常は負になりません。
変位と速度は方向を持つ量であり、座標の取り方によって正負が変わります。
往復運動の問題では、この違いが特に重要です。
ある人が東へ100メートル進んでから西へ100メートル戻った場合、移動距離は200メートルです。
一方、最終位置は出発地点と同じなので、変位は0メートルになります。
平均の速さは距離を時間で割り、平均速度は変位を時間で割って求めます。
出発点へ戻る運動では、平均速度が0でも平均の速さは0ではないことがあります。
初期条件と積分定数の見落とし
加速度や速度を積分する問題で多いのが、積分定数を忘れるミスです。
加速度を積分しただけでは、速度の式は完成しません。
初速度を代入して積分定数を決める必要があります。
同様に、速度から変位を求める場合も初期位置が必要です。
たとえばa＝4、v0＝3、x0＝－2なら、速度はv＝4t＋3、変位はx＝2t²＋3t－2となります。
初期条件を使わずにx＝2t²＋3tとすると、開始位置が0である別の運動を表すことになります。
問題文にある開始時の位置や速度には、必ず印を付けておくとよいでしょう。
単位変換と有効な検算
速度の単位にはm/sだけでなく、km/hもよく使われます。
km/hをm/sに直すには、3.6で割ります。
逆にm/sをkm/hに直すには、3.6を掛けます。
たとえば72km/hは20m/sであり、18m/sは64.8km/hです。
単位が混在したまま等加速度運動の式へ代入すると、答えの数値が大きくずれてしまいます。
また、変位を微分した答えの単位がm/sになっているか、速度を積分した答えの単位がmになっているかを確認しましょう。
加速度が0なら速度が一定になるか、速度が一定なら変位グラフが直線になるかを考えるのも有効な検算です。
計算式だけでなく、現実の動きとして自然かどうかを見る視点も役に立ちます。
変位・速度・加速度の関係のまとめ
変位・速度・加速度の関係は、時間による変化を順に追うことで理解できます。
変位を微分すると速度になり、速度を微分すると加速度になります。
逆に、加速度を積分すると速度、速度を積分すると変位を求められます。
微分は変化の割合を求める計算、積分は変化を積み重ねて元の量を求める計算として押さえると、式の役割が整理しやすくなります。
変位時間グラフでは傾きが速度、速度時間グラフでは傾きが加速度、面積が変位です。
加速度時間グラフでは面積が速度の変化量になるため、グラフ問題では縦軸と横軸の意味を確認しましょう。
また、距離と変位、速さと速度を混同しないこと、正の向きと符号を最初に決めること、初期条件を積分定数に反映させることも重要です。
等加速度運動や自由落下では、基本式と微分・積分の関係を行き来できるようになると、初めて見る問題にも対応しやすくなるでしょう。
